Критерий максимального правдоподобия (МП)

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

МП1. Используя экспериментальные данные из табл. 1, построили кривую зависимости среднего риска R_МП(С_Ф) от физического порога регистрации обнаружителя сигналов. Расчёт риска провели по формуле:

R_МП(С_Ф)=П^*×(a+β)/2, где средневзвешенные потери при неверных решениях П^*= (П₁₀+П₀₁)/2

Рисунок 7 – График кривых зависимости среднего риска R_МП(С_Ф) от физического порога регистрации обнаружителя сигналов

МП2. По полученным кривым R_МП(С_Ф) нашли оптимальные значения порога С*_Ф, соответствующее минимальному риску R_МП(С*_Ф) = min{R_МП(С_Ф)} для каждого значения SNR.

МП3. Вычислить теоретическое значение оптимального порога: С^*=С_МП=1

	С*_Ф	D_Э*	α_Э*	D_Т*	α_Т*
SNR=0,43	0	0,4680	0,2981	0,6284	0,3415
SNR=1,74	0	0,4790	0,2127	0,7452	0,2547
SNR=10,62	0	0,5288	0,0753	0,9576	0,0824

МП4. На экспериментальную рабочую характеристику D(α) нанесли биссектрису D_МП(α) = 1 – α. По пересечению рабочей характеристики с биссектрисой графически определили оптимальные вероятности правильного обнаружения сигнала D_ГР* и ложного срабатывания α_ГР*.

Для SNR=0,43 α_ГР*=0.41, D_ГР*= 0.58

Для SNR=1,74 α_ГР*=0.37, D_ГР*= 0.63

Для SNR=10,62 α_ГР*=0.28, D_ГР*= 0.72

Минимаксный критерий (minmax)

ММ1. Согласно теории, критерий Байеса переходит в минимаксный критерий при наименее благоприятном априорном распределении вероятностей. С этой целью, предлагается рассмотреть четыре различных априорных распределения вероятностей состояния передатчика:

1) P₀₁=0,55; 2) P₀₂ = 0,5; 3) P₀₃ = 0,9; 4) P₀₄ = 0,1

ММ2. Используя экспериментальные данные из табл. 1, для каждого априорного распределения вероятностей построили кривую зависимости среднего риска R(СФ) от физического порога обнаружителя сигналов: R_i(C_F) = R (C_F,P_0i) , ( i =1..4 ). Все четыре кривые нанесли на один общий рисунок 9.

Рисунок 8 – График кривых зависимости среднего риска R_i(С_Ф) от физического порога обнаружителя сигналов для SNR=0,43

ММ3. Для каждой из четырех полученных кривых R_i(С_Ф) найти оптимальное (минимизирующее риск) значение порога {C*_F1 ;C*_F2 ;C*_F3 ;C*_F4} , где С*_Ф,i соответствует минимальному риску.

C*_F1= -0.4 ;C*_F2= -0.6 ;C*_F3= 1.4 ;C*_F4= -3

ММ4. В качестве оптимального порога С* _Ф выбрать тот С* _Ф,i(i=1), у которого минимальный риск R(C*_Fi) максимален: С*_ф=-0,4

ММ5. Вычислили теоретическое значение оптимального порога:

	С*_Ф	D_Э*	α_Э*	D_Т*	α_Т*
SNR=0,43	-0.4	0,8521	0,7241	0,7358	0,4899
SNR=1,74	-0.8	0,8946	0,6731	0,8322	0,3053
SNR=10,62	-0.8	0,8717	0,4303	0,9545	0,0583

Рисунок 9 – График кривых зависимости среднего риска R_i(С_Ф) от физического порога обнаружителя сигналов для SNR=1,74

C*_F1= -0.8 ;C*_F2= -0.8 ;C*_F3= 1 ;C*_F4= -3,1

В качестве оптимального порога С*_ф=-0,8, теоретическое значение С*=0,82

Рисунок 10 – График кривых зависимости среднего риска R_i(С_Ф) от физического порога обнаружителя сигналов для SNR=10,62

C*_F1= -0.8 ; C*_F2= -1 ; C*_F3= 1 ; C*_F4= -3,1

В качестве оптимального порога С*_ф=-0,8, теоретическое значение С*=0,82

Критерий Неймана-Пирсона

НП1. В качестве требуемой вероятности ошибки I рода α₀ задать усреднённое значение вероятностей α_Э* для предыдущих критериев:

НП2. Вычислить теоретический порог C*_НП, соответствующий требуемой вероятности α₀, путем численного решения интегрального уравнения:

НП3. Для найденного значения теоретического порога C*_НП по формулам вычислить вероятность правильного обнаружения сигнала D_Т*

НП4. Используя экспериментальные данные из табл. 1, построить график функции Лагранжа Φ(β) для поиска условного максимума вероятности правильного обнаружения сигнала. Расчёт провести по формуле:

НП5. По полученной кривой Φ(β) найти оптимальное значение вероятности правильного обнаружения сигнала D_Э*, соответствующее максимуму функции Лагранжа: F(1 - D_Э*) = max{F(b)} .

