Введение в математический анализ.

Приложение 1

Методические указания и задания на контрольные работы № 1 – 6

Задачи, включенные в контрольную работу, взяты из сборника задач, подготовленного коллективом преподавателей кафедры «Высшая и прикладная математика». Все задачи имеют тройную нумерацию, которая включает номер раздела из сборника задач, уровень сложности задачи и порядковый номер задачи. Студент выполняет те задачи, последняя цифра номера которых совпадает с последней цифрой его учебного шифра.

Перед выполнением контрольной работы студент должен ознакомиться с содержанием разделов рабочей программы, на освоение которых ориентирована выполняемая контрольная работа. Необходимую учебную литературу студент может найти в рабочей программе (в программе указана как основная, так и дополнительная литература).

Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны: дисциплина, номер контрольной работы, шифр студента, курс, фамилия, имя и отчество студента. На обложке вверху справа указывается фамилия и инициалы преподавателя-рецензента. В конце работы студент ставит свою подпись и дату выполнения работы.

В каждой задаче надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

Решение каждой задачи должно содержать подробные вычисления, пояснения, ответ, а также, в случае необходимости, и рисунки. После каждой задачи следует оставлять место для замечаний преподавателя-рецензента. В случае невыполнения этих требований преподаватель возвращает работу для доработки без ее проверки.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры

1.1.1. Найти косинус угла между векторами и , если ; ; . Сделать чертеж.

1.1.2. Найти косинус угла между векторами и , если ; ; . Сделать чертеж.

1.1.3. Найти угол между векторами и , если ; ; . Сделать чертеж.

1.1.4. Найти угол между векторами и , если ; ; . Сделать чертеж.

1.1.5. Найти угол между векторами и , если ; ; . Сделать чертеж.

1.1.6. Найти угол между векторами и , если ; ; . Сделать чертеж.

1.1.7. Найти косинус угла между и , если ; ; . Сделать чертеж.

1.1.8. Найти косинус угла между и , если ; ; . Сделать чертеж.

1.1.9. Найти угол между и , если ; ; . Сделать чертеж.

1.1.10. Найти угол между и , если ; ; . Сделать чертеж.

2.1.11.Уравнение одной из сторон квадрата х+3у–5= 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если Р(–1; 0) – точка пересечения его диагоналей. Сделать чертеж.

2.1.12.Даны уравнения одной из сторон ромба х–3у+10=0 и одной из ее диагоналей х+4у–4=0; диагонали ромба пересекаются в точке Р(0; 1). Найти уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

2.1.13.Уравнения двух сторон параллелограмма х+2у+2=0 и х+у–4=0, а уравнение одной из его диагоналей х–2=0. Найти координаты вершин параллелограмма. Сделать чертеж.

2.1.14.Даны две вершины А(–3; 3) и В(5; –1) и точка D(4; 3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

2.1.15.Даны вершины А(3; –2), В(4; –1), С(1; 3) трапеции ABCD (AD || BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертеж.

2.1.16.Даны уравнения двух сторон треугольника 5х–4у+15=0 и
4х+у–9=0. Его медианы пересекаются в точке Р(0; 2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.

2.1.17.Даны две вершины А(2; –2) и В(3; –1) и точка Р(1; 0) пересечения медиан треугольника АВС. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С. Сделать чертеж.

2.1.18.Даны уравнения двух высот треугольника х+у=4 и у=2х и одна из его вершин А(0; 2). Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

2.1.19.Даны уравнения двух медиан треугольника х–2у+l = 0 и у–1=0 и одна из его вершин А(1; 3). Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.

2.1.20.Две стороны треугольника заданы уравнениями 5х–2у–8=0 и
3х–2у–8=0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертеж.

2.2.11. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Сделать схематический чертеж.

2.2.12. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Сделать схематический чертеж.

2.2.13. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Сделать схематический чертеж.

2.2.14. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Сделать схематический чертеж.

2.2.15. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Сделать схематический чертеж.

2.2.16. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Сделать схематический чертеж.

2.2.17. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Сделать схематический чертеж.

2.2.18. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Сделать схематический чертеж.

2.2.19. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Сделать схематический чертеж.

2.2.20. Указать какой из данных плоскостей а); б); в); г); д) перпендикулярна прямая:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Сделать схематический чертеж.

3.1.41–3.1.70. Решить систему линейных уравнений матричным методом и методом Гаусса. Сделать проверку.

3.1.41. 3.1.42.

3.1.43. 3.1.44.

3.1.45. 3.1.46.

3.1.47. 3.1.48.

3.1.49. 3.1.50.

Введение в математический анализ.

Производная и ее приложения.

6.2.31–6.2.40. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

6.2.31. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.32. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.33. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.34. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.35. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.36. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.37. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.38. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.39. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.2.40. а) ; б) ;

в) ; г) .

6.3.11–6.3.20. Задана функция у= f (х). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.

6.3.11.

6.3.12.

6.3.13.

6.3.14.

6.3.15.

6.3.16.

6.3.17.

6.3.18.

6.3.19.

6.3.20.

7.1.1–7.1.10. Найти производные данных функций.

7.1.2.

в)

7.1.3. а) б) y = arcctg [exp(5x)] ;

в) x = sin²3t, y = cos²3t .

7.1.4.

в) x = t⁴ + 2t, y = t² + 5t .

7.1.5.

в) x = t – ln sint, y = t + ln cost .

7.1.6. a) б) y = exp(cos3x) .

в) x = tg t ,

7.1.7. a) б) y = 3x exp(-x^-2) ;

в) x = t² – t³ , y = 2t³ .

7.1.8. a) y = ln cos2x – ln sin2x ; б)

в) x = cos³t , y = sin³t .

7.1.9. a) б)

в) x = 3sint, y = 3cos²t .

7.1.10.

в) x = 2t – t² , y = 2t³ .

7.3.21–7.3.30. Методами дифференциального исчисления: а) исследовать функцию y = f (x) для и по результатам исследования построить ее график; б) Найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [a; b].