Перпендикулярность прямой и плоскости

Вопросы

Таблица умножения от 1 до 10. Квадраты чисел от 1 до 20.

Формулы сокращенного умножения: разность квадратов; квадрат суммы; квадрат разности. Формула разложения квадратного трехчлена на множители.

Линейное уравнение: нахождение корней. Квадратное уравнение. Формула дискриминанта, формула корней. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета.

Определение понятий: дробь, процент, модуль (абсолютная величина) числа.

Алгоритм решения неравенства методом интервалов.

Определение понятия «функция». Определение понятия «график функции». Определение взаимно однозначной функции.

Область определения функции: определение, геометрический смысл. Множество значений функции: определение, геометрический смысл.

Определения понятий

Определение арифметического корня натуральной степени n . Свойства степени свойства корня. Степень с нулевым, отрицательным, дробным показателем.

Определения чётной и нечётной функции. Свойство графика чётной функции. Свойство графика нечётной функции.

Степенная функция. Шесть различных случаев расположения графика степенной функции.

Определение логарифма. Натуральный и десятичный логарифмы, способы их записи. Экспонента. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов.

Показательная и логарифмическая функция: определение, график и его название, монотонность.

Показательно – степенная функция: определение. Ограничение для основания показательно – степенной функции.

Простейшие показательные и логарифмические уравнения. Формулы корней.

Простейшие показательные и логарифмические неравенства. Схемы решения.

Аксиомы стереометрии.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

Сформулируйте Теоремы – признаки: скрещивающихся прямых, параллельности прямой и плоскости, параллельности двух плоскостей, перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности двух плоскостей.

Угол между скрещивающимися прямыми. Линейный угол двугранного угла.

Тетраэдр и его элементы: грани, рёбра, вершины. Изображение тетраэдра. Правильный тетраэдр.

Параллелепипед и его элементы: грани, рёбра, вершины. Изображение параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед, формула его объёма. Куб, формула объёма куба.

Опр. Дробь – это одна или несколько равных частей (долей) единицы.

Опр. Процент – это сотая часть числа.

Опр. Модулем (абсолютной величиной) числа называется само число , если – неотрицательное ( и число, противоположное числу , если – отрицательное ( , обозначается: .

Опр. декартовым (прямым) произведением множеств A и B называется множество упорядоченных пар, где первый элемент принадлежит первому, а второй – второму множеству, обозначается:

A х B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

(вертикальная черта | читается: «При условии, что…»).

Элементами A х B являются упорядоченные пары элементов, первый — из A, второй — из B. Обратите внимание на запись: мы употребляем круглые скобки, когда важен порядок элементов: (2, 3) и (3, 2) — это разные упорядоченные пары. Если же порядок не важен, будем писать фигурные скобки: {2, 3} = {3, 2}, это множество, состоящее из чисел 2 и 3.

Пример. Найдём декартово произведение множеств A = {a, b}, B = {1, 2} A х B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}.

Опр. (бинарным) отношением называется любое подмножество декартова произведения, обозначается R (Relationship – англ.). Подмножество – часть множества, пример: R= {(a, 1), (b, 1)}

Опр. Функция – это отношение, в котором каждому «х» (элементу из первого множества) ставится в соответствие не более одного «у» (элемента из второго множества).

Переменную х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную у — зависимой переменной, или функцией.

Графиком функции y = f( x) называют множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек вида ( x; f( x)). График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.

Опр. Областью определения функции называется множество всех значений, которые может принимать независимая переменная х. Область определения обозначают большой латинской буквой D(у).

Геометрический смысл: D(у) – это проекция графика на ось Ох.

Опр. Множеством значений функции называется множество всех значений, которые может приобретать зависимая переменная у, если х принадлежит области определения. Область значений обозначают большой латинской буквой Е(у).

Геометрический смысл: Е(у) – это проекция графика на ось Оу.

Опр. Арифметическим корнем натуральной степени n, где n ≥2 , из неотрицательного числа , называется такое неотрицательное число , n-ая степень которого равна .

Дополнительно определяют корень нечётной ( ) степени из отрицательного числа (неарифметический): пусть , тогда





Если 2 n – чётное, – любое, то , но т.е. ;

Опр. Логарифмом числа , где по основанию , где >0 и называется показатель степени, в которую нужно возвести число , чтобы получить число . - «Логарифм числа »

Десятичный логарифм:

