Формулы для подсчета числа перестановок,
Сочетаний и размещений
На основе правила умножения доказываются формулы для подсчета числа перестановок, сочетаний и размещений. Выделяют две группы формул: с повторениями (некоторые из переставляемых, размещаемых или выбираемых предметов одинаковы) и без повторений (среди переставляемых, размещаемых или выбираемых предметов нет одинаковых).
Перестановки, сочетания и размещения без повторений
| Задача о числе перестановок. Сколькими способами можно переставить п различных предметов, расположенных на п различных местах? | Пример. Сколькими способами можно составить ведомость для начисления зарплаты, если в список должны войти 10 лиц? Решение. Имеем 10 фамилий и 10 строк в зарплатной ведомости. Тогда получим: N=10!=3628800. Ответ: 3628800. | ||
Перестановки
| |||
| Задача о числе размещений. Сколькими способами можно выбрать и разместить по k различным местам k из п различных предметов? | Размещения 
Пример. В чемпионате города по хоккею играет 7 команд. Сколькими способами могут распределиться три призовых места?
Решение. Из имеющихся семи команд нужно выбрать три лучшие и распределить между ними призовые места. Нужно выбрать и разместить 3 из 7 команд, значит это размещения.
| ||
| Задача о числе сочетаний (выборок). Сколькими способами можно выбрать k из п различных предметов? | Пример. Сколькими способами можно поставить три черные пешки на белые клетки шахматной доски?
Решение. Имеются три пешки,для которых нужно выбрать 3 места из 32 имеющихся. | ||
Сочетания 
|
Перестановки, сочетания и размещения с повторениями
| Задача о числе перестановок с повторениями. Сколькими способами можно переставить п различных предметов k различных типов по n 1 , n 2 , .., n к предметов, расположенных на п различных местах? Сколькими способами можно разбить п различных предметов на k групп по n 1 , n 2 , .., n к предметов ? | Перестановки с повторениями
 ,
где 
| |||
Пример. Сколькими способами можно расположить в ряд пять книг: два одинаковых романа и три одинаковых томика стихов?
Решение. 
Пример. Сколькими способами можно расселить восемь студентов по трем комнатам: одноместной, трехместной и четырехместной?
Решение. 
| ||||
| Задача о числе размещений с повторениями. Сколькими способами можно выбрать и разместить по п различным местам k элементов, каждый из которых может повторяться? | Размещения с повторениями 
| |||
Пример. Четыре студента сдают экзамен. Сколько может быть вариантов распределения отметок, если известно, что, так или иначе все они экзамен сдали?
Решение. Имеем три положительные отметки: удовлетворительно, хорошо и отлично (k =3), которые нужно разместить между четырьмя студентами (п=4). Отметки могут повторяться, поэтому речь идет о размещении с повторениями: 
| ||||
| Задача о числе сочетаний (выборок) с повторениями.
Имеется по т предметов каждого из п различных типов. Сколькими способами можно выбрать т из этих
 Мы поможем в написании ваших работ! |
предметов?