Конфузорное и диффузорное истечение газов.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

В.Н.Диденко

Истечение газов и паров

Методические указания – конспект лекций

по разделу курса «Техническая термодинамика»

Для студентовспециальности

290700 «Теплогазоснабжение и вентиляция»

Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ижевский государственный технический университет»

В.Н. Диденко

Истечение газов и паров

Методические указания – конспект лекций

по разделу курса «Техническая термодинамика»

Для студентов специальности

290700 «Теплогазоснабжение и вентиляция»

Ижевск-2004

Истечение газов и паров. Методические указания – конспект лекций к дисциплине «Техническая термодинамика», изучаемой студентами специальности 290700 «Теплогазоснабжение и вентиляция».

Составитель:

Проф., д.т.н. Диденко Валерий Николаевич

Методические указания – конспект лекций содержат основные теоретические сведения о процессах истечения газов и паров. Подробно дается вывод основных уравнений для расчета процессов истечения. Целью методических указаний-конспекта лекций является систематизированное и доступное изложение теоретических основ процессов истечения газов и паров применительно к объектам специальности 290700.

Методические указания – конспект лекций предназначены для студентов теплотехнического факультета ИжГТУ, изучающих дисциплину «Техническая термодинамика» в объеме учебного плана специальности 290700 «Теплогазоснабжение и вентиляция».

Автор выражает искреннюю благодарность Солодянкиной М.Н. и Слобожаниной Г.В. за помощь в оформлении методических указаний – конспекта лекций.

Рецензент: проф., д.т.н. Исаков В.Г.

Содержание

1. Уравнение первого закона термодинамики для газового потока………………………………………………………………………………………

2. Адиабатное истечение газов и паров………………………………………………

3. Изменение массового секундного расхода при изменении давления окружающей среды и давления в сосуде…………………………………………………

4. Сопло Лаваля. Конфузорное и диффузорное истечение газов…………………...

5. Понятие о сопле с косым срезом……………………………………………………

6. Сводка основных формул для расчета процессов истечения газов и паров………………………………………………………………………………………..

7. Истечение с учетом сопротивлений………………………………………………...

1.Уравнение первого закона термодинамики для газового

потока.

Выражение первого начала термодинамики:

(1)

для термодеформированной системы справедлива лишь для процессов, в которых работа расширения газа затрачивалась только на преодоление внешних сил и была равна их работе. Изменение кинетической энергии газа при этом не учитывалось ввиду его малости. Это допущение справедливо, например, для поршневых двигателей внутреннего сгорания.

В турбинах, РД, где газ перемещается с большой скоростью, пренебрегать изменение кинетической энергии движущих масс газа нельзя, т.к. оно является основным слагаемым в энергетическом балансе рабочего тела, и поэтому уравнение первого начала термодинамики должно иметь иной вид, нежели (1). Выведем это уравнение.

Рассмотрим движение потока газов под действием давления по каналу переменного сечения. Полагаем, для простоты вывода, что:

1. движение газа по каналу установившиеся и неразрывное. Это означает, что расход массы газа М в ед. времени будет постоянным для любого сечения канала и для любого момента времени.

(1.1)

Здесь:V1, V2- удельные объемы, т.е объемы занимаемые 1 кг газа.

S₁, S₂- площади поперечных сечений

W₁, W₂– скорости потока

P1 P2 S2

S1 W1 W2

рис 1

2. Скорости по сечению, перпендикулярному оси канала, постоянны. Это означает, что в каждом сечении берется средняя по расходу скорость.

W1=W₁ср

W W2=W₂ср

Wср

рис 2

3. трением частиц газа друг о друга и о стенки канала пренебрегаем

4. поток газа при своем перемещение, технической работы не совершает.

5. изменение параметров от сечения I к сечению II мало по сравнению с их абсолютным значениями.

Теплота Q, подводимая к 1 кг газа на участке между двумя произвольно выбранными сечениями I-I и II-II будет расходоваться на изменение внутренней энергии Δ U, на совершение газом работы проталкивания А^/ и на приращение кинетической энергии газа А_к:

(1.2)

(1.3)

В дифференциальной форме:

или (1.4)

Формулы (1.3) и (1.4) – это математическое выражение 1-го закона термодинамики для 1 кг газового потока, не совершающего механической работы и не имеющего трения.

