Видение, или двенадцать тем симфонии
8. Пожалуй, можно сказать, что «концепция» есть не просто новая точка зрения, показавшая себя плодотворной, но еще и такая, за которой, ее воплощением, входит в науку новая и широкая тема. И всякая наука, если понимать ее не как инструмент власти и могущества, но как путешествие-приключение человеческого сознания, предпринятое века тому назад — есть не что иное, как гармония богатая или бедная тонами, смотря по эпохе, которая разворачивается перед нами, пока мы размениваем столетья и поколения, изысканным контрапунктом всех этих тем, вступающих поочередно — словно бы призванных из небытия, чтобы, переплетясь друг с другом, слиться в ней воедино.
Среди многочисленных новых точек зрения, введенных мной в математику, есть, как видно в перспективе лет, двенадцать таких, которые я бы назвал концепциями{26}. Представить себе мой математический труд, его «почувствовать», значит увидеть и почувствовать мало-мальски хотя бы некоторые из идей и соответствующих им главных тем, составивших основу его и душу.
Силою обстоятельств некоторые из этих идей «главнее», чем другие (которые, в свою очередь, тем самым менее значительны). Иными словами, среди новых тем, о которых шла речь, попадаются те, что шире остальных, и те, что глубже проникают в сердце математических тайн{27}. Есть три (и не последние по масштабу, на мой взгляд),
1. Топологические тензорные произведения и ядерные пространства.
|
|
|
2. «Непрерывная» и «дискретная» двойственность (производные категории, «шесть операций»).
3. «Йога» Римана-Роха-Гротендика (К-теория, связь с теорией пересечений).
4. Схемы.
5. Топосы.
6. Этальные и /-адические когомологии.
7. Мотивы и мотивная группа Галуа ((^-категории Гротендика).
8. Кристаллы и кристальные когомологии, йога «коэффициентов де Рама», «коэффициентов Ходжа».
9. «Топологическая алгебра»: оо-стэки, derivateurs; когомологический формализм топосов как основа для новой гомотопической алгебры.
10. Ручная топология.
11. Нога анабелевой алгебраической геометрии, теория Галуа-Тейхмюллера.
12. «Теоретико-схемная», или «арифметическая» точка зрения на правильные многогранники и правильные конфигурации произвольного рода.
Если не считать первой из этих тем, важная часть которой вошла в мою диссертацию (1953), и которая получила развитие в период, когда я занимался функциональным анализом (с 1950 по 1955 г.), все одиннадцать остальных явились на свет в период моих занятий геометрией, начиная с 1955 г. которые, появившись только после моего ухода с математической сцены, находятся пока в зачаточном состоянии. «Официально» их даже не существует: ведь до сих пор не было не было ни одной выполненной по всем правилам публикации, которая стала бы для них свидетельством о рождении{28}{29}. Среди девяти тем, возникших до моего ухода, три последние, покинутые мною в разгаре роста, остаются еще и по сей день на младенческой стадии — за недостатком любящих рук, какие обеспечили бы всем необходимым этих «сироток», брошенных сводить счеты с враждебным миром{30}. Что же касается других шести, достигших полной зрелости за два десятилетия, предшествовавшие моему уходу — можно сказать, что (с точностью до одной-двух оговорок{30}) они уже сейчас вошли в общую копилку, в чашу, полную опытом привычных знаний. Особенно в среде геометров «все-все-все» пьют из нее в наши дни, не замечая глотков (как это выходило у господина Журдена с прозой), ежедневно и ежечасно. Они стали как воздух, для тех, кто занимается геометрией — или арифметикой, алгеброй и анализом, хоть немного «геометрическими».
|
|
|
Напротив, первая и последняя из двенадцати тем кажутся мне по своему масштабу скромнее прочих. И все же, если говорить о последней, представившей новый взгляд на весьма древнюю проблему правильных многогранников и конфигураций — сомневаюсь, что математику, который ей одной посвятил бы себя душой и телом, хватило бы жизни на то, чтобы ее исчерпать. Что касается первой из всех этих тем, топологических тензорных произведений и ядерных пространств, то она скорее играет роль нового инструмента, готового к использованию, чем основы для последующей разработки. При всем том, однако, до меня еще долетают — вплоть до этих последних лет — отрывочные отклики более или менее недавних работ, отвечающих (двадцать или тридцать лет спустя) на некоторые из вопросов, которые я тогда оставил неразрешенными.
|
|
|
Наиболее глубокая (на мой взгляд) среди этих двенадцати — тема мотивов, то есть та, что теснейшим образом связала анабелеву алгебраическую геометрию с йогой Галуа-Тейхмюллера.
