Кришнамурти, или о том, как освобождение принесло новые цепи

⇐ ПредыдущаяСтр 34 из 34

(41). Сказать, что из чтения Кришнамурти я не извлек для себя ничего, кроме набора красивых слов и надуманной позы, заслонившей от меня живую реальность, было бы не совсем точно. Первая же книга Кришнамурти, попавшаяся мне на глаза, меня по-настоящему поразила (хоть я и прочел из нее всего лишь несколько первых глав). Она перевернула с ног на голову мои представления о мире, которые я всегда считал само собой разумеющимися. И я понял, что в моем кругу они с незапамятных времен представляли собой общее место — сам того не замечая, я просто вдыхал их вместе с воздухом. В то же время эта книга впервые заставила меня обратить внимание на некоторые чрезвычайно важные факты: в первую очередь на то, что в нашем сознании работают механизмы, побуждающие нас бежать от реальности, и мощное действие этих двигателей рассудка можно наблюдать повсеместно. Это дало мне необходимый ключ к пониманию ситуаций, до тех пор неизменно ставивших меня в тупик и (как я понял пятью-шестью годами позже, с открытием медитации) тем самым рождавших во мне тревогу. Оглядевшись по сторонам, я тут же убедился в том, что так оно и есть: люди и впрямь бегут от действительности. В какой-то мере это наблюдение принесло мне душевный покой, но по сути ничего не изменилось: ведь все, что я видел, я видел в других, а не в себе. Я воображал, будто во мне (естественно, а как же иначе) ничего этого нет, считая себя эдаким исключением, подтверждающим правило (и нимало не задумываясь о том, откуда же берутся столь примечательные исключения). Во мне не было настоящего любопытства к тому, что происходит в человеческой душе, в том числе и в моей собственной. «Ключ», который я позаимствовал у Кришнамурти, в моих руках не мог ничего открыть: ведь у меня не было истинного, горячего желания проникнуть внутрь. Он стал для меня лишь удобной игрушкой, подспорьем в словесных упражнениях, а для моей новообретенной позы — неотъемлемым атрибутом.

И лишь в начале 1974 г. я впервые согласился признать очевидное: что раздорам и разрушениям в моей жизни, столько лет следовавшим за мной по пятам, не могли быть причиною только другие. Что-то во мне должно было служить им источником, поддерживать их, навлекать на меня беду со стороны. В тот момент, раскрыв, наконец, глаза и отказавшись от мифов о своем духовном величии, я был готов принять обновление. Но я еще не мог далеко продвинуться на этом пути: я не знал, что для этого нужно трудиться. Я не сумел тогда нащупать и описать словами это «что-то во мне», истинный источник моих несчастий. Точнее, я понимал: моя беда в том, что мне не хватает любви. Но то было лишь неясное ощущение недостатка — что это за любовь, как именно она изменила бы мою жизнь, я не мог догадаться. Ответ на эти вопросы могла дать только работа, но тогда мне это и в голову не приходило. Советы не помогли бы: никто вокруг меня и не помышлял о таких вещах, да и в книгах, включая Кришнамурти, об этом не говорилось. (Напротив, К. предпочитал настаивать на тщете любого труда, автоматически отождествляя его с «желанием стать, а не быть».) Итак, с моей заимствованной «мудростью» в роли всеведущего проводника, мне оставалось лишь одно: терпеливо ждать, когда «любовь» сама снизойдет на меня с небес, как милость Господня.

Вконец обессиленный, я ждал; энергия души иссякла, волна пошла вниз. Но спад влечет за собой подъем: ведь я узнал о себе самом скромную истину, которая оказалась источником новых сил и вскорости вынесла меня на гребень новой волны — едва ли не столь же мощной, как та, что два с половиной года спустя увлекла меня с собою в мою первую медитацию. Через несколько месяцев, когда спасительный случай приковал меня к постели, я стал задумываться о многих вещах (и записывать свои мысли). Тогда я впервые пересмотрел свои представления о мире, на которых основывались мои отношения с людьми вокруг. Это были взгляды, которые перешли ко мне от родителей (в первую очередь, от матери); прежде я никогда не пытался выразить их словами. Поразмыслив об этом, я ясно понял, что представления эти оказались несостоятельными: они не соответствовали действительности, не знали развития и движения и заведомо не могли служить прочной основой для моих отношений с другими. Правда, рассуждал я все еще «в духе Кришнамурти», на том же языке и опасаясь каких-либо усилий на пути к пониманию — настоящего труда в этом не было. И все же, кое-что для меня тогда прояснилось: то, о чем я несколько месяцев назад лишь смутно догадывался, облачилось в слова и стало знанием — вернуться к прежнему неведению я уже не мог. Это знание я никогда не почерпнул бы из книг, и никто на свете не мог бы мне его передать.

Для того чтобы перейти в медитацию, моему размышлению не хватало тогда вполне определенных черт. Исследуя свое представление о мире, я позабыл бросить взгляд и на свое представление о себе самом, пересмотреть более полную систему аксиом, в которой я сам фигурировал бы «во плоти». Но этого мало: медитируя, всегда держишь в поле зрения себя самого в настоящий момент, следишь, как чувства сменяют друг друга в твоей душе по мере того, как бежит раздумье. Если бы я научился этому тогда, в 1974 г., я тут же заметил бы и влияние чужого стиля, и даже потворство собственным слабостям (в буквальном смысле), пронизывавшее мои записки: из-за этого в них не хватало искренности, естественности. Однако это размышление, несмотря на все его недостатки (и на то, что в моих отношениях с другими оно само по себе не многое изменило), представляется мне важным этапом, отправной точкой на пути к обновлению. Два года спустя я пошел именно по этой дороге и продвинулся намного дальше. Тогда-то я и открыл медитацию, внезапно столкнувшись с тем обстоятельством, что во мне самом есть нечто неизвестное — и оно звало за собой. Оказалось, что в моей собственной душе есть вещи, которые можно открывать и исследовать, и эта новость определила течение моей жизни на много лет вперед. И в то же время сама природа моих отношений с людьми ожила и стала преображаться…

Боль, обернувшаяся благом

(42). Обстоятельства были и впрямь «чрезвычайные»: в конце 1969 г. я вдруг узнал, что мой институт (с которым я к тому моменту сроднился так, что чувствовал себя от него неотделимым) частично финансировало министерство обороны. С моими тогдашними (да и нынешними) представлениями о морали это было несовместимо. Вслед за этим событием чередой явились другие, и каждое открывало мне глаза на то, что творилось у меня под носом. В конце концов я ушел из IHES: причин накопилось достаточно. И постепенно мой круг общения, как и род занятий, переменились до неузнаваемости.

