Теория вероятностей

1. Ряд, образованный из членов бесконечной геометрической прогрессии, условия его сходимости и расходимости.

Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия , b – первый член, q – знаменатель.

Ряд

Исследуем этот ряд на сходимость. Как известно, сумма первых n-членов геометр. прогрессии . Найдем Sn, когда .

, (*)

При исследовании рядов наиболее важным является вопрос о сходимости (установление факта сходимости и расходимости). Для этого используют признак сходимсоти.

1. Необходимый признак сходимости числовых рядов. Свойства сходящихся рядов.

При исследовании рядов наиболее важным является вопрос о сходимости (установление факта сходимости и расходимости). Для этого используют признак сходимсоти.

Теорема 1: Необходимый признак сходимости рядов. Если ряд - сходится, то предел его общего члена Un при n равен нулю: Un =0

Следствие: Если Un 0, то ряд расходится.

Свойства сходимости рядов:

Теорема 1: если ряд сходится и его сумма равна S, то сходится и ряд (где a=const). Его сумма S₁ = a*S

Теорема 2: если 2 ряда U1+U2+…+Un=

V1+V2+…-Vn+…=

Сходятся и их суммы соответственно равны S₁ и S₂, то также сходится и ряд составленного из суммы разности исходных рядов, т.е. ряды ; - также сходятся. (S₁+S₂) или (S₁-S₂).

1. Признаки сравнения знакоположительных числовых рядов. Первый и второй признак сравнения.

Пусть заданы законоположительные числовые ряды Un>0, Vn>0,

U1+U2+…+Un+…= (*)

V1+V2+…+Vn+…= (**)

1. Первый признак сравнения.

Если для членов ряда (*) и (**) выполняется условие Un Vn, то

а) если ряд (**) сходится, то сходится и ряд (*)

б) если ряд (*) расходится, то расходится и ряд (**)

2. Второй признак сравнения.

Если для членов ряда (*) и (**) существует отличный от нуля предел

=A, A , 0<A< , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

В качестве эталонов, при использовании признаков сравнения применяют:

¨ Геометрическую прогрессию bq - сходится при |q|<1, расходится при |q| 1

¨ Обобщенный гармонический ряд - сходится при p>1, расходится при p 1

1. Интегральный признак Коши.

Пусть члены ряда U1+U2+…+Un+…= неотрицательны и ряд невозрастающий: U1

Если существует невозрастающая, непрерывная функция f(x), с областью определения x [1;+ ), такая, что f(1)=U1, f(2)=U2,…, f(n)=Un,…, то ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .

Замечание: Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел вида = .

1. Признак Даламбера.

Если члены ряда U1+U2+…+Un+…= - строго положительны и существует предел = l, то l <1 ряд сходится,

l >1 ряд расходится,

l = 1 признак ответа не дает.

1. Сходимость обобщенного гармонического ряда . Используя интегральный признак Коши доказать, что при p=2 ряд сходится.

1. Знакочередующиеся числовые ряды (определение, примеры). Признак Лейбница.

Определение: Ряд называется законопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные величины.

Ряд называется законочередубщимся, если в нем происходит чередование знаков (+-)

Пример: = 1-1/2+1/3-1/4+… - законочередующийся ряд

Рассмотрим законочередующиеся ряды, они также могут сходиться или расходиться.

Для установления факта сходимости законочередующихся рядов используют теорему (признак) Лейбница.

Признак Лейбница: Если в законочередующихся рядах , где Un>0, члены таковы, что: 1) U1>U2>U3…>Un>…; 2) Un = 0 => такой ряд сходится, а его сумма не превышает 1ого члена U1.

1. Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся числовых рядов.

Законопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Законопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пример: 1) = 1-1/4+1/3-1/16+…

2) Рассмотрим ряд абсолютных величин

=1+1/4+1/3+… - этот ряд сходится (обобщенный гармонический ряд)

Вывод: ряд абсолютно сходится.

Алгоритм исследования знакочередующихся числовых рядов на сходимость.

Оп ределение 1.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

О пределение 2.

Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

1. Степенные ряды. Теорема Абеля. Понятие области сходимости степенных рядов.

Степенные ряды – это ряды, членами которых являются функции, в частности степенные функции:-

C0+C1X+C2X2+….+CnXn+….

Такие ряды называются степенными, а числа C0,C1,….Cn- коэффициентами степенного ряда.

Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд сходится при значении х=х0≠0 (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что │х│<│x0│.

2) Если степенной ряд расходится при х=х1, то он расходится при все значениях х таких, что │х│>│х1│

Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

1. Алгоритм исследования степенных рядов на сходимость.

Стр.6 в распечатке.

1. Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функции .

Ряд Маклорена:

f'(0) f''(0) f'''(0) f(n)(0)

f(x)= F(0) + ── x+ ── x2+ ──x3+….+ ──xn+….

1! 2! 3! n!

х

Разложение функции y=e

Имеем f(x) = f'(x) = f''(x)=…f(n)(x)=ex

f(0) = f'(0) = f''(0)=f''(0)=….f(n)(0)=eo=1

ex=1+x+x2/2! + x3/3! +…+xn/n!+…

Область сходимости ряда (-∞;+∞)