Биномиальное Распределение.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Производится n независимых испытаний, а исходы кодируются двоичной последовательностью ω длины n (0 отвечает неудаче, 1 — успеху). За случайную величину берется X(ω) = m — число успехов. Зная, что

Таблица распределения имеет вид (Σpi = 1):

x				n
p	p	p		p n

Функция распределения

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

MY(t)=(pet+q)n, откуда E[Y]=np, E[Y2]=np(q+np), а дисперсия случайной величины D[Y]=npq.

Если n=1, то, очевидно, получаем распределение Бернулли.

37.Многомерное нормальное распределение. Говорят, что набор случайных величин

имеет многомерное нормальное распределение, если найдутся вещественный вектор (a=a₁,..a₂), невырожденная вещественная nxn -матрица C=(c_ij) и набор независимых стандартных нормальных случайных величин

такие, что

… (1)

Для многомерного нормального распределения часто употребляют синонимичное название многомерное гауссовское распределение. Соотношения (1) записываются более компактно, если воспользоваться матричной формой:.

Справедливы следующие утверждения: 1)С.в.

имеет нормальное распределения

, где

. 2)

38.Математическое ожидание случайной величины 1) Пусть X — дискретная случайная величина, представленная конечными либо счетными наборами значений x₁, …, x_n, … и вероятностей p₁, …, p_n, … Тогда

называется математическим ожиданием случайной величины X. Введем физическую интерпретацию математического ожидания. Пусть на прямой X расположены материальные точки с массами pi (для которых Σ pi = 1) и координатами xi.Тогда координаты центра масс определяются соотношением

Центр масс — характерная точка тела: тело движется так, как движется материальная точка с координатой в центре масс и массой Σ pi. Точно так же, E_X — характерная точка (центр) распределения, показывающая поведение случайной величины в целом. 2) Пусть X имеет непрерывное распределение с плотностью p(x). Тогда

По аналогии с 1), можно ввести следующую интерпретацию: дана «материальная прямая», в каждой точке которой известна «масса» — вероятность.«Центр масс» есть

39.Свойства математического ожидания 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: E[C]=C. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: E[CX]=CE[X]. 3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е.

Доказательство:

4. 4.Математическое ожидание произведен

ия конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Для двух случайных величин это свойство можно записать следующим образом: E[XY]=E[X]∙E[Y]. 40.Математические ожидания для известных распределений Вырожденное распределение X = const = C E_X = EC = C D_X = DC = 0 Распределение Бернулли P(X = 0) = q, P(X = 1) = p, p + q = 1 E_X = p*1 + q*0 = p E[X²] = p*1² + q*0² = p D_X = E[X²] – (E_X)²= p – p² = p(1 – p) = pq Биномиальное распределение

Для отыскания математического ожидания:

Распределение Пуассона

при

E_x=

D_x=

57. условное математическое ожидание для нормальных величин и векторов. УМО относительно случайной величины Пусть

другая случайная величина. Тогда условным математическим ожиданием X относительно Y называется

, где

- σ-алгебра, порождённая случайной величиной Y. Другое определение УМО X относительно Y:

Условные математические ожидания для векторов:

В этом случае условное матожидание X при условии Y называют функцией регрессии X на Y, матожидание Y при условии X — функцией регрессии Y на X. 60. Оценка Статистикой называется любая функция выборочных значений x₁, x₂,... x_n: G = G(x₁, x₂,... x_n). Точечной оценкой Q неизвестного параметра J называется любая статистика G = G(X₁, X₂,...X_n), распределение которой сосредоточено вблизи неизвестного значения J. 61. Состоятельность, несмещенность, эффективность оценок,примеры Рассмотрим оценку θ _n числового параметра θ, определенную при n = 1, 2, … Оценка θ _n называется состоятельной, если она сходится по вероятности к значению оцениваемого параметра θ при безграничном возрастании объема выборки. Выразим сказанное более подробно. Статистика θ _n является состоятельной оценкой параметра θ тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε справедливо предельное соотношение

Пример:все (за редчайшими исключениями) оценки параметров, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, являются состоятельными. Второе важное свойство оценок – несмещенность. Несмещенная оценка θ _n – это оценка параметра θ, математическое ожидание которой равно значению оцениваемого параметра: М (θ _n) = θ. Эффективность. Оценка Q называется эффективной среди оценок Q_i, если ее дисперсия является наименьшей среди всех дисперсий этих оценок Q_i. 58. Выборка, теоретические и выборочные характеристики. Выборка или выборочная совокупность — множество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с помощью определённой процедуры выбранных из генеральной совокупности для участия в исследовании. Характеристики выборки: Качественная характеристика выборки – кого именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем. Количественная характеристика выборки – сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки. Необходимость выборки Объект исследования очень обширный. Например, потребители продукции глобальной компании – огромное количество территориально разбросанных рынков. Существует необходимость в сборе первичной информации. Объём выборки — число случаев, включённых в выборочную совокупность. Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

где 1_А- индикатор события А, Н(х)- функция Хевисайда. Таким образом, выборочная функция распределения в точке x равна относительной частоте элементов выборки, не превосходящих значение x. Случайная величина F(x)называется выборочной функцией распределения случайной величины X и является аппроксимацией для функции F(x). Существует результат, показывающий, что при n→∞функция

равномерно сходится к F(x), и указывающий скорость сходимости. 59. Обозначения основных выборочных характеристик (выборочное математическое ожидание, выборочная дисперсия, выборочная ковариация, выборочных коэффициент корреляции). Выборочное математическое ожидание (оно же выборочное среднее).

Выборочная дисперсия. Характеризует среднеквадратичное отклонение выборочных величин от выборочного среднего.

Выборочная ковариация. т.к понятие случайной выборки для двух и более случайных величин аналогично понятию случайной выборки для одной случайной величины, то можно рассмотреть выборочную ковариацию и коэффициент корреляции.

Выборочный коэффициент корреляции

30. теорема о плотности распределения преобразованной случайной величины

32. Функция распределения случайного вектора

66. Эргодическая теорема для марковской цепи.

Теорема(Эргодическая теорема) Для любой эргодической цепи последовательность степеней Pⁿ суммируется по Эйлеру к предельной матрице A, и эта предельная матрица имеет вид A=ξα, где α - положительный вероятностный вектор, ξ - вектор-столбец из единиц. Ещё одна интерпритация теоремы: Марковская цепь является неразложимой и непериодической тогда и только тогда, когда для каждого i = 1,..., k существует предел lim pij (n) = πi > 0, не зависящий от j. n→∞

Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 25; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 34

Мы поможем в написании ваших работ!