В те памятные годы, когда IHES еще только зарождался как научная организация, Дьедонне и я были единственными его членами. Мы вдвоем обеспечивали ему аудиторию в научном мире: Дьедонне издавал «Математические записки» (первый том вышел в 1959 г., на следующий год после того, как Леон Мочан основал IHES), а я проводил «Семинары по алгебраической геометрии». Положение института в первые годы его существования было весьма ненадежно: не было ни постоянного источника средств (IHES держался тогда лишь щедростью нескольких компаний-меценатов), ни помещения — если не считать зала, который нам (с видимой неохотой) предоставляла на дни семинара Fondation Thiers в Париже^{90}. Я чувствовал себя, вместе с Дьедонне, как бы «научным соучредителем» IHES и всерьез собирался до конца своих дней трудиться под сенью нашего института. Я просто жил его жизнью — но когда для меня начались времена невеселых откровений, никто из коллег не разделил со мною моих тревог: все, что я говорил и делал, в институте принимали равнодушно, если не настороженно. Решив уйти из IHES, я переживал это событие, как отречение от своего второго «я». Но позднее я понял, что этот разрыв принес мне освобождение.

Сегодня, оглядываясь назад, я вижу, что в то время я уже начинал испытывать потребность в обновлении — с каких пор, сказать не берусь. Не случайно за год до ухода из IHES я в один прекрасный день совершенно забросил математику (оставив неразрешенными задачи, так увлекавшие меня накануне) и ударился в биологию. (Произошло это под влиянием моего друга-биолога, Марсеа Димитреску.) Я думал заняться этим всерьез: духу нашего института, его многонаправленности, мой выбор как будто вполне соответствовал. Но моих проблем, по сути, он разрешить не мог. Жажда обновления искала выхода — и не могла найти его в обстановке «научной парильни». Я должен был покинуть IHES, чтобы ступить на путь «пробуждений» — от одного к другому, словно бы по ступеням высокой лестницы. Их было семь (последнее — в 1982 г.). В этом смысле история с «военными фондами» оказалась подарком судьбы, ведь именно она повлекла за собой первое «пробуждение» из этой цепочки. Выходит, я в долгу у военного министерства, да и мои бывшие коллеги по IHES заслужили все права на мою признательность!

(43). Эти стихи — о том, что я знал не понаслышке, но глубоко прочувствовал сердцем. Вещи, о которых в них говорилось, и по сей день представляются мне столь же важными для моей жизни, да и для «жизни вообще», как и в тот момент, когда я писал их, думая опубликовать. Если позднее я отказался от этой мысли, то в первую очередь потому, что увидел, как пострадала форма моего сочинения от того, что я нарочно старался ее «украсить». Замысел, в целом, был слишком сложен, местами стихи особенно грешили надуманностью — так, что слова на бумаге словно бы застывали в напыщенной неподвижности. Эта выспренность, безусловно, шла от хозяина: на сей раз он вел в танце, и так неуклюже…

(44). Разумеется, я здесь не учитываю возможности, которой отнюдь не следует исключать: внезапной развязки ядерной войны, или другой маленькой радости в том же роде. Такое событие грубо, раз и навсегда, оборвало бы общую игру по имени «Математика» — да и все прочие беспечные забавы.

Комментарии

Postscript файл перевода доступен по адресу http://www.math.harvard.edu/~verbit/Grothendieck/Grothendieck.html

Примечания даются не в виде сносок, а собраны все вместе после основного текста. Некоторые из них даже имеют собственные названия. Здесь приводится их список с порядковыми номерами (средний столбец) и номерами разделов, к которым данные примечания относятся (правый столбец). — Прим. перев. Примечания 44i и далее (к § 50 «Груз прошлого») не вошли в этот список: они составляют часть «Похороны». От издателя.

Робер Жолэн — мой старинный друг. По моим представлениям, выйдя один на один с узаконенным сводом нравов сообщества этнологического, он поставил себя в положение («белой вороны»), в чем-то сходное с моим противостоянием «высшему свету» в математике.

Сильви и Катрин Шевалле — вдова и дочь Клода Шевалле, коллеги и друга, которому посвящена центральная часть «РС» (PC III, «Ключ к Инь и Ян»). И на страницах моих раздумий я неоднократно говорю о нем и о той роли, которую он сыграл в выборе моего пути.

Между 1945 и 1948 годами мы с матерью жили в маленькой деревушке Мераргю (неподалеку от Вераргю), затерянной среди виноградников, в десяти километрах от Монпелье. (Мой отец погиб в Освенциме в 1942 г.) Чтобы сводить концы с концами, я участвовал каждый год в сборе винограда, а после из того, что было забыто на лозе, делал вино, которое и продавал кое-как (кажется, в нарушение действовавших тогда законов). Кроме того, рядом был сад, который, хоть никто за ним и не ухаживал, в изобилии поставлял нам фиги, шпинат и даже (под конец) помидоры, посаженные любезным соседом на острове в море великолепных маков. То была красивая жизнь, но не без ям на дороге — когда нужно было заменить оправу очков или ботинки, изношенные до нитки. К счастью, моя мать, ослабленная и больная вследствие долгого пребывания в лагерях, имела право на бесплатную медицинскую помощь. У нас ни за что не достало бы денег на лечение…

Я поместил короткий рассказ об этом переходном периоде, довольно трудном, в первой части «РС», в разделе «Желанный иностранец».

