Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC = x_b - x_a;
BC = y_b - y_a.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

AB = √AC² + BC².

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы координаты двух несовпадающих точек и . Нам требуется найти координаты и точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , где - некоторое положительное действительное число.

Поясним смысл фразы: «точка С делит отрезок АВ в отношении ». Это выражение означает, что точка С лежит на отрезке АВ (является внутренней точкой отрезка АВ) и отношение длин отрезков АС и СВ равно (то есть, выполняется равенство ). Обратите внимание, что в этом случае точка А является как бы началом отрезка, а точка В – его концом. Если же сказано, что точка С делит отрезок ВА (а не АВ) в отношении , то будет выполняться равенство . Очевидно, что при точка С является серединой отрезка АВ.

Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.

Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок АВ, точку С на нем и построим радиус-векторы точек А, В и С, а также векторы и . Будем считать, что точка С делит отрезок АВ в отношении .

Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому, и . Найдем координаты вектора , которые будут равны искомым координатам точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении .

В силу операции сложения векторов можно записать равенства и . Их мы используем в следующем абзаце.

Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении , то , откуда . Векторы и лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что , поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство . Подставив в него , имеем . Тогда равенство можно переписать как , откуда в силу свойств операций над векторами получаем .

Осталось вычислить координаты вектора , выполнив необходимые операции над векторами и в координатах. Так как и , то , следовательно, .

Таким образом, на плоскости координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , находятся по формулам и .

При рассмотрении линий используется термин текущая точка линии – переменная точка М(х,у), перемещающаяся вдоль этой линии. Координаты х и у текущей точки называются текущими координатами точки линии.

Если из уравнения (2.1) можно явным образом выразить у
через х, т. е. записать уравнение (2.1) в виде , то кривую, определяемую таким уравнением, называют графиком функции f(х).

Примеры.

1. Дано уравнение: , или . Если х принимает произвольные значения, то у принимает значения, равные х. Следовательно, линия, определяемая этим уравнением, состоит из точек, равноотстоящих от координатных осей Ох и Оу – это биссектриса I–III координатных углов (прямая на рис. 2.1).

Уравнение , или , определяет биссектрису II–IV координатных углов (прямая на рис. 2.1).

у у у

0 х 0 х С 0 х

рис. 2.1 рис. 2.2 рис. 2.3

2. Дано уравнение: , где С – некоторая постоянная. Это уравнение можно записать иначе: . Этому уравнению удовлетворяют те и только те точки, ординаты у которых равны С при любом значении абсциссы х. Эти точки лежат на прямой, параллельной оси Ох (рис. 2.2). Аналогично, уравнение определяет прямую, параллельную оси Оу (рис. 2.3).

Не всякое уравнение вида F(x,y)=0 определяет линию на плоскости: уравнению удовлетворяет единственная точка – О(0,0), а уравнению не удовлетворяет ни одна точка на плоскости.

В приведенных примерах мы по заданному уравнению строили определяемую этим уравнением линию. Рассмотрим обратную задачу: составить по заданной линии ее уравнение.

3. Составить уравнение окружности с центром в точке Р(a,b) и
радиусом R.

○ Окружность с центром в точке Р и радиусом R есть совокупность точек, отстоящих от точки Р на расстоянии R. Это значит, что для любой точки М, лежащей на окружности, МР= R, если же точка М не лежит на окружности, то МР ≠ R.

Возьмем на окружности произвольную (текущую) точку М(х,у).
Тогда расстояние от М до Р, или длина вектора
= – =(), равно R, т.е.

. (2.2)

Это и есть уравнение окружности, так как:

1) если точка М(х,у) принадлежит окружности, то ее координаты х и у удовлетворяют уравнению (2.2), поскольку = R.

2) если точка N(x,y) не лежит на окружности, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (2.2), поскольку в этом случае расстояние от N до Р не равно R.

Уравнение (2.2) можно упростить, возведя в квадрат правую и левую части: .

Если центр Р окружности совпадает с началом координат, то и уравнение принимает вид . ●

рис. 69

Если через некоторую точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве. Ох, Оу, Оz - оси абсцисс, ординат и аппликат. Координаты точки М записываются так: М (х; у; z).

рис. 70

Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Оxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичные векторы (длины которых равны единице):

. Эти векторы назовем координатными векторами, они не компланарны. Поэтому любой вектор а можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде:

причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.

Коэффициенты x, y и z в разложении называются координатами вектора в данной системе координат.

Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: {x; y; z}.

Координаты равных векторов равны.

Дата добавления: 2016-01-06; просмотров: 23; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!