Для уточнения понятия работы проталкивания рассмотрим газ, находящийся между сечениями I-I и II-II. На выделенный объем газа действуют массы газов находящихся слева и справа от сечений I-I и II-II. Воздействие этих масс заменяем соответствующими силами, приложенными в указанных сечениях.

а) В сечении I-I действует сила P1S1, и работа совершаемая ею в единицу времени равна P1S1W1. Эта работа производится внешними по отношению к выделенному объему газа системе силами, поэтому по правилу знаков для работы, она отрицательна.

б) В свою очередь выделенный объем газа сам совершает положительную работу в ед. времени по отношению к газу, лежащих ему справа от сечения II-II: P2 S2 W2.

Тогда работа на проталкивание объема газа, заключенного между сечениями I-I II-II определяется как разность этих работ:

(1.5)

Из условия неразрывности:

следует: S1W1=V1M и S2W2=V2M,откуда работа на проталкивание всего объема газа между сечениями I-I и II-II равна

А^/∙M = М(P2V2-P1V1).

Окончательно для 1 кг газа имеем:

(1.6)

или в дифференциальной форме:

(1.7)

или в дифференциальной форме:

Из уравнения (1.7)следует, что работа проталкивания является функцией состояния, т.е не зависит от направления процесса, а зависит лишь от начального и конечного состояний газа. Эта работа потенциальных сил. Подставим полученное выражение в формулу для первого начала термодинамики для 1 кг газового потока:

Q=(U2-U1)+(P2V2-P1V1)+1/2() = (U2+P2V2)-(U1+P1V1)+1/2()=

=I2-I1+1/2()=I2-I1+A0,

Q = ΔI + 1/2()

иливдифференциальной форме

(1.8)

Это еще одно выражение первого начала термодинамики для 1 кг газового потока, не совершающего технической работы и не имеющеготрения.

Составной частью работы потока является также работа по преодолению сил трения на стенах канала Атр.

При выводе уравнений первого начала термодинамики не учитывалась работа сил трения. Если такая работа производится, то процесс является необратимым. Однако работу сил трения можно учесть в dQ, если рассматривать dQ как сумму теплоты, передаваемой газу извне (через стенки канала и от соседних слоев газа), и теплоты, выделившейся при трении.

Следовательно, уравнения (1.4), (1.8) справедливы как для обратимых, так и для необратимых процессов.

В общем случае поток газа при своем перемещении может совершать работу Атехн, например, вращать колеса турбины.

Техническая работа может не только отбираться от потока, но и подводится к нему (например, поток может нагнетаться центробежными вентиляторам).

С учетом Атехн и А тр уравнения (1.4) и (1.8) первого начала термодинамики для 1 кг газового потока в общем случае примут вид:

(1.9)

Для обратимого (равновесного) изменения состояния 1 кг движущегоcя газа сохраняет силу известное уравнение первого начала термодинамики:

(1.10)

где PdV- элементарная работа расширения газа. (dA = PdV)

В таком виде представлялся бы баланс энергии наблюдателю, перемещающемуся вместе с газом и поэтому воспринимающему газ покоящимся.

Из условия равенства левых частей двух последних уравнений (1.9 и 1.10) имеем

или

(1.11)

в интегральной форме:

Т.о за счет работы расширения газа А, движущегося в потоке, осуществляются работы на проталкивание потока А^/, изменение кинетической энергии потока

А_к = , техническая работаAтехи работа по преодолению сил трения Aтр.

Преобразуем уравнение (1.11):

или

В интегральной форме:

(1.12)

Здесь

A0 – так называемаярасполагаемая работа (полезная внешняя работа), которая может быть произведена над каким- либо внешним объектом, т.е использована в машинах и превращена в другие виды энергии. В общем случае располагаемая работа потока идет на изменение его кинетической энергии, совершение технической работы и на преодоление сил трения.

Располагаемая работа A0, как следует из рис. 3. – это разность работы расширения А и работы проталкивания. А^/ = P₂V₂ – P₁V₁:

A (P 1V1 T1)

Р 2

A0 = - VdP

Р 1 B (P2 V 2T2)

А= PdV

V1 V2 V

Рис. 3

Из уравнений (1.11) и (1.12) следует, что

(1.13)

Примечание:

Если поток газа не совершает технической работы (Атехн=0), то из (1.12)

Если пренебречь трением газа, т.е Атр=0, то получим уравнение Бернулли для 1 кг газа

(1.14)

или в обычной форме

(1.15)

Здесь ρ = - плотность газа.

