Примеры решения задач на тему: Динамика материальной точки
Задача № 1
В шахту начинает опускаться равноускорено лифт, масса которого 
В первые 10 с он проходит 35 м.
Определить натяжение 
каната, на котором висит лифт.
Решение. Изобразим кабину лифта в произвольном положении (рис.1.1). На лифт действует сила тяжести 
, которая направлена вниз, и натяжение каната 
, который направлен вдоль троса вверх.
Движение происходит по вертикали, поэтому направим ось 
вертикально вниз в соответствии с направлением скорости и ускорения.
Запишем уравнение движения кабины лифта в форме второго закона Ньютона:
где 
- ускорение кабины лифта.
С учетом сил, действующих на кабину лифта, уравнение будет иметь вид:
Спроектируем это уравнение на ось :
С учетом того, что 
, находим
Мы получили зависимость натяжения каната от ускорения, с которым движется кабина лифта.
Проанализируем эту зависимость. Может быть три случая:
-
- кабина лифта движется равномерно или неподвижная; -
- кабина лифта имеет ускорение, которое по направлению совпадает с положительным направлением оси (вниз); -
- кабина лифта с ускорением поднимается вверх.
В первом случае
То есть, если кабина лифта движется без ускорения в любом направлении, натяжение троса будет равняться силе тяжести кабины лифта.
Во втором случае натяжение троса меньше силы тяжести кабины лифта, потому что 
, а если 
, то 
В третьем случае натяжение троса всегда больше силы тяжести кабины лифта, потому что 
и 
|
|
|
Например, когда 
то есть натяжение троса вдвое превышает силу тяжести кабины лифта.
В нашей задаче ускорение определится с выражения для пути при равнопеременном движении с учетом того, что начальная скорость 
:
Тогда:
Ответ: натяжение троса 
Задача № 2
К телу весом 
которое лежит на столе, привязали нить, второй конец которой (рис.1.2) держат в руке.
Определить, с каким ускорением 
надо поднимать тело вверх вертикально, чтобы нить оборвалась, если она рвется когда натяжение достигает величины 
Решение: Изобразим тело с привязанной к нему нитью (рис.1.2). Покажем силы, которые действуют на тело: сила тяжести и натяжение нити . Ось направляется по вертикали вверх в положительном направлении скорости и ускорения.
Запишем уравнение движения тела в векторной форме:
Спроектируем это уравнение на ось :
Откуда:
Если учесть числовые данные, то
Ответ: 
Задача № 4
Движение тела массой 
выражается уравнениями:
где 
и 
- в метрах, а 
- в секундах.
Определить силу 
, которая действует на тело, принимая его за материальную точку (рис.1.4).
Решение. Проекции на оси координат силы 
, которая приложена к телу, определяются по формулам:
|
|
|
где 
и 
- проекции ускорения тела на оси координат.
В данном случае
Итак
Модуль силы равен:
Сила направлена вертикально вниз, поскольку 
Таким образом, искомая сила, модуль которой равен 
, является силой тяжести.
Ответ: 
Задача № 6
Нагруженная вагонетка массой 
опускается по канатной железной дороге с наклоном 
и имеет скорость 
(рис.1.6).
Определить натяжение каната при равномерном опускании и при торможении вагонетки, если время торможения 
, общий коэффициент сопротивления движению 
. При торможении вагонетка движется равнозамедленно.
Решение. Изобразим вагонетку в произвольном положении. Покажем силы, которые действуют на нее: силу тяжести , нормальную реакцию железной дороги 
, натяжение каната 
и силу сопротивления 
.
Выбираем декартовую систему координат: ось направим параллельно дороге в сторону движения; ось - вверх перпендикулярно дороге. Запишем векторное уравнение движения вагонетки в форме второго закона Ньютона:
Проектируем векторное уравнение движения на оси координат:
Поскольку 
все время движения вагонетки, то 
, и из уравнение (2) легко находим величину нормальной реакции:
Тогда общая сила сопротивления движению составляет:
|
|
|
Для определения натяжения используем уравнение (1)
При равномерном опусканье 
и 
составит:
При равнозамедленном торможении
где 
- начальная скорость;
- конечная скорость.