Это несколько неточная формулировка. Я не мог «научиться быть один» по той простой причине, что я никогда и не разучивался, в детстве эта способность была со мной — с рождения, как и со всяким другим ребенком. Но три года уединенного труда, когда я смог дать самому себе оценку, исходя из моих собственных внутренних критериев, подтвердили и обновили во мне, по отношению к математическим занятиям на этот раз, основу спокойной уверенности в себе, не подчиненной законодательству общепринятых соглашений или велениям моды. Я еще коснусь этого в примечании «Корни и одиночество» (PC IV, п. 171/3, в особенности стр. 1080).

Так, возможные исправления ошибок (фактических, во взгляде на вещи и пр.) не вводятся ретушевкой первого наброска, а появляются в виде сносок внизу страницы или во время позднейшего возвращения к тому же вопросу.

Для уточнений по поводу «резкого вызова» см. «Письмо», особенно разделы 3–8.

Ожидаемое примечание по завершении вылилось в часть IV «РС», состоящую из 70 примечаний, растянувшуюся на добрые четыреста страниц.

В равной мере и здесь, и там в дополнение к математическим обзорам уже завершенного мной труда содержатся новые математические разработки. Из них самая длинная — «Пять фото (кристаллы и Х›-модули)» в «РС» IV, примечание п. 171 (ix).

Главная тому причина мне видится в наличии определенного благоприятного климата, окружавшего меня в детстве, начиная с пятилетнего возраста. См. по этому поводу примечание «Невинность» (PC III, п. 107).

Этот образ-архетип строящегося дома в первый раз всплыл на поверхность и нашел словесное выражение в примечании «Инь-слуга и новые хозяева» (PC III, п. 135).

Я рассказываю об этих шагах в разделе «Долгожданный иностранец» (PC I, § 9).

Это не помешало мне (вслед за Картаном и Серром) войти в число тех, кто активнейшим образом применял, пропагандировал и способствовал развитию одного из важнейших новаторских понятий, введенных Лерэ, то есть понятия пучка, занявшего место в ряду главных инструментов для моего труда, посвященного геометрии. Оно же снабдило меня ключом к расширению понятия пространства (топологического) до понятия топоса, о котором пойдет разговор ниже.

Крадучись в обход прямого смысла, тайком, я соединил в этом месте два мужественно звучащих наименования («строитель» и «первопроходец»), которые отражают, однако, весьма различные аспекты импульса к открытию — более тонкие по своей природе, чем эти два слова способны передать. Нам еще предстоит с этим столкнуться во время прогулки-раздумья, на этапе «Открытие Матери, или два склона» (§ 17).

Тем самым он невольно устанавливает в этой древней (если не для него самого, то, по крайней мере, для менее подвижных его сородичей) Вселенной новые границы, новые круги, конечно, просторнее прежних, но столь же невидимые, столь же властные, как и те, которые он, восстав, смог лишь заменить.

Именно так обстояли дела в математике в период с 1948 по 1969 г., чему я был непосредственным свидетелем, когда сам входил в математическое сообщество. После моего ухода в 1970 г. наблюдалось что-то похожее на широкомасштабное сопротивление, вроде «всеобщего презрения», по отношению к «идеям» вообще, и особенно к важнейшим новаторским идеям, мною предложенным.

Большинство моих старших коллег (о чем говорится, например, в разделе «Желанный долг», Введение, § 10) относятся к этому промежуточному типу. В особенности мне приходят на ум Анри Картан, Клод Шевалле, Андре Вейль, Жан-Пьер Серр, Лоран Шварц. Впрочем, они все, кроме, быть может, Вейля, сочувственным взглядом, «не тая ни тревоги, ни укора», провожали меня в мои уединенные походы за приключениями.

Конечно, это справедливо не для одного только «нашего искусства», но и (как мне кажется) для всякого труда, связанного с открытием, по крайней мере, в русле умственного познания.

Всякая точка зрения приводит к развитию языка, на котором она может быть выражена, именно ей присущего. Иметь несколько «глаз»21, или «точек зрения», для изучения ситуации означает также (по крайней мере в математике) располагать несколькими различными языками, чтобы подойти к ней со всех сторон.

Образ сомнамбулы был мне навеян названием замечательной книги Кестлера «Сомнамбулы» (изд. Кальман Леви), представляющей собой «Очерк истории концепций Вселенной» (со времен зарождения научной мысли до эпохи Ньютона). Одна из особенностей этой истории поразила Кестлера, а именно — до какой степени иногда путь от одной точки на маршруте познания мира до другой, как будто бы (по логике вещей и в перспективе многих лет) к ней совсем близкой, претерпевает немыслимые повороты, словно нарочно бросая вызов здравому смыслу; и как при этом, пройдя тысячу поворотов и, кажется, заблудившись безвозвратно, с «уверенностью сомнамбулы» люди, которые отправлялись на поиски «ключей» к устройству Вселенной, натыкались, как бы вопреки себе и часто не отдавая себе в том отчета, на другие «ключи», существования которых они решительно не предвидели, и которые, однако, оказываются «подходящими».

Начиная с шестидесятых годов, часть из них написана совместно с коллегами (прежде всего Ж. Дьедонне) и учениками.

Важнейшим из этих понятий сделан обзор в «Тематическом очерке» и в сопровождающем его «Историческом комментарии», которые будут включены в четвертый том «Раздумий». Некоторые из названий были мне предложены друзьями и учениками, как, например, термин «гладкий морфизм» (Ж. Дьедонне) или набор понятий «ситус, стэк, джерб, связка», получивших развитие в диссертации Жана Жиро.