2. Адиабатное истечение газов и паров.

Рассмотрим поток, не совершающий технические работы (А_техн = 0), а действие сил трения учтем через теплоту Q. В этом случае располагаемая работа А₀, как это следует из уравнения (1.12) идет только на изменение кинетической энергии потока:

А₀ =

Из уравнения (1.13):

(2.1)

Для случая адиабатного истечения

Подставляем в (2.1)

Т.о располагаемая работа при адиабатном истечении в К- раз больше адиабатной работы расширения.

При адиабатном течении газа в канале скорости в двух его произвольных сечениях связаны между собой соотношением:

Если W₁ 0, то A0= (индекс «2» опускаем)

Откуда

(2.2)

К=1,4- для воздуха;

К=1,3- для перегретого пара;

К=1,135- для сухого насыщенного пара.

Массовый секундный расход M=FρW=FW/V.

Для устья насадки при расчетном режиме (когда Ру=Р2)

где Ру, Р2- давление на устье насадка и окружающей среды.

F – площадь поперечного сечения устья насадка.

Выразим V2 через V1 из уравнения адиабаты идеального газа

Тогда

(2.3)

Обозначим

(2.4)

Если построить график М = М (), то он будет иметь следующий вид:

М_мах

_кр1,0

рис. 4.

Найдем максимальное значение массового расхода Мmax из условия

так как К ≠ ∞ и ≠ 0, то

или

(2.5)

Таким образом, кр зивисит только от природы газа (пара)

Для воздуха К=1,4 и Вкр =0,528

Для перегретого пара К=1,3 и Вкр=0,564

(т.е чем меньше К, тем меньше перепад давления, при котором наступает критическое истечение)

Подставим кр в формулу (2.2)для W:

(2.6)

Подставим значения _крв формулу (2.3):

Вынесем за квадратную скобку под корнем величину :

Обозначим функцию изоэнтропы:

(2.7)

Для воздуха при К=1,4 =0,68

Для перегретого пара К=1,3 =0,665

Построим график М()и W() по формулам (2.2) и (2.3) при условии:

P1 =const M,W

P2 =var

W()

Wкр

- опыт

Mmax

- расчет

M()

_кр 1,0

Рис.5

Опыт показывает, что при < _кр W и М не изменяются по пунктирным линиям, а остаются постоянными (W = Wкр и М = Мmax). В чем причина?

Из физики известно формула для скорости звука:

(2.9)

Для идеального газа в адиабатном процессе или (C=const)

Тогда

(2.10)

- для устья насадка. (2.11)

Подставим в формулу (2.11)

(2.12)

Т.о в устье насадка при < _кр истечение газа происходит со скоростью звука в этом сечении.

По гипотезе Сен-Венана-Вентцеля при < _кр Pу ≠ Р2 и расчетный режим сменяется критическим.

(2.13)

Т.е при < _кр изменение Р2 не приводит больше к изменениям Ру как это имеет место при расчетном режиме истечения. Акустические возмущения, связанные с изменением давления на выходе насадка (Р2) не попадают внутрь насадка, т.к «сносятся» потоком, движущимся с той же скоростью а=Wкр.

3.Изменение массового секундного расхода при изменении давления окружающей среды и давления в сосуде.

Случай 1. Пусть давление в сосуде Р1 =const, при этом Т1=const и может изменяться только давление окружающей среды Р2.

Рассмотрим два уровня давления в сосуде:

а) P1 =const

б) P^/ 1 =const

P^/ 1> P1

P2= Varia

М^/max В

Мmax

Т1=const

Р2

P2= _кр P1 Р2= _кр P^/1 P2=P1 P2=P^/1

Рис. 6

Сначала получим еще одну формулу дляMmax. В формуле (2.8)

Умножим и разделим подкоренное выражение на Р₁:

Mmax=F* (К) =

(3.1)

Аналогично получим:

При Р2/Р1< _кр режим истечения критический и Ру=Р1 _кр >P2

В точках А и В (рис.6)

откуда

Подставляем эти значения P1 и P^/1 в формулу (3.1) получим:

(3.2)

Из формулы (3.2) следует, что точки начала критического истечения А и В для двух разных уравнений давления в сосуде, находящиеся на одной прямой, выходящие из начала координат.

