Полином Чебышева и решение задачи оптимизации параметров
Очевидно, что , – полиномы.
Т.к. , то при имеем – полином при любом .
Точки экстремумов : :
, .
Корни полинома : :
, .
Линейное преобразование : .
Рассмотрим полином: .
Очевидно, что , – корни полинома.
Покажем, что этот полином наименее уклоняется от нуля на интервале среди всех полиномов , т.е. .
Теорема. | Если , то . |
Док-во. | Пусть , тогда : . Так как · полином имеет экстремумы (одинаковые по модулю) в точках : , : , и знакопеременна: то разность · полином степени , · последовательность знакопеременна в интервале имеется попарно различных корней полинома (т.к. внутри интервала имеется хотя бы один корень), · – корень ( –ый) полинома (именно здесь мы использовали условие ). , т.е. – противоречие. Следовательно, . |
Осталось вычислить .
Теорема. | Если , то , где . |
Док-во. | Очевидно, . Для вычисления воспользуемся формулой при . |
Заметим, что . Тогда . Док-во формулы при . Действительно, и . Осталось проверить, что или . Пусть , тогда , что и тр. док. |
Итак, – решение задачи оптимизации параметров за шагов.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 19; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!