К тому моменту, как я покинул математическую сцену в 1970 г., общая масса моих публикаций (многие из которых написаны в соавторстве), имеющих центральной темой схемы, должно быть, составляла около десяти тысяч страниц. Это, однако, лишь скромная часть программы широкого масштаба, относящейся к схемам, которую я видел перед собой. Стоило мне удалиться со сцены — и эта программа была заброшена на неопределенное время, как нечто не сулящее перспектив… а ведь (за очень редкими исключениями) все, что я когда-либо заметил и затем развивал для передачи в общее распоряжение, благополучно вошло в копилку «хорошо известных», активно используемых в науке вещей.

Вот, для заинтересованного читателя-математика, список этих двенадцати главных идей, или «ключевых тем» моего труда (в хронологическом порядке их появления):

Из этих тем наиболее обширной по своей значимости мне представляется тема топосов, которая осуществляет идею синтеза алгебраической геометрии, топологии и арифметики. Самой объемной по числу приложений, получивших развитие уже на настоящий момент, оказалась теория схем. (См. по этому поводу сноску на предыдущей странице.) Именно она в полном смысле слова составила среду обитания еще восьми из рассматриваемых тем (то есть всех остальных, кроме первой, пятой и десятой) и в то же время предоставила ключевое понятие для полнейшего обновления алгебраической геометрии и ее языка.

Единственный «полуофициальный» текст, в котором эти три темы мало-мальски обрисованы — «Набросок программы», составленный в январе 1984 г. по случаю запроса из CNRS. Этот текст (о нем говорится также в третьем параграфе «Введения», «Компас и багаж») будет в основе своей включен в четвертый том «Раздумий».

Сentre national de la recherche scientifique — Национальный центр научных исследований — прим. перев.

Cхоронив втихомолку, чуть не на другой день после моего ухода, этих трех сирот, двух из них потом вырыли с оркестром, позабыв упомянуть труженика-родителя: одну в 1981 г., и другую (ввиду безусловного успеха предыдущей операции) на год позже.

Оговорки эти относятся прежде всего к йоге дуальности Гротендика (производные категории и шесть операций) и топосов. О них (и еще о многом другом) речь пойдет более подробно в частях II и IV «РС» («Похороны» (1) и (3)).

Год 1957 г. — тот самый, когда мне удалось настичь по горячему следу тему «Римана-Роха» (версия Гротендика), которая сразу же принесла мне «всеобщую известность». Это также год смерти моей матери, то есть резко выделенный в моей жизни — и один из наиболее интенсивно творческих, причем не на одной только математической ниве. Двенадцать лет уже шло тому, как все мои силы были вложены в математику. И я вдруг ясно почувствовал, что мои занятия сделали почти «полный оборот» по кругу, так что на часах, пожалуй, время их оставить и взяться за что-то другое. Очевидно, то была потребность духовного обновления, впервые тогда ко мне подступившая. Я собрался было стать писателем, и на многие месяцы прекратил всякую деятельность, связанную с математикой. Под конец я решил, что запишу черным по белому хотя бы те математические работы, какие у меня уже были начаты; без сомнения, дело нескольких месяцев, года самое большее…

Мне в первый раз пришло в голову этому видению дать название в «Раздумьи» от 4 декабря 1984 г. (сноска п. 136/1 к примечанию «Инь-слуга (2), или великодушие» — PC III, стр. 637).

То, что этот образ должен оставаться расплывчатым, нисколько не мешает ему быть верным истинной сути объекта, о котором идет речь (в данном случае моего труда). Наоборот, образ ясный и отчетливый может оказаться сильно искаженным, и к тому же содержать в себе лишь побочные, второстепенные черты объекта, совершенно опуская главные. И потом, если в тебе «найдет зацепку» то, что я скажу о своем труде (а тем самым, разумеется, и кое-что от того образа, который действительно «проносится» предо мной), ты сможешь похвастаться куда лучшим пониманием его сути, чем, пожалуй, любой из моих ученых коллег.

Здесь имеются в виду «натуральные числа» 0, 1, 2, 3 и т. д., или (в крайнем случае) числа (дробные), которые нужны как подручные для выполнения элементарных действий. Они не претендуют на то, чтобы, подобно «вещественным числам», измерять величины, способные к непрерывному изменению — такие, как расстояние между двумя точками, движущимися вдоль прямой, на плоскости или в пространстве.

Я использую сочетание слов «захлестывающий, сверх всякой меры», чтобы кое-как передать выражение «uberwaltigend» из немецкого и его английский эквивалент «overwhelming». В предыдущем предложении выражение (неадекватное) «захватывающее ощущение» следует воспринимать со следующей окраской: то, что бывает, когда мы сталкиваемся с невероятным великолепием, величием и красотой вне рамок обыденного, так, что чувства лавиной обрушиваются на нас — и тогда любая робкая попытка описать, что творится с нашими душами, заранее обречена на неудачу.

Я знал об этой «мечте Кронекера» лишь понаслышке до тех пор, пока кто-то (вполне возможно, что это был Джон Тэйт) не сказал мне, что я нахожусь в процессе ее осуществления. Образование, которое я получал от старших коллег, ссылки на историю включало редко. Восполнялось это не чтением современных или сколько-нибудь древних авторов, но в первую очередь общением с другими математиками, непосредственным или по переписке, начатой старшими. Основным, даже может быть, единственным, внешним источником вдохновения для внезапного и бурного старта теории схем в 1958 г. была статья Серра, хорошо известная под сокращением АКП («Алгебраические когерентные пучки»), которая вышла в свет на несколько лет раньше. В остальном же все дальнейшее развитие теории питалось энергией, истекавшей по сути от нее самой. Поток этот возобновлялся с годами, хотя бы только в соответствии с требованиями простоты и внутренней согласованности, в попытке рассмотреть в новом контексте все «хорошо известное» в алгебраической геометрии (и усвоенное мной по мере того, как преобразовывалось, проходя через мои руки) — и то еще, что это «известное» дало мне возможность предугадать.