Таким образом точки А и В лежат на одной прямой, выходящей из начала координат (рис.6)

а) Проанализируем рисунок 6 при давлении в сосуде P1 =const

Истечение начинается только при условии, что Р2 <Р1. Режим истечения до будет расчетным, и все вычисления нужно производить по следующим «длинным» формулам.

(3.3)

(3.4)

Понижение Р2. до значения, соответствующего точке А на (рис6) приводит к началу критического режима истечения. При дальнейшем понижении давления окружающей среды < _кр,, режим истечения остается критическим, массовый расход и скорость истечения не изменяется, «насадок запирается»:

М = М_мах, W=W_кр

б) Рассмотрим истечение из сосуда с давлением P^/1 =const.

Истечение начинается, когда Р2<P^/. Режим истечения расчетный и сохраняется до момента, когда не будет равняться _кр. Расчет ведется по формулам (3.3) и (3.4) только вместо Р₁ подставляем P^/.

В точке = _кр начинается критический режим истечения. Максимальный расход при этом определяется по формуле:

(3.5)

Случай 2. Пусть Р2=const и T1=const, а меняется только давление в сосуде Р₁. Рассмотрим два уровня окружающей среды:

а) Р₂ =const

T1=const

б) Р^/₂ =const

T1=const

P^/ ₂> Р₂

P1= Varia

B D P1

Р₂ Р^/₂

Рис. 7

а)При Р1<P2 истечения нет. Истечение начинается, когда Р₁ несколько превысит давление окружающей среды Р2 (рис 7) и сначала идет в расчетном режиме.

Массовый расход и скорость при расчетном режиме истечения вычисляются по формулам (3.3) и (3.4)

При Р1 >Р1А (где ), истечение идет в критическом режиме. Скорость истечения и расход в этом случае вычисляются по следующим формулам:.

(3.6)

(3.7)

Дальнейшее повышение давления Р1 в соответствии с этими формулами приводит к линейному увеличению массового секундного расхода и скорости истечения.

б) Рассмотрим истечение из сосуда при давлении окружающей среды Р^/₂ =const

(P^/ ₂> Р₂).

Истечение начнется когда давление в сосуде Р₁ несколько превысит давление окружающей среды Р^/₂. В диапазоне Р₁ от Р^/₂ до истечение идет в расчетном режиме, для которого используются формулы (3.3) и (3.4).

При Р₁ ≥Р_1симеет место критический режим истечения, и вычисление массового расхода и скорости истечения осуществляется по формулам (3.6) и (3.7). В соответствии с этими формулами М_мах и W_крлинейно возрастают по мере увеличения давления в сосуде Р_1.

Сопло-Лаваля.

Конфузорное и диффузорное истечение газов.

Соплом называется канал переменного сечения, в котором происходит увеличение скорости жидкости или газа.

Массовый секундный расход определяется по формуле:

(4.1)

Прологарифмируем это выражение:

LnM=LnF+Lnρ+KnW

Продифференцируем

dM dF dρ dW

M = F + ρ + W

При установившемся режиме истечения М=const, поэтому dM=0

Тогда

(4.2)

Из уравнения Бернулли для адиабатного течения газов -dР/ρ=WdW

Так как

то

Подставляем в формулу (4.2) и получаем

(4.3)

Здесь:

- число Маха, равное отношению скорости течения газа к местной скоростизвука, т.е к скорости звука в том сечении, где берется W.

Если М<1-дозвуковое течение, М>1-сверхзвуковое.

Анализ уравнения (4.3) удобно представить в виде таблицы.

режим Дозвуковое Сверхзвуковое

Изменение течен.

скорости М<1 М>1

Скорость

возрастает

dW>0 dF<0 dF>0

(конфузорное

течение)

Скорость

уменьшается

dW<0 dF>0 dF<0

(диффузорное

течение)

Т.о для непрерывного увеличения скорости газа (dW>0)от дозвуковой до сверхзвуковой канал должен быть комбинированным. В начальной части канала, где М<1, он должен сужаться, при М=1 площадь поперечного сечения F должна иметь минимальное значение, а при М>1 канал должен расширяться. Такой канал называется соплом Лаваля по имени изобретателя.