Пример уравнивания и оценка точности нивелирной сети
Параметрическим способом
Сеть ходов геометрического нивелирования (рис. 1) опирается на реперы высотной основы: Рп А с отметкой НА = 200,106 м; Рп В с отметкой НВ = 208,953 м; Рп С с отметкой НС = 208,480 м. Измеренные значения превышений и длины ходов приведены в табл. 4.
Исходные данные
Таблица 4
| № хода | Измеренное превышение h, м | Длина хода, км |
| 1 | + 6,135 | 28,3 |
| 2 | + 8,343 | 29,1 |
| 3 | + 5,614 | 26,4 |
| 4 | + 1,394 | 27,7 |
| 5 | - 6,969 | 25,3 |
| 6 | - 0,930 | 24,2 |
| 7 | + 6,078 | 30,5 |
Рис. 1 – Схема нивелирных ходов
Цель работы: выполнить уравнивание результатов измерений и получить отметки узловых реперов Рп 1, Рп 2 и Рп 3; оценить точность выполненных измерений; вычислить среднюю квадратическую ошибку уравненного 5-го превышения.
Порядок вычислений:
1. В качестве неизвестных значений примем отметки узловых реперов Рп 1, Рп 2 и Рп 3. Обозначим искомые величины соответственно через T1, T2и T3, которые представим в следующем виде
Tj = tj + δtj , (31)
где tj – приближенные значения;
δtj – поправки в приближенные значения;
t1 = НА + h1 = 200,106 + 6,135 = 206,241 м;
t2 = Н B + h3 = 208,953 + 5,614 = 214,567 м;
t3 = НС + h6 = 208,480 - 0,930 = 207,550 м;
2. Составим уравнения поправок, заменяя согласно (5) и (7) уравненные значения превышений измеренными, а определяемые неизвестные их приближенными значениями и поправками к ним:
|
|
|
и, подставив численные значения
206,241 + δ t1 – 200,106 – 6,135 = v1;
214,567 + δt2 – 206,241 - 8,343 – δt1 = v2 ;
214,567 + δ t2 – 208,953 – 5,614 = v3 ;
207,550 + δt3 – 206,241 - δt1 – 1,394 = v4 ;
207,550 + δt3 - 214,567 – δt2 + 6,969 = v5 ;
207,550 + δt3 - 208,480 + 0,830 = v6 ;
214,567 + δ t2 – 208,480 – 6,078 = v7 ,
в результате получим систему уравнений поправок:
+ δ t1 = v1;
- δ t1 + δt2 - 1,7 см = v2 ;
+ δ t2 = v3 ;
- δ t1 + δt3 - 8,5 см = v4 ;
- δ t2 + δt3 - 4,8 см = v5 ;
+ δt3 = v6 ;
+ δ t2 = v7.
3. Вычислим веса измеренных превышений согласно следующему соотношению
4. Вычислим коэффициенты нормальных уравнений (табл. 5). В результате получим следующие нормальные уравнения
1,06 δ t1 – 0,35 δt2 – 0,36 δt3 + 3,65 =0;
- 0,35 δ t1 + 1,45 δ t2 – 0,40 δt3 + 1,61 = 0;
- 0,36 δ t1 – 0,40 δ t2 + 1,17 δt3 - 4,96 = 0.
|
|
|
Найдем суммарное уравнение
0,35 δ t1 + 0,70 δ t2 + 0,41 δt3 + 0,30 = 0.
Вычисление коэффициентов нормальных
уравнений
Таблица 5
| № уравнения | a] | b] | c] | l] | s] | p | v, см | pvv | plv |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 | +1 | +1,0 | 0,353 | -2,68 | 2,535 | ||||
| 2 | -1 | +1 | -1,7 | -1,7 | 0,344 | +0,08 | 0,002 | -0,047 | |
| 3 | +1 | +1,0 | 0,379 | -0,90 | 0,307 | ||||
| 4 | -1 | +1 | -8,5 | -8,5 | 0,361 | -2,71 | 2,651 | 8,316 | |
| 5 | -1 | +1 | -4,8 | -4,8 | 0,395 | -0,79 | 0,247 | 1,498 | |
| 6 | +1 | +1,0 | 0,413 | +3,11 | 3,995 | ||||
| 7 | +1 | +0,9 | +1,9 | 0,328 | 0 | 0 | |||
| Суммы | -1 | +2 | +3 | -14,1 | -10,1 | 9,737 | 9,767 | ||
| Неизвест. | -2,68 | -0,90 | 3,11 | ||||||
| [pa | 1,06 | -0,35 | -0,36 | 3,65 | 4,00 | ||||
| [pb | 1,45 | -0,40 | 1,61 | 2,31 | |||||
| [pс | 1,17 | -4,96 | -4,55 | ||||||
| [pl | 36,44 | 36,74 | |||||||
| [ps | 38,50 |
5. Решение нормальных уравнений произведено в табл. 6 согласно схеме Гаусса. Для контроля правильности вычисленных неизвестных δ t1, δ t2 и δt3 подставим их вычисленные значения в суммарное уравнение
|
|
|
0,35 (-2,687) + 0,70 (-0,903) + 0,41 (3,103) + 0,30 = 0.
6. В правой части табл. 5 вычисляем поправки (графа 8) согласно равенствам
Произведем контроль по [pvv]. Полученные значения сумм в графах 9 и 10 должны сходиться.
Решение нормальных уравнений
Таблица 6
| № строк | δt1 | δ t2 | δ t3 | L | S | Контроль | Q1 | Q2 | Q3 | Σʹ | fj | Σ U |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
| 1 2 | 1,06 -1 | -0,35 0,3302 | -0,36 0,3396 | 3,65 -3,4434 | 4,00 -3,7736 | 4,00 -3,7736 | -1 0,9434 | 3,00 -2,8302 | 0,35 -0,3302 | |||
| 3 4 5 6 7 | 1,45 0,116 1,334 -1 | -0,40 -0,119 -0,519 0,3890 | 1,61 1,205 2,215 -2,1102 | 2,31 1,321 3,631 -2,7219 | 2,31 3,630 -2,7211 | -0,330 -0,330 0,2474 | -1,000 -1,000 0,7496 | 1,31 -0,991 2,301 -1,7249 | -1,000 -1,000 0,7496 | -0,30 0,116 -0,184 0,1379 | ||
| 8 9 10 11 12 13 | 1,17 -0,122 -0,202 0,846 -1 | -4,96 1,240 1,095 -2,625 3,1028 | -4,55 1,358 1,413 -1,779 2,1028 | -4,55 -1,779 2,1028 | -0,340 -0,128 -0,468 0,553 | -0,389 -0,389 0,460 | -1,000 -1,000 1,182 | -5,55 1,019 0,895 1,914 -2,262 | 1,000 -0,389 0,611 -0,722 | 1,41 0,119 -0,072 1,457 -1,722 | ||
| 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 | -3,443 1,054 -0,298 -2,687 δt1 | -2,110 1,207 -0,903 δ t3 | 3,103 δ t3 [pvv] = | 36,440 -12,568 -5,940 -8,145 9,787 | 36,740 -13,774 -7,662 -5,520 9,784 | 0,943 0,188 0,152 1,283 Q11 0,156 0,307 0,463 Q21 0,401 0,152 0,553 Q3 | 0,247 0,215 0,462 Q12 0,750 0,179 0,929 Q22 0,460 Q32 | 0,553 Q13 0,460 Q23 1,182 Q33 |
| -0,750 -0,441 -1,191 | -0,138 -1,052 -1,190 |
7. Вычислим уравненные значения превышений (табл. 7)
|
|
|
Уравненные значения превышений
Таблица 7
| № ходов | Измеренные Превышения hi, м | Поправки vi , мм | Уравненные превышения hiʹ, м |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 2 3 4 5 6 7 | +6,135 +8,343 +5,614 +1,394 -6,969 -0,930 +6,078 | -26,8 +0,8 -9,0 -27,1 -7,9 +31,1 0 | +6,1082 +8,3438 +5,6050 +1,3669 -6,9769 -0,8989 +6,0780 |
7. Определим отметки искомых реперов Рп 1, Рп 2 и Рп 3:
8. Произведем окончательный контроль:
9. Оценка точности:
- вычислим ошибку единицы веса
при этом надежность определения ошибки единицы веса составит
- средняя квадратическая ошибка на 1 км нивелирного хода
;
- оценку точности определения уравненных значений отметок произведем с помощью весовых коэффициентов Qij, вычисленных в табл. 7 попутно с решением нормальных уравнений, контроль нахождения весовых коэффициентов производится согласно формулам (22) и (23); средние квадратические ошибки уравненных отметок составят:
- определим веса двух последних неизвестных
и
- при оценке точности функции уравненных отметок Рп 2 и Рп 3 примем разность этих отметок, т.е. пятого уравненного превышения
U = t3 – t2;
вычисление обратного веса функции выполнялось в дополнительной графе 11 (табл. 7); контроль вычисления обратного веса осуществлялся по формуле (29) в графе 12 табл. 7.
Литература
1. Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений. – М.: Недра, 1977.
2. Большаков В.Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической обработки геодезических измерений. – М.: Недра, 1984.
3. Беляев Б.И. Практикум по математической обработке маркшейдерско-геодезических измерений: Учеб. пособие для вузов. – М.: Недра, 1989.- 316 с.
4. Губеладзе А.Р. Основы теории ошибок измерений: Учебное пособие. – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 1998.- 106 с.
5. Губеладзе А.Р. ТМОГИ. Обработка результатов измерений и уравнивание полигонометрических ходов: (Учебное пособие). - Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2013. - 93 с.
6. Губеладзе А.Р. Методические указания к заданиям по курсу «Теория математической обработки геодезических измерений». Способ наименьших квадратов. Часть 1. - Ростов н/Д: Рост. гос. акад. строит-ва, 1993.- 23 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 77; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!