По правде говоря, традиционно именно «непрерывный» аспект находился в центре внимания геометрии, в то время как свойства «дискретной природы», в частности численные и комбинаторные, было принято обходить молчанием, или кой-как, мельком учитывать. И воистину с восхищением десять лет назад я обнаружил богатства комбинаторики икосаэдра, а ведь эта тема совсем не затронута (может быть, даже не замечена) Клейном в его классической книге об икосаэдре. Другой поразительный признак той же (двухтысячелетней) небрежности геометров, которые стояли лицом к лицу с дискретными структурами, самопроизвольно проникшими в геометрию, мне видится в том, что понятие группы (симметрии, в частности) не появлялось вплоть до конца прошлого века — и поначалу оно было введено (Эваристом Галуа) в контексте, который тогда не почитался частью геометрических владений. Правда, что и в наши дни есть немало алгебраистов, все еще не разобравших, что теория Галуа — видение по сути своей геометрическое, которому удалось обновить наше понимание явлений, именуемых «арифметическими»…

Андрэ Вейль, французский математик, эмигрировавший в Соединенные Штаты, один из «членов-основателей» группы Бурбаки, о которой немало будет сказано в первой части «РС» (как, впрочем, и о самом Вейле).

(Предназначается для читателя-математика.) Речь идет о «конструкциях и рассуждениях», связанных с когомологической теорией комплексных или гладких многообразий, в частности, включающих формулу неподвижных точек Лефшеца и теорию Ходжа.

Речь идет о четырех «средних» темах (5–8), то есть темах топоса, мотивов, этальных и l-адических когомологии и (в меньшей степени) кристаллов. Я их извлек на свет одну за другой между 1958 и 1966 годами.

(Предназначается для читателя-математика.) Основным вкладом Зарисского в этом направлении мне представляется введение «топологии Зарисского» (ставшей позднее важным инструментом для Серра в АКП), его «принцип связности» и то, что он назвал «теорией голоморфных функций» — сделавшейся в его руках теорией формальных схем; также «теоремы сравнения» между формальным и алгебраическим (наряду с основополагающей статьей ГАГА Серра, вторым источником вдохновения). Что же до вклада Серра, о котором я упомянул в тексте, он, безусловно, заключается прежде всего во введении в абстрактную алгебраическую геометрию точки зрения пучков (предложенной Жаном Лерэ десятью годами раньше в совершенно ином контексте), в другой его важнейшей работе АКП («Алгебраические когерентные пучки»), о которой здесь уже говорилось.

О бурном зарождении новой геометрии (1958 г.) идет речь в сноске п. 31. Понятие ситуса, или «топологии Гротендика» (предварительная версия понятия топоса), появляется по горячим следам понятия схемы. Оно, в свою очередь, предоставляет в распоряжение математиков новый язык «локализации» или «спуска», который применяется на каждом шагу при развитии темы и инструмента теоретико-схемных. Понятие топоса, более глубокое и геометрическое, остается невыраженным в явном виде в течение нескольких последующих лет; оно выбирается на свет главным образом начиная с 1963 г. с развитием этальных когомологии и понемногу заставляет признать себя первым из основополагающих.

Удобно также включить в этот ряд и случай р = 00, соответствующий алгебраическим многообразиям «в характеристике нуль».

Отчет об этом «бурном старте» теории схем был предметом моего доклада на Международном Конгрессе Математиков в Эдинбурге в 1958 г. Текст этого доклада мне представляется одним из лучших введений в теорию схем, способным (быть может) увлечь читателя-геометра идеей ознакомиться с внушительным трактатом (позднейшим) «Начала Алгебраической Геометрии», в котором тщательным образом (не опуская ни единой технической подробности) излагаются новые основы и новые методы алгебраической геометрии.

Говоря о понятии «предела», я подразумеваю здесь в первую очередь «предельный переход», скорее чем понятие «границы» (которое ближе нематематику).

По правде говоря, инварианты, введенные Бетти, были гомологиями. Когомологии, более или менее эквивалентные им, «дуальные» понятия, были введены гораздо позднее. Этот аспект обрел превосходство над начальным, «гомологическим», главным образом, бесспорно, вслед за введением Жаном Лерэ точки зрения, основанной на понятии пучка, о чем говорится ниже. В техническом отношении можно сказать, что огромная часть моего труда в области геометрии состояла в извлечении на свет и развитии в тех или иных пределах недостающих когомологических теорий для пространств и многообразий всех видов, прежде всего «алгебраических многообразий» и схем. Мне привелось, прокладывая дорогу, истолковать традиционные гомологические инварианты в терминах когомологических, и тем самым представить их в совершенно новом свете.

Парадоксально, у Вейля был прочный «барьер», очевидно, инстинктивный, против когомологического формализма — при том, что именно его прославленные гипотезы в значительной мере послужили основой для развития важнейших когомологических теорий в алгебраической геометрии, начиная с 1955 г. (первоначальный толчок процессу был дан Серром, с его основополагающей статьей АКП, уже упоминавшейся в одной из предыдущих сносок).

(Предназначено для математика.) По правде говоря, здесь речь идет о пучках множеств, а не о пучках абелевых групп, введенных Лерэ как самые общие коэффициенты «теории когомологии». Думаю, что я первым начал систематически работать с пучками множеств (начиная с 1955 г., в моей статье «Общая теория расслоенных пространств со структурным пучком», изданной в Канзасском Университете).