С точки зрения технических возможностей инструментов, совершенно готовых и отшлифованных моими стараниями, и повседневного применения на различных «передовых участках» исследования в течение двух последних десятилетий, схемы и этальные и l-адические когомологии представляются мне среди прочих наиболее значительными. Я думаю, что уже сейчас у достаточно осведомленного математика не может быть никаких сомнений в том, что инструмент теоретико-схемный, как и вышедший из него /-адический, вошли в число серьезных достижений века, исполнивших свежими силами и обновивших нашу науку в ходе последних поколений.
|
|
|
Эти двенадцать главных тем моего труда совсем не отделены друг от друга. Для меня они составляют вместе единство духа и цели, проходящее всегдашним настойчивым лейтмотивом музыкального фона через весь мой труд, как «записанный» черным по белому, так и не переложенный на слова. Сейчас, когда я пишу эти строки, мне словно бы слышится вновь — как призыв — нота, ведшая тему сквозь те три года бескорыстного («низачем»), страстного, уединенного труда, пора, когда меня еще не тревожил вопрос, есть ли где в мире математики, кроме меня: так сильны были чары, меня захватившие…
Это единство — не просто знак самого работника, отметивший все труды, что вышли из-под его руки. Темы связаны между собой бессчетным множеством нитей, тончайших и вместе с тем легко заметных. Они соединены и тесно перевиты друг с другом, но каждая из них распознается без труда, раскрываясь вдруг составной частью сложного контрапункта — в гармонии, которая собирает их всех в одно и придает любой из них смысл, живость движения и полноту, увлекая ее вперед в общем потоке. Каждая отдельная тема словно бы вышла из этой гармонии, и в ней же — ежесекундно — рождается вновь. Но ведь гармония сама, кажется, не более чем «сумма», «итог» составивших ее тем: в самом деле, они появились раньше. А я, сказать по правде, не могу побороть в себе чувства (без сомнения, нелепого), что каким-то образом именно эта гармония, еще не возникнув во плоти, но уже наверное ожидая своего часа внутри неведомого нам лона, среди других идей, готовых родиться — что она-то и побуждала выйти на свет одну за другой все эти темы, предназначенные обрести свой настоящий смысл лишь с ее появлением. И еще чудится мне, что именно ее голос, властный и настойчивый, взывал ко мне уже в те годы пылкого, зачарованного одиночества — на самом пороге моей юности…
Как бы то ни было, двенадцать ключевых тем моего труда все вместе, словно повинуясь тайному велению рока, сложились в одну симфонию — или, если взять другой образ, каждая из них оказалась воплощением одной из точек зрения, в совокупности составивших единое широкое видение.
Бесспорно, однако, что к безвозвратному скачку на иные круги я тогда еще готов не был. Всякий раз, как я ни пытался взяться снова за математический труд, выходило так, что это он меня захватывал, да накрепко. Еще на двенадцать лет, не выпуская!
Год, последовавший за этой паузой (1958), был, наверное, самым плодотворным для меня как математика. Это год появления двух центральных тем новой геометрии: бурного старта теории схем (предмет моего доклада на международном математическом конгрессе в Эдинбурге летом того же года) и возникновения понятия ситуса, то есть предварительной, технической версии важнейшего понятия топоса. Сейчас, в перспективе почти что тридцати лет, я могу утверждать, что то был воистину год рождения нового геометрического видения, последовавшего за вступлением в силу двух главных инструментов этой геометрии: схем (которые являют собой метаморфозу старого понятия «алгебраического многообразия») и топоса (представляющего результат преображения — еще более глубокого, чем в случае схем — понятия пространства).
Видение это начало выступать из тумана, а очертания его — становиться узнаваемыми, не раньше, чем к 1957–1958 гг., годам напряженного вынашивания идей{31}. Кажется странным, но это видение было настолько мне близко, до того ясно и несомненно, что раньше, чем год назад{32}, я и не задумывался о том, чтобы дать ему имя. (А ведь как раз одно из моих пристрастий — называть вещи, мной обнаруженные: это первейший способ в них разобраться…) Правда, что я не смог бы конкретно указать момент, пережитый мною как внезапное рождение видения, или, оглянувшись назад, в теперешней перспективе узнать и выбрать такую минуту. Новое видение — нечто заведомо слишком обширное, чтобы появиться сразу, в один миг. Ему нужны долгие годы, если не целые поколения, чтобы, проникнув в душу, постепенно завладеть тем или теми, кто неотрывно, внимательно созерцает — как если бы два новых глаза в муках рождались позади прежних, привычных, призванные понемногу их заменить. И, опять-таки, видение слишком объемно, чтобы говорить о возможности уловить его, «схватить», как хватаешь первое же понятие, возникшее из-за поворота на твоей дороге. А значит, в итоге нет ничего удивительного в том, что мысль как-нибудь назвать вещь настолько широкую, близкую и оттого расплывчатую не могла появиться раньше, чем при взгляде уже с некоторого расстояния — по истечении промежутка, нужного ей, чтобы достичь настоящей зрелости.
По правде сказать, раньше, чем два года назад, мои отношения с математикой (если не считать преподавательской работы) ограничивались тем, чтобы ее делать — повинуясь импульсу, неизменно гнавшему меня вперед, в «неизвестность», чей зов был неумолкающим. Не могло быть и речи о том, чтобы остановить этот разбег; задержавшись хотя бы на миг, оглянуться на очертания пройденного пути — даже просто понять, что, собственно, мой труд собой представляет. (То есть определить его место в моей жизни, как некоей вещи, все еще связанной со мной глубокими связями, о существовании которых я долгое время не подозревал. И еще — понять его роль в том общем, совместно предпринятом путешествии-приключении человеческой расы, каковым является математика.)
И другая странность: чтобы мне наконец «остановиться» и возобновить полузабытое знакомство с этим трудом, или хотя бы только задуматься об том, как назвать видение, заключившее в себе его душу, должно было случиться так, чтобы я вдруг столкнулся с реальностью Похорон гигантских масштабов (за могильщиков работали молчание и насмешки) как собственно видения, так и работника, в котором оно зародилось…
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 283; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!