Прохождение прямоугольных импульсов через RC-цепи
В качестве примера, иллюстрирующего дифференцирование и интегрирование сигналов, рассмотрим отклик RC-цепей, показанных на рис.2 и 3, на прямоугольный импульс. Возьмём цепь, на выходе которой стоит сопротивление (рис.2), найдём осциллограмму выходного напряжения, т.е. вид UR(t). Пусть в момент времени t = 0 на входе возникает скачок напряжения U0 (рис.4).
В этом случае для 0 < t < tu можно записать уравнение цепи в виде:
U0 = 1/C òi(t)dt + UR(t). (17)
После дифференцирования получим
dUR/dt + UR/t0 = 0. (18)
Поскольку ёмкость С не может зарядиться мгновенно, то для t = 0, UR = U0 всё входное напряжение оказывается приложенным к сопротивлению. С учётом этого начального условия решение уравнения (18) запишется в виде:
. (19)
Экспоненциальный спад выходного напряжения описывает процесс зарядки ёмкости через сопротивление R и соответствующее перераспределение напряжения между R и C. При этом постоянная времени t0 характеризует скорость зарядки ёмкости и может быть интерпретирована как время, за которое напряжение UR уменьшится в е раз.
Для t0 << tu экспоненциальная зависимость становится резче, в результате на выходе наблюдаем короткие импульсы в момент начала и окончания входного воздействия, являющиеся удовлетворительной аппроксимацией производной от входного сигнала (рис.4).
Если выходное напряжение снимается с конденсатора, то для 0 < t < tu получим:
|
|
(21)
и для t >= tu
. (22)
Если цепь является интегрирующей, то выполняется неравенство t0 >> tu, что позволяет использовать разложение экспоненты в ряд Тейлора.
В результате для выходного напряжения при 0 < t < tu получим:
. (24)
Т.о., выходной сигнал в первом приближении действительно пропорционален интегралу от входного (рис.5)
Дата добавления: 2016-01-05; просмотров: 24; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!