(Предназначено для математика.) Строго говоря, это справедливо лишь для пространств, называемых «трезвыми». Они, однако же, составляют почти все типы пространств, с какими обыкновенно сталкиваешься — в частности, таковы все «отделимые» пространства, излюбленные аналитиками.

«Зеркало», о котором речь, таково, что если поместить перед ним пространство, оно даст (как в «Алисе в стране чудес») в качестве «отражения» соответствующую

(Предназначено для математика.) Здесь речь идет прежде всего о свойствах, которые я ввел в теорию категорий под названием «свойства точности» (одновременно с современным категорным понятием общих индуктивных и проективных «пределов»). См. русский перевод «О некоторых вопросах гомологической алгебры», Библиотека сборника «Математика«, Москва, 1961.

Так, можно построить топос весьма «объемный», в котором будет только одна «точка» — или вовсе ни одной!

Название «топос» было выбрано (в связи с понятием «топология» или «топологический»), чтобы наводить на мысль о том, что речь идет об объекте, в полном смысле слова относящемся к области топологической интуиции. По обилию мысленных образов, которые слово «топос» вызывает, его можно рассматривать как более или менее эквивалент термину «пространство» (топологическое), просто сильнее подчеркивая «топологическую» специфику понятия. (Так, есть «векторные пространства», но не «векторные топосы», вплоть до нового распоряжения!) Необходимо сохранить оба выражения, каждое со своей спецификой.

Среди них есть, в частности, конструкции известных «топологических инвариантов», переведенные на новый язык инвариантами когомологическими. Для этих последних я сделал все, что требовалось, — в статье, уже упоминавшейся («О некоторых вопросах гомологической алгебры», 1961) — чтобы придать им смысл для любого топоса.

(Предназначается для читателя-математика.) Когда я говорю «довести до конца эту скромную идею», то имею в виду идею этальных когомологии, как подход к гипотезам Вейля. Именно под этим лозунгом произошло открытие мною понятия ситуса в 1958 г. и дальнейшее развитие его (или очень близкого к нему понятия топоса) и формализма этальных когомологии под моим руководством (с помощью нескольких сотрудников, о которых я скажу в свое время) между 1962 и 1966 годами.

(Предназначено для математика.) Гипотезы Вейля находятся в зависимости от предположений арифметической природы: именно, рассматриваемые в них многообразия должны быть определены над конечным полем. С точки зрения когомологического формализма это приводит к тому, что особое место получает эндоморфизм Фробениуса, соответствующий данной ситуации. При моем подходе ключевые свойства (типа «обобщенной теоремы об индексе») связаны с произвольными алгебраическими соответствиями и не требуют никаких ограничений арифметической природы над основным полем, предварительно заданным.

При этом после моего ухода в 1970 г. весьма четко наметилось движение реакции, которое вылилось в ситуацию относительного застоя, о которой я не раз упомяну при случае на страницах «РС».

«Обыкновенные» значит здесь: «определенные над полем комплексных чисел». Теория Ходжа (называемая также гармоническими интегралами) была мощнейшей из известных когомологических теорий в контексте комплексных алгебраических многообразий.

Эта тема — наиболее глубокая по крайней мере за весь «открытый» период моей математической деятельности, между 1950 и 1969 годами, то есть вплоть до того момента, как я оставил математическую сцену. Я считаю тему анабелевой алгебраической геометрии и теорию Галуа-Тейхмюллера, получившие развитие, начиная с 1977 г., сравнимыми с ней по значению.

(Предназначается для читателя, занимающегося алгебраической геометрией.)

(Предназначается для читателя-математика.) Эти теории соответствуют, по порядку, когомологиям Бетти (определенным с трансцендентной точки зрения, с помощью вложения основного поля в поле комплексных чисел), когомологиям Ходжа (определенным Серром) и когомологиям де Рама (определенным мной); две последние относятся еще к пятидесятым годам (а теория Бетти — к предыдущему столетию).

(Предназначается для читателя-математика.) Например, если / — эндоморфизм алгебраического многообразия X, индуцирующий эндоморфизм пространства когомологии Нг(Х), «характеристический многочлен» последнего должен быть многочленом с целыми коэффициентами, не зависящими от выбора конкретной когомологической теории (например, /-адической для различных /). То же верно для общих алгебраических соответствий, если X собственное и гладкое. Печальная истина (дающая представление о плачевном состоянии заброшенности когомологической теории алгебраических многообразий в характеристике р › О, считая с моего ухода) состоит в том, что это не доказано по сей день даже для частного случая, когда X есть

(Предназначается для читателя-математика.) Другой способ представить себе категорию мотивов над полем к — рассмотреть ее как что-то вроде «обертывающей абелевой категории» для категории отделимых схем конечного типа над к. Мотив, соответствующий такой схеме X (или «мотивные когомологии X», которые я обозначаю Н^о1.(Х)) оказывается, таким образом, некоей абелианизированной «аватарой» X. Самое важное здесь, что совершенно так же, как алгебраическое многообразие X поддается «непрерывной деформации» (его класс изоморфизма зависит от непрерывных «параметров», или «модулей»), мотив, соответствующий X, или, более общо, «переменный» мотив, также поддается непрерывной деформации. Этот аспект мо-тивных когомологии находится в разительном контрасте с тем, что происходит со всеми классическими когомологическими инвариантами, в том числе /-адическими, за единственным исключением когомологии Ходжа комплексных алгебраических многообразий.

Я излагал свою точку зрения на мотивы тем, кто желал выслушать, на протяжении всех этих лет, не взяв на себя труда что бы то ни было опубликовать на этот предмет (в других насущных вопросах не было недостатка). Позже это дало возможность кое-каким из моих учеников «заимствовать» с пущей непринужденностью, под трогательным присмотром всех разом моих старинных друзей, прекрасно знакомых с истинным положением дел. (См. последующую сноску.)

