Нахождение производной – дифференцирование
Таблица производных:
1) у = е у' = 0
2) у = xn y ' = nxn -1
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
Правила дифференцирования.
1 
2. 
3. 
4. 
Примеры:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
МЕТОДОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
I. Монотонность функции.
Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если в этом интервале каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Монотонность функции y = f ( x ) характеризуется знаком её первой производной 
, а именно, если в некотором интервале 
, то функция возрастает (убывает) в этом интервале.
Правило нахождения интервалов монотонности:
1. Найти ; нули и точки разрыва .
2. Определить методом проб знак в интервалах, на которые полученные в п.1 точки делят область определения функции.
Там, где 
- интервал возрастания, где 
- интервал убывания
x1; х2; х3 – критические точки, то есть точки в которых 
«+» - интервалы возрастания
«-» - интервалы убывания.
II. Экстремумы функции. (Максимумы, минимумы).
Точка 
называется точкой максимума (минимума) функции 
, если существует такая окрестность точки х0, что для всех 
этой окрестности выполняется условие
Точками экстремумов являются лишь те критические точки, при переходе через которые 
меняют знак.
Правило нахождения экстремумов.
|
|
|
1. Найти ; нули и точки разрыва .
2. Определить методом проб знак в каждом полученном интервале.
3. Из всех критических точек выделить те, в которых функция 
определена и производная меняет свой знак.
Пример:
Найти интервалы монотонности и экстремумы функции 
Критические точки: 
Находим методом проб знак 
в каждом интервале.
I. 
II. 
III. 
IV. 
Функция возрастает на интервалах 
убывает, если 
.
Экстремумы функции находятся в точках х = 0 и х = 2.
Ответ: 
s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> 
Нахождение экстремумов функции при помощи второй производной.
1. Найти производную и критические точки, в которых
2. Найти вторую производную 
и вычислить её в каждой найденной критической точке.
Если знак положительный, то имеет место минимум, если отрицательный, то максимум
|
|
|
.
3. Вычислить значение экстремумов.
Пример:
Критические точки:
III . Направление выпуклости. Точки перегиба.
Кривая называется выпуклой (вогнутой) в некотором интервале, если она расположена, ниже (выше) касательной, проведенной к кривой в любой точке этого интервала.
Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком второй производной 
, а именно, если в некотором интервале 
, то кривая выпуклая в этом интервале;
если в некотором интервале 
, то кривая вогнута в этом интервале.
Точкой перегиба кривой называется такая её точка, в которой происходит перемена выпуклости.
Правило нахождения точки перегиба:
1. Найти ; нули и точки разрыва .
2. Определить методом проб знак в каждом полученном при помощи найденных точек интервале.
Если 
интервал вогнутости
Если 
интервал выпуклости.
3. Из полученных в п.1точек выделим те, в которых функция определена и меняет свой знак. Это будут абсциссы точек перегиба графика.
4. Вычисляем координаты точек перегиба.
Пример: 
Критические точки: 
|
|
|
Находим методом проб знак в каждом интервале:
Интервал выпуклости: (2; +∞)
Интервал вогнутости: (-∞; 2)
В точке х=2 – перегиб.
Точка перегиба: 
(2;16) - координаты точки перегиба.
ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ
Дата добавления: 2022-11-11; просмотров: 30; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!