Методика обработки результатов совокупных и совместных измерений

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 14Следующая ⇒

Совокупные и совместные измеренияпозволяют определить искомые значения величины x₁, x₂, …, x_n, не поддающиеся непосредственному наблюдению, по результатам измерения значений других величин y₁, y₂, …, y_m, которые являются их функциями:

y_j = j_j (x₁, x₂, …, x_n), (5.1)

где i = 1, 2, ..., n– порядковый номер неизвестных величин X,

j = 1, 2, ..., m– порядковый номер прямых измерений величин Y.

После проведения прямых измерений значений величин Y_j результаты этих измерений подставляются в систему уравнений 5.1, решение которой позволяет найти искомые значения одноименных (при совокупных) или неодноименных (при совместных) величин x₁, x₂, …, x_n.

При совокупных измерениях непосредственно измеряют значения различных сочетаний одноименных величин, каждое из которых в отдельности измерить невозможно.

В совместных измерениях необходимо найти зависимость между несколькими неодноименными величинами.

Если в результатах прямых измерений величин Y_j содержатся случайные погрешности, то они имеются и в результатах совместных (совокупных) измерений величин X_i. Очевидно, что при m < n систему 5.1 вообще решить невозможно; при m = n такое решение алгебраически возможно, однако погрешности результатов измерений величин X_iбудут, как и при прямых однократных измерениях, велики, и числовое значение этих погрешностей останется неизвестным. При m > n система становится алгебраически неразрешимой, так как эти уравнения несовместимы, поскольку правые части уравнений 4.1 вместо точных значений Y_j содержат результата их измерений y_j = Y_j + DY_jсо случайными погрешностями DY_j. Однако в последнем случае при нормальном законе распределения ошибок измерения величин y_j (что обычно и бывает) можно найти такую совокупность значений x_i, которая с наибольшей вероятностью удовлетворяла бы исходным зависимостям 5.1. Это может быть осуществлено с помощью способа наименьших квадратов (принцип Лежандра).

Такой способ обработки экспериментальных данных при совокупных (совместных) измерениях особенно удобно применять при линейном характере функции j_j в противном случае обработка усложняется.

Рассмотрим случай, когда функции j_j линейны:

(4.2)

Эту же систему запишем компактно:

j=1, 2, …, m. (4.3)

Здесь индексы при коэффициентах a указываются в последовательности «строка-столбец» (j – i).

Уравнения 4.2 и 4.3 называются условными. Ввиду наличия погрешностей правые части условных уравнений в действительности не будут равны нулю, а некоторым v_j(так называемым «невязкам», или остаточным погрешностям условных уравнений):

j=1, 2, …, m. (4.4)

В соответствии с принципом Лежандра наиболее вероятными значениями неизвестных величин X_i в этом случае будут такие, при которых сумма квадратов остаточных погрешностей v_jминимальна:

(4.5)

Необходимым условием такого минимума является равенство нулю производных

i=1, 2, …, n. (4.6)

Подставляя в выражение 4.6 значения v_j из соотношения 4.4, получаем после преобразований систему нормальных уравнений:

h=1, 2, …, n. (5.7)

Запишем эту же систему в развернутом виде:

(5.8)

Здесь индексы при коэффициентах b также указывается в последовательности «строка-столбец» (h – i).

Поскольку число нормальных уравнений всегда равно числу неизвестных, такая система алгебраически разрешима.

Предположим, что в результате совместных (совокупных) измерений получена такая система условных уравнений:

при n = 2

(5.9)

при n = 3

(5.10)

Система нормальных уравнений имеет вид:

при n = 2

(5.10)

при n = 3

(5.11)

       Коэффициенты b_hi можно вычислить по формулам:

  (5.12)

Значения c_h определяется следующим образом:

                        (5.13)

Для решения системы 5.10 составляем и вычисляем главный определитель данной системы уравнений:

для n = 2

                                                                                          (5.14)

для n = 3

                                                                                       (5.15)

Составляем и вычисляем частные определители D₁ и D₂, заменив в системе 5.10 коэффициенты b_hiпри соответствующих неизвестных на свободные члены c_h:

для n = 2                                 (5.14)

для n = 3        (5.15)

       Вычисляем наиболее вероятные значения неизвестных:

для n = 2                                                                  (5.16)

для n = 3                                             (5.17)

Подставив вычисленные наиболее вероятные значения неизвестных в условные уравнения 4.4, можно найти v_j, затем получить v_j и сумму квадратов остаточных погрешностей .

Среднеквадратичное отклонение результатов совокупных (совместных) измерений

                                                                                              (5.16)

       где m – число условных уравнений;

         n – число неизвестных;

A_hi – адъюнкты элементов b_hi главной диагонали определителя D (при h=i), полученные вычеркиванием строки h и столбца i, соответствующих данному элементу b_hi, и последующим умножением на (-1)^h+ⁱ.

Для n = 2 адъюнкты равны

                                                                                      (5.17)

для n = 3

            (5.18)

Задавшись доверительной вероятностью g, из приложения Б / /находим соответствующее значение коэффициента доверия t_γ. В этом случае число степеней свободы равно

                                                          k = m – n.                                             (5.19)

Тогда можно найти доверительные границы случайной составляющей погрешности результата совокупных (совместных) измерений:

                                                                                                              (5.20)

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 678; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!