В действительности, эта тема была эксгумирована в 1982 г. (годом позже, чем тема кристаллов) под тем же названием на этот раз (и в более узкой форме: дело ограничивалось случаем основного поля характеристики нуль), только имя задумавшего ее работника не произносилось. Это один пример из множества прочих, когда тема или понятие, похороненные тут же после моего ухода как безумные гротенди-ческие причуды, бывали извлечены из могил одна за другой некоторыми из моих учеников в ходе десяти-пятнадцати последующих лет со скромным достоинством и (нужно ли уточнять) без упоминания работника…

macho (исп.) — мужчина, мужской — прим. перев.

То, что я говорю здесь о математической работе, столь же справедливо для труда «медитации» (о котором в том или иной мере говорится на всем протяжении «РС»). Я уверен и в том, что нечто подобное возникает на пути всякого труда открытия, включая работу художника (скажем, поэта или писателя). Два «склона», которые я пытаюсь здесь описать, можно рассматривать и по-другому: первый связан с выражением готовых идей и возникающими при этом потребностями технического толка; на второй же переходишь, чтобы принимать сигнал (то есть ощущения, впечатления всякого рода). Напряженное внимание, преобразуя такой сигнал, делает его источником вдохновения. Оба аспекта присутствуют в каждый момент работы; преобладает, по очереди, то один, то другой.

Это не значит, что в моей работе не хватает так называемых «великих теорем». Их довольно, включая те, которые впервые разрешали давно висевшие в воздухе (не мной поставленные) вопросы. (Я сделал обзор некоторых из них в сноске на стр. 554 — в примечании «Море, которое вздымается…» (PC III, п. 122).) Но, как я подчеркнул в начале этой «прогулки» (на этапе «Точки зрения и видение, § 6), эти теоремы обретают для меня свой полный смысл лишь в щедром на толкования контексте единой темы, порожденной одной из таких «плодотворных идей». Тогда уже их доказательство легко вытекает из самой природы, из «глубины» несущей их темы. Так волны в реке свободно рождаются от самой водяной глуби и несутся вперед плавно, без усилий. Я говорю о том же самом, используя иные образы, в примечании «Море, которое вздымается…» (см. выше).

Cначала, приступая к Эпилогу, я собирался включить в него сжатый обзор некоторых из этих «глубоких изменений» и вкратце осветить эту «непрерывность по существу», как она мне виделась. Все же я передумал, дабы «Прогулка» не затянулась чрезмерно — и так уж она куда длиннее, чем я ожидал. Предполагаю вернуться к этому вопросу в Исторических Комментариях, намеченных для четвертого тома «РС», обращаясь на этот раз к читателю-математику (что должно полностью изменить задачи изложения).

Это утверждение (некоторым оно представляется чересчур категоричным) вполне выверено здравым смыслом. Оно ни более, ни менее соответствует действительности, чем утверждение (к нему я еще вернусь ниже) о том, что «ньютоновская модель» механики (земной или небесной) была «при смерти» в начале этого века, когда Эйнштейн явился ей на выручку. Несомненно, что еще и теперь для большей части «повседневных» ситуаций в физике модель Ньютона совершенно адекватна, и было бы нелепо (ввиду допустимой степени точности измерений) отправляться на поиски релятивистской модели. Точно так же, во многих ситуациях в математике привычные старинные понятия «пространства» и «многообразия» остаются абсолютно адекватными, так что нет нужды в погоне за нильпотентными элементами, топосами или «ручными структурами». Но и в том и в другом случае для растущего числа контекстов, участвующих в современных исследованиях, самые «обычные» ситуации не умещаются в рамках старинного восприятия.

(Предназначено для математика.) К этому «потомству» я отношу, в частности, формальные схемы, стэки (орбиобразия, «пространства» модулей — устоявшегося

Случилось так, впрочем, что к этим двоим младенцам прибавился третий, еще младше, который появился на свет в менее мягкие времена — малютка ручное Пространство. Как я уже отмечал выше, у него нет свидетельства о рождении, и я совершенно незаконно включил его, несмотря на это, в число двенадцати «главных тем», которые я имел честь привнести в математику.

Это, конечно, не слишком подробное описание идеи Эйнштейна. В техническом отношении, следует указать, какой структурой снабжено новое пространство-время (она, впрочем, уже «носилась в воздухе» после теории Максвелла и идей Лоренца). Существенный шаг вперед был не технической природы, но философской: принять в расчет, что понятие одновременности для событий, отдаленных в пространстве,

Речь идет прежде всего о понятии «риманова многообразия» и тензорного исчисления над этим многообразием.

Одна из самых поразительных черт, отличающих эту модель от евклидовой (или ньютоновской), а также от первой модели Эйнштейна (из «специальной теории относительности») состоит в том, что глобальная топологическая форма пространства-времени остается неопределенной, вместо того чтобы быть предписанной автоматически самой природой модели. Вопрос определения этой глобальной формы кажется мне (как математику) одним из самых увлекательных в космологии.

Гипотетическую теорию, которая объединила и согласовала бы между собой все частичные теории, о которых идет речь, назвали «теорией великого объединения». У меня есть ощущение, что то, над чем здесь стоит основательно поразмыслить, распадается на нижеследующие два раздела.

Я нимало не претендую на близкое знакомство с трудом Эйнштейна. На деле я не прочел ни одной из его работ и не узнал ни одной из его идей иначе, как со слуха, притом весьма приблизительно. Мне, однако, кажется, что я вижу лес за этими незнакомыми мне деревьями…

Для пояснения, что значит «при смерти» в применении к математической модели, см. сноску п. 70.

Как я это себе представляю (на основе отзвуков, долетавших до меня с разных сторон), в общем принято насчитывать в этом столетии три «революции», или великих переворота, в физике: теория Эйнштейна, открытие радиоактивности супругами Кюри, и введение квантовой механики Шредингером.

Еще в детстве, история (да и география, впрочем) меня никогда особенно не увлекала. (В пятой части «РС» (незавершенной) мне выдался случай «мимоходом» обнаружить то, что мне кажется глубокой причиной наличия у меня этого частичного «барьера» по отношению к истории — барьера, который начал, по моему, рассасываться в последние годы.) К тому же, математическое образование, полученное от старших, в «бурбакистском кругу», не навело в моей голове порядка: случайные ссылки на историю были в нем более чем редки.

Через несколько часов после написания этих строчек я был вдруг потрясен тем, что мне и в голову не пришло упомянуть здесь о широком синтезе разделов современной математики, который старался устроить союз (коллектив) Н. Бурбаки. (О группе Бурбаки будет сказано немало в первой части «РС».) Так вышло, мне кажется, по двум причинам.

Эварист Галуа (1811–1832) был убит на дуэли, в возрасте двадцати одного года. Существует, я думаю, несколько его биографий. Я в юности читал о нем роман-биографию, написанный физиком Инфельдом и немало меня тогда поразивший.

См. «Наследие Галуа» (PC I, § 7).

Я, впрочем, убежден, что Галуа пошел бы намного дальше меня. С одной стороны, из-за его исключительной одаренности (что до меня, моя доля куда меньше в этом отношении). С другой — потому, что он, возможно, не допустил бы, в отличие от меня, чтобы большая часть его энергии ушла на эти нескончаемые усилия: постепенно, вплоть до малейших деталей, приводить в должный вид то, что и так уже более или менее известно…

Я понемногу, то здесь, то там, говорю о Клоде Шевалле на страницах «РС», в особенности в разделе «Встреча с Клодом Шевалле, или случай дать волю чувствам» (PC I, § 11), и в примечании «Прощание с Клодом Шевалле» (PC III, примечание п. 100).

Примечания

Речь идет о книге в целом — прим. перев.

Категорию, рассматриваемую как что-то вроде «двойника» пространства, «другой стороны зеркала»…

В свое время будет приведена формулировка этих гипотез. Для более подробных комментариев см. «Обзор построек» (PC IV, примечание п. 178, стр. 1215–1216) и сноска на стр. 769 в разделе «Убеждение и знание» (PC III, примечание п. 162).

Гладкая проективная поверхность при r = 2. В действительности, насколько мне известно, никто после моего ухода не соизволил поинтересоваться этим важнейшим вопросом, типичным из тех, что вытекают из стандартных гипотез. Согласно велению моды, единственный эндоморфизм, достойный внимания — это эндоморфизм Фробениуса (с которым, отчасти, сумел разделаться Делинь, подручными средствами …).

Ecole Normale Superieure — прим. перев.

Institut des Hautes Etudes Scientifiques — Институт высших научных исследований — прим. перев.

Comptes rendus de l'Academie des Sciences — Доклады Академии Наук — прим. перев.

Оглавление

От издателя

Часть I Прелюдия в четырех частях

I. Вместо предисловия

II. Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать

1. Магия вещей

2. О том, как важно быть одному

3. Путешествие по внутреннему миру, или миф и свидетельство

4. Картина нравов

5. Наследники домов и их строители

6. Точки зрения и видение

7. Концепция, или лес за деревьями

8. Видение, или двенадцать тем симфонии

9. Форма и структура, или голоса вещей

10. Новая геометрия, или союз числа и величины

11. Магический веер, или невинность творит чудеса

12. Топология, или с какой меркой подходить к туману на рассвете

13. Топос, или ложе для новобрачных

14. Перерождение понятия пространства, или смелость и вера

15. Всем коням царским

16. Мотивы, или ядро в ядре

17. Открытие Матери, или два склона

18. Дитя и Мать

19. Колокола звонят колыбельную, или трое карапузов за покойника

20. Заглянем к соседям напротив

21. «Незаменимое», или дар одиночества

Часть II Самодовольство и обновление

I. Труд и открытие

1. Ребенок и Господь Бог

2. Ошибка и открытие

3. О чем не принято говорить вслух

4. Непогрешимость (других) и презрение (к себе)

II. Мечта и Мечтатель

5. Мечта под запретом

6. Мечтатель

7. Наследие Галуа

8. Грезы и доказательства

III. О том, как страх пришел в математику

9. Желанный иностранец

10. «Математическое общество»: жизнь и вымысел

11. Встреча с Клодом Шевалле, или: свобода и лучшие чувства

12. Заслуги и презрение

13. Сила и толстокожесть

14. Появление страха

IV. Двуличие

16. Болото и первые ряды

17. Терри Миркил

18. Двадцать лет высокомерия, или терпеливый друг

19. Мир без любви

20. Мир без войны?

21. Неразгаданный секрет Полишинеля

22. Бурбаки, или редкая удача — и ее оборотная сторона

23. De Profundis

24. Прощание, или: среди чужих

V. Учитель и ученики

25. Ученик и Программа

26. Два вида строгости

27. Помарка, или двадцать лет спустя

28. Несобранный урожай

29. Отец-противник (1)

30. Отец-противник (2)

31. Власть лишить веры в себя

32. Этика математического ремесла

VI. Урожаи

33. Судьба одной заметки — или новая этика

34. Мутная вода и источник

35. Мои страсти

36. Желание и медитация

37. Восхищение

38. Вернуться к началу и принять обновление

39. Цвет дня и цвет ночи (или Авгиевы конюшни)

40. Математика как вид спорта

41. С каруселью покончено!

VII. Детские забавы

42. Ребенок

43. Хозяин вмешивается, или мальчишка под замком

44. Опять задний ход!

45. Гуру-не-Гуру, или лошадка о трех ногах

VIII. Игра в одиночку

46. Запретный плод

47. Игра в одиночку

48. О дарах и о том, как их принимают

49. Двойственность

50. Груз прошлого

Примечания

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 283; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 3334

Мы поможем в написании ваших работ!