НП6. Для значения D_Э* по рис.2 нашли соответствующий ему физический порог С*_Ф. Далее по рис. 3 нашли вероятность ошибки I рода α_Э* = α(C_Ф *). Сравнить значения α_Э* и α₀.

	C*_НП	С*_Ф	D_Э*	α_Э*	D_Т*
SNR=0,43	0,84	-0.2	0,7709	0,6211	0,7236	0,4853
SNR=1,74	0,67	-0.8	0,8946	0,6731	0,8323	0,4218
SNR=10,62	0,58	-1,4	0,9337	0,5193	0,9638	0,2836

НП7. По экспериментальной рабочей характеристике приёмника D(α) (рис. 4) для требуемого значения α₀ графически определить оптимальную вероятность правильного обнаружения сигнала D*_ГР = D(α₀). Графически определить теоретический порог регистрации С*_ГР= ¶D(a₀)/¶a как тангенс угла наклона касательной к рабочей характеристике в точке α₀. Сравнить значения D_Э* и D_ГР*, а также значения C*_НП и C*_ГР.

Рисунок 11 – Графики функции Лагранжа Φ(β) для SNR=0,43; 1,74; 10,62

SNR=0,43 D*_ГР=0.64, С*_ГР=0,94

SNR=1,74 D*_ГР=0.67, С*_ГР=0,94

SNR=10,62 D*_ГР=0.71, С*_ГР=0,89

Построили экспериментальные зависимости D_Э*(SNR) и α_Э*(SNR), используя экспериментальные значения D_Э* и α_Э*, найденные ранее при различных (сигнал/шум). Графики D_Э*(SNR) для всех трёх критериев построили на общем рисунке.

Рисунок 12 – Графики экспериментальных и теоретических зависимостей вероятности правильного обнаружения D от SNR

Рисунок 13 – Графики экспериментальных и теоретических зависимостей вероятности ошибки I рода a от SNR

Таблица 2 – Результаты обработки экспериментальных данных.

	SNR=0,43
Критерий	С*_Ф (В)	α_Э*	D_Э*	R	(P₀∙α+ P₁∙β)	(α+β)
Байеса	-0,2	0,6211	0,7709	2,2211	0,4447	0,8502
МАВ	0	0,2981	0,4680	1,9765	0,4033	0,8301
МП	0	0,2981	0,4680	2,0753	0,4033	0,8301
Minmax	-0,4	0,7241	0,8521	2,2297	0,4648	0,8710
Неймана-Пирсона	-0,2	0,6211	0,7709		0,4447	0,8502
	SNR=1,74
Байеса	-0,4	0,5660	0,8039	2,0272	0,4583	0,7621
МАВ	-0,1	0,2357	0,6715	1,8563	0,2774	0,5642
МП	0	0,2127	0,4790	1,8344	0,3514	0,7337
Minmax	-0,8	0,6731	0,8946	2,0206	0,4176	0,7785
Неймана-Пирсона	-0,8	0,6731	0,8946		0,4176	0,7785
	SNR=10,62
Байеса	-0,8	0,4303	0,8717	1,5833	0,2944	0,5586
МАВ	-0,2	0,1983	0,7273	1,4052	0,2317	0,4710
МП	0	0,0753	0,5288	1,3662	0,2534	0,5465
Minmax	-0,8	0,4303	0,8717	1,5833	0,2944	0,5586
Неймана-Пирсона	-1,4	0,5193	0,9337		0,3154	0,5856

мы тоже

Заключение

В ходе работы нами была определена необходимая амплитуда шума для заданных преподавателем значений SNR (0.43, 1.74, 10.62). Сняли экспериментальную зависимость вероятности правильного обнаружения сигнала D и вероятность ошибки 1 рода α от величины физического порога Cф для каждого значения SNR.

Для обработки результатов эксперимента были использованы следующие статистические критерии: Байеса, МАВ, МП, Minmax, Неймана-Пирсона. Для каждого критерия были построены кривые риска, по ним найдены оптимальные значения порога С*_Ф, посчитаны теоретические значения D_т и α_т для каждого значения SNR.

Была составлена сравнительная таблица значений физического порога С*_Ф, экспериментальной вероятности ошибки 1 рода α_Э*, экспериментальной вероятности правильного обнаружения D_Э*, риска R, (P₀∙α+ P₁∙β) и (α+β) для исследуемых критериев и уровней сигнал/шум. Наиболее близкие значения для критериев Байса и minmax. Следующий близкие к ним значения получаются из критерия Неймана-Пирсона. Хуже всего согласуются результаты для критериев МП и МАВ. Для критерия МП наименьшее согласование с теорией.

Для большого отношения SNR=10.62 сравниваемые значения должны быть близки для всех критериев. Кроме этого, рабочая характеристика должна быть более крутой, но этого не происходит. Возможно, это связано с ошибочным снятием измерений для данного SNR.

Таким образом, наиболее сильным является критерий Байеса, что согласуется с теорией. Но он дает большой риск (мы используем больше известной информации, значит за ошибочное решение мы должны платить больше, а другие критерии обладают не полным объемом сведений и недооценивают риски). Отличной альтернативой является критерий minmax (риск такой же или меньше, значения близки).

Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 28; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!