Таким образом
Тогда
Ответ: 
Из полученных результатов следует, что при торможении нагрузка на канат увеличивается по сравнению с нагрузкой при равномерном движении.
Задача № 7
Вагон весом скатывается по колее, которая наклонена к горизонту под углом 
.
Определить силу торможения вагона 
, которая вызывается трением колес по рельсам, предполагая, что движение вагона происходит с постоянным ускорением, а также то значение угла , при котором вагон будет скатываться равномерно.
Решение. Изображаем вагон в виде материальной точки в произвольном положении на наклонной плоскости и показываем силы, которые на него действуют (рис.1.7): - сила тяжести вагона; - нормальная реакция рельсов; - сила трения.
Выбираем декартовую систему координат, причем ось направим параллельно рельсам в сторону движения вагона; а ось - перпендикулярно рельсам.
Запишем уравнение движения вагона в векторной форме:
и спроектируем его на оси выбранной системы координат:
|
|
|
По уравнению (2) определим силу торможения вагона:
По условиям задачи вагон движется с ускорением 
которое направлено вдоль оси 
, то есть 
.
Если подставим в уравнение (3) , то получим:
Определим значение угла , при котором вагон будет скатываться равномерно. Поскольку
то
где 
- коэффициент трения.
Откуда получим
Из этого уравнения вытекает, что при изменении угла , можно найти значение угла, при котором . Если в уравнении (4) присвоить , то
Поскольку известно, что коэффициент трения равен тангенсу угла трения 
, то
Таким образом, при углу наклона рельсов к горизонту, что равен углу трения , вагон будет скатываться равномерно.
Ответ: 
Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 26.2, 26.8, 26.10, 26.20, 26.24 [2].
Задача № 4
На криволинейных участках железнодорожного пути наружный рельс поднимают выше над внутренним (рис.1.9). При движении поезда на этом участке его скорость 
поддерживают такой, чтобы давление вагона на рельсы было направлено перпендикулярно железнодорожному полотну.
Определить величину 
повышения внешнего рельса над внутренним при следующих данных: радиус закругления железнодорожного пути 
, скорость поезда 
, расстояние между рельсами 
Решение. На вагон действуют: сила тяжести , которая направлена вертикально вниз, и реакции рельсов на колеса 
и 
, которые направлены перпендикулярно железнодорожному полотну.
Запишем уравнение движения вагона в векторной форме:
где - ускорение вагона.
Поскольку движение происходит по криволинейной траектории, то выбираем естественную систему координат: ось 
направим по нормали к центру кривизны траектории, а ось 
- по касательной в сторону движения вагона. Бинормаль, ось 
, на рис. 1.9 не показано.
Проектируем уравнение движения (1) на ось :
или 
Из рис. 1.8 видно, что 
Итак,
Подставив числовые значения известных величин, получаем:
Ответ: 
Задача № 7
Радиус закругления моста в точке 
равен 
(рис.1.12).
Определить, с какой силой автомобиль давит на мост в точке , если его масса 
, а модуль скорости движения 
Решение. Рассмотрим автомобиль как материальную точку, поскольку его размерами по сравнению с размерами моста можно пренебречь. Изобразим автомобиль в точке моста (рис.1.12) и покажем силы, которые действуют на него: 
- силу тяжести автомобиля и - реакцию моста.
Поскольку автомобиль движется по криволинейной траектории, то для решения задачи воспользуемся естественной системой координат 
.
Запишем уравнение движения автомобиля в векторной форме:
и спроектируем его на оси выбранной системы координат:
(поскольку 
то 
), (1)
Из уравнения (2) определяем реакцию моста 
по модулю:
Сила давления 
автомобиля на мост равна по модулю реакции моста, но направлена вниз.
Поскольку вес автомобиля 
равен
то, если мост выпуклый, сила давления автомобиля на него уменьшается по сравнению с тем случаем, когда автомобиль движется по горизонтальному мосту.
Зададим дополнительный вопрос: с какой скоростью 
должен двигаться автомобиль, чтобы сила давления автомобиля на мост равнялась нулю?
Поскольку 
, то
или 
Отсюда
Ответ: 
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 158; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!