Прием сигналов с отбором «лучшей» антенны
Цель работы
Изучение основных методов разнесённого приема: когерентного приема сигналов и приема сигналов с отбором «лучшей» антенны. Анализ статистических свойств отношения сигнал/шум (ОСШ) в многолучевом канале с некоррелированными релеевскими замираниями сигналов при использовании этих методов. Определение вероятности битовой ошибки.
Краткие сведения из теории
Когерентный прием сигналов
Рассмотрим пространственный разнесенный прием сигналов с помощью N-элементной антенной решетки (АР), схема которой показана на рис. 1.
Рис. 1 Разнесенный прием сигналов
Если передается сигнал d, то вектор X сигналов в приемных антеннах равен
(1.1)
где P0 – мощность передатчика, - вектор-столбец состоящий из коэффициентов передачи для каждой приемной антенны, (.)T - знак транспонирования, Z – вектор собственных шумов.
Шумы в различных приемных антеннах будем считать не коррелированными между собой, то есть корреляционная матрица шума <ZZH>=s02I, где I – единичная матрица, s02 – мощность шума, одинаковая в каждой антенне, (.)H – обозначает эрмитовое сопряжение.
Принятые сигналы суммируются с комплексными весовыми коэффициентами, которые объединим в весовой вектор . Тогда результирующий сигнал равен
. (1.2)
Найдем выходное ОСШ. Из (1.2) получим что
. (1.3)
|
|
где - среднее ОСШ в случае одной приемной антенны.
ОСШ не зависит от нормировки весового вектора W. Удобно нормировать вектор W так, что WHW=1. В результате для ОСШ будем иметь
. (1.4)
Из (1.4) следует, что для обеспечения максимума ОСШ вектор W должен быть параллелен вектору H коэффициентов передачи (W=aH), так как скалярное произведение векторов W и H будет наибольшим, когда они параллельны друг другу. Из условия нормировки весового вектора следует, что .
В таком весовом векторе обеспечивается согласованный (когерентный) прием сигналов и выходное ОСШ будет равно
. (1.5)
Отсюда следует, что выходное ОСШ представляет собой сумму ОСШ в каждой антенне.
Плотность вероятности ОСШ r зависит от статистических свойств замираний сигналов. В случае некоррелированных релеевских замираний сигналов одинаковой мощности дисперсия канальных коэффициентов является одинаковой во всех антеннах и ОСШ r имеет хи-квадрат распределение с 2N степенями свободы вида
. (1.6)
где - среднее ОСШ в каждой приемной антенне.
На рис. 2 показано хи-квадрат распределение для разного числа N приемных антенн (N=1, 2 и 4) при r0=1 (сплошные кривые). Среднее ОСШ на выходе АР равно . Поэтому с ростом N соответствующие кривые сдвигаются вправо. Более того, видно, что вероятность глубоких замираний сигналов (малых ОСШ) значительно уменьшается при увеличении N.
|
|
Рис. 2. Плотность вероятности ОСШ для разного числа антенн при когерентном суммировании антенн (сплошные кривые) и отборе «лучшей» антенны (пунктирные кривые)
Будем рассматривать сигналы двоичной фазовой модуляции. Вероятность битовой ошибки в системе с разнесенным приемом зависит от статистических свойств замираний сигналов в приемных антеннах. Чтобы найти вероятность BER битовой ошибки необходимо функцию f(r) из (1.6) подставить в следующий интеграл:
, (3.1)
где BER(r) – вероятность битовой ошибки в гауссовском шумовом канале без замираний сигналов при ОСШ равном r.
Вероятность BER(r) равна
, (3.2)
где F(x) - интеграл вероятности
. (3.3)
В результате будем иметь, что
. (3.4)
После интегрирования, получим выражение для вероятности битовой ошибки в явном виде
, (3.5)
где (2l-1)!! = 1´3´5´...´(2l-1); (2l)!! = 2´4´6´...´2l.
При произвольном числе антенн и больших ОСШ формула (3.5) упрощается и принимает следующий вид:
|
|
. (3.6)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
а) Мощность сигнала стремится к нулю (r0®0), то есть имеется только собственный шум. Вероятность ошибки стремится к 1/2 (BER®1/2) независимо от числа приемных антенн.
б) Имеется одна приемная антенна (N=1). Нетрудно получить из (3.5), что вероятность битовой ошибки будет равна
. (3.7)
В случае больших ОСШ (r0>>1) из(3.6) следует приближенное выражение
. (3.8)
с) Число антенн равно двум (N=2). Из (3.5) имеем, что
. (3.9)
При больших ОСШ получим, что
. (3.10)
д) Число антенн равно четырем (N=4). Из (3.5) найдем, что
. (3.11)
При больших ОСШ
. (3.12)
е) Число антенн равно восьми (N=8). При больших ОСШ имеем
. (3.13)
Нетрудно видеть из приведенных примеров, что вероятность ошибки уменьшается обратно пропорционально ОСШ в степени, равной числу приемных антенн, то есть BER~r0-N. Поэтому в логарифмическом масштабе кривые вероятности ошибок имеют линейную асимптотику при больших ОСШ с углом наклона прямых равным (-N). Этот угол наклона, называется порядком разнесения при приеме на АР.
|
|
Кривые вероятности ошибок в зависимости от ОСШ для разного числа антенн (N=1,2,4 и 8) представлены на рис. 4.
Рис. 4. Вероятности битовой ошибки в зависимости от ОСШ для 1, 2, 4 и 8- ми приемных антенн
Оценим ОСШ, необходимое для обеспечения заданной вероятности ошибки, например, равной 0,01. Результаты оценки показаны в таблице 1. Видно, что с ростом числа антенн необходимое ОСШ значительно уменьшается, то есть имеет место энергетический выигрыш, который обеспечивается двумя факторами. Первый - связан с увеличением среднего уровня принимаемого сигнала за счет использования N приемных антенн (выигрыш за счет усиления). Второй - с уменьшением вероятности глубоких замираний сигналов при приеме на множество антенн, когда вероятность одновременного замирания сигналов во всех антеннах уменьшается с ростом их числа (выигрыш за счет разнесенного приема).
Таблица 1.
Число антенн | Требуемое ОСШ, дБ | Выигрыш в ОСШ, дБ | Выигрыш за счет усиления, дБ | Выигрыш за счет разнесения, дБ |
N=1 | 13,8 | - | - | - |
N=2 | 5,4 | 8,4 | 3 | 5,4 |
N=4 | 0,2 | 13,6 | 6 | 7,6 |
N=8 | -3,7 | 17,5 | 9 | 8,5 |
Прием сигналов с отбором «лучшей» антенны
Рассмотрим метод отбора «лучшей» антенны, который не является оптимальным. Однако он наиболее прост для практической реализации, так как предполагает использование только одного высокочастотного приемного устройства. В каждый момент времени сравниваются мгновенные ОСШ на выходе каждой приемной антенны, и отбирается та антенна, которая имеет наибольшее ОСШ. Выходы остальных антенн отключаются.
Выходное ОСШ в в i-ой антенне подчиняется экспоненциальной плотности вероятности, которая получается из (1.6) при N=1 и имеет вид
. (2.1)
Поэтому, вероятность того, что ОСШ в этой антенне будет меньше или равно некоторого значения r равна
. (2.2)
Вследствие статистической независимости замираний сигналов в отдельных антеннах вероятность того, что ОСШ одновременно во всех N антеннах будет меньше или равно r будет определяться выражением:
. (2.3)
Вероятность того, что ОСШ как минимум в одной антенне будет превышать значение r равно
. (2.4)
Чтобы найти плотность вероятности выходного ОСШ при отборе «лучшей» антенны продифференцируем интегральную функцию распределения по аргументу r. В результате будем иметь, что
. (2.5)
На рис. 2 показано распределение (2.5) для разного числа N приемных антенн (N=1, 2 и 4) при r0=1 (пунктирные кривые). Видно, что для одинакового N плотность вероятности ОСШ при отборе «лучшей» антенны сдвигается влево по сравнению с кривой, соответствующей когерентному суммированию, то есть вероятность замираний сигналов (малых ОСШ) увеличивается.
Среднее ОСШ при отборе «лучшей антенны» будет равно
. (2.6)
Обозначим . Тогда интеграл (2.6) с учетом (2.5) можно преобразовать к виду
. (2.7)
Сделаем замену переменных . Отсюда . Далее учтем разложение натурального логарифма в бесконечный ряд. В результате получим, что
. (2.8)
или
. (2.9)
Это выражение можно преобразовать следующим образом
. (2.10)
На рис. 3 показаны потери в среднем ОСШ для метода отбора «лучшей» антенны по сравнению с методом когерентного суммирования сигналов во всех антеннах, когда . Видно, что эти потери могут составлять достаточно большую величину. Например, при числе антенн N=4 они равны 2.84 дБ.
Рис. 3. Потери в среднем ОСШ при отборе «лучшей» антенны по сравнению с когерентным суммированием всех антенн
Чтобы найти вероятность битовой ошибки плотность вероятности (2.5) подставим в интеграл (3.1) и учтем выражение (3.2) для вероятности ошибки в гауссовском шумовом канале. В результате будем иметь, что
. (3.17)
В случае двух приемных антенн (N=2) и при больших ОСШ получим, что
. (3.18)
Из сравнения (3.18) с (3.10) следует, что вероятность битовой ошибки для одинакового ОСШ при отборе «лучшей» антенны в два раза больше, чем при когерентном суммировании сигналов двух антенн.
Кривые вероятности битовой ошибки в зависимости от ОСШ для метода отбора «лучшей» антенны при разном числе антенн (N=1,2,4 и 8) представлены на рис. 6.
Рис. 6. Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ для разного числа приемных антенн ( N =1,2,4 и 8)
Оценим ОСШ, необходимое для обеспечения заданной вероятности битовой ошибки, например, равной 0.001. Получим, что ОСШ должно быть 13,8; 6,8; 3,3 и 1,3 дБ для числа приемных антенн N=1,2,4 и 8, соответственно. Сравнивая эти данные с результатами таблицы 1 для системы с когерентным суммированием выходных сигналов антенн, можно увидеть, что при использовании метода отбора «лучшей» антенны требуемое ОСШ становится большим на 1,4; 3,1 и 5,0 дБ при N=2,4 и 8, соответственно. Таким образом, с ростом числа антенн разница в эффективности этих двух методов увеличивается.
Практическая часть
Прежде чем приступить к выполнению лабораторной работы, необходимо установить на компьютер вспомогательную программу. Для этого необходимо запустить файл под названием MCRInstaller.exe и в режиме диалога ответить на вопросы мастера установки. Рекомендуется устанавливать данную программу в каталог C:\Program Files\Runtime.
Для выполнения лабораторной работы необходимо открыть файл SPASED_RECEPTION.exe. В появившемся окне выбирается номер задания, необходимое число реализаций, число антенн, другие необходимые параметры и нажимается кнопка “Построить график”.
Для дальнейшего использования полученных графиков их необходимо сохранить. Для этого, после выполнения каждого задания можно воспользоваться клавишей PrintScreen с последующей обработкой в редакторе Paint.
Практическая часть работы заключается в выполнении следующих заданий.
Дата добавления: 2023-01-08; просмотров: 31; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!