Дифференциальное уравнение теплопроводности. КРАТКО ПО ТЕОРИИ ТЕПЛООБМЕНА
КРАТКО ПО ТЕОРИИ ТЕПЛООБМЕНА
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Основные понятия и определения
Теория теплообмена - представляет собой учение о самопроизвольных необратимых процессах распространения теплоты в пространстве с неоднородным полем температур , под которым понимается обмен внутренней энергией между отдельными элементами и между областями рассматриваемой среды, обусловленный разностью температур.
При этом теплота переходит от точек с более высокой к точкам с более низкой температурой, если процесс протекает в одном теле. При теплообмене между различными телами это положение также сохраняется, т. е. теплота переходит от более нагретых к более холодным телам. Таким образом, конечный результат теплообмена между ограниченными телами или частями одного и того же тела заключается в уравнивании их температур, после чего процесс прекращается, т.е. разность температур является необходимым условием передачи теплоты от одного тела к другому или от одной части тела к другой, что следует из 2-го закона термодинамики.
Существуют три основных вида теплообмена:
· теплопроводность,
· конвекция,
· тепловое излучение.
Теплопроводность — это молекулярный перенос теплоты между непосредственно соприкасающимися телами или частицами одного тела с различной температурой, при котором происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, свободных электронов).
|
|
|
Конвекция осуществляется путем перемещения в пространстве неравномерно нагретых объемов среды. При этом перенос теплоты неразрывно связан с переносом самой среды.
Тепловое излучение характеризуется переносом энергии от одного тела к другому электромагнитными волнами.
Часто все способы переноса теплоты осуществляются совместно. Например, конвекция всегда сопровождается теплопроводностью, так как при этом неизбежно соприкосновение частиц, имеющих различные температуры.
В чистом виде процесс теплопроводности наблюдается в твердых телах, для которых к настоящему времени наиболее полно разработана и аналитическая теория (т. е. теория, описывающая процесс в терминах дифференциальных уравнений математической физики). В данном курсе мы как раз рассматриваем отдельно явление теплопроводности и математические уравнения, описывающие эти процессы.
Понятия температурного поля
Процесс теплопроводности, как и другие виды теплообмена, может иметь место только при условии, что в различных точках тела температура неодинакова.
Аналитическое исследование теплопроводности сводиться к изучению его пространственно - временного изменения температуры, т.е. его температурного поля. Под температурным полем понимается совокупность значений температур во всех точках изучаемого пространства для каждого момента времени.
|
|
|
Температурное поле бывает нестационарным и стационарным.
В общем случае уравнение температурного поля имеет вид:
(1)
где t — температура тела; х, у, z — координаты точки; τ — время. Такое температурное поле называется нестационарным и отвечает неустановившемуся режиму теплопроводности.
Если температура тела не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным и описывается уравнением:
(2)
Температура может быть функцией одной, двух и трех координат, соответственно температурное поле будет одно-, дву- и трехмерным.
Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля:
(3)
Если соединить все точки тела с одинаковой температурой, то получим поверхность равных температур, называемую изотермической. Так как в определенной точке тела в данный момент времени может быть только одна температура, изотермические поверхности не пересекаются; все они либо замыкаются на себя, либо заканчиваются на границе тела. Пересечение изотермных поверхностей плоскостью дает на ней семейство изотерм. Интенсивность изменения температуры в каком-либо направлении характеризуется производной 
, принимающей наибольшее значение в направлении нормали к изотермической поверхности
|
|
|
(4)
Вектор 
называется температурным градиентом и является мерой интенсивности изменения температуры в направлении по нормали к изотермной поверхности. Направлен он в сторону возрастания температуры.
|
|
Рис. 1. Температурное поле и градиент температуры
Дифференциальное уравнение теплопроводности
Решение задач теплопроводности связано с определением поля температур и тепловых потоков. Для установления зависимости между величинами, характеризующими явление теплопроводности, используется метод математической физики, который рассматривает протекание физических процессов в произвольно выделенном из всего рассматриваемого пространства элементарном объеме и в течение бесконечно малого промежутка времени. Это позволяет пренебречь изменением некоторых величин и существенно упростить выкладки.
|
|
|
При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаем некоторые допущения:
· считаем, что тело однородно и изотропно (то есть физические свойства тела не зависят от выбранного в нём направления),
· физические параметры λ, с(теплоемкость), и ρ (плотность) постоянны,
· деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры очень мала по сравнению с самим объемом
· внутренние источники теплоты равномерно распределены в теле.
Рис. 2. Элементарный объем пространства (к выводу уравнения)
Под внутренними источниками теплоты понимаются тепловыделения, например, некоторый объем с тепловыми включениям (система отопления с замоноличенной в стене или полу трубой)
Внутренние источники теплоты характеризуются величиной 
— количеством теплоты, которое выделяется в единице объема в единицу времени.
(5)
Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье и лежит в основе математической теории теплопроводности. Величину 
называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквой a. Коэффициент температуропроводности a является физическим параметром вещества. Из уравнения (5) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a.
Сумма вторых частных производных любой функции в математическом анализе носит название оператора Лапласа и обозначается следующим образом:
Поэтому уравнение (5) можно записать в виде:
(5а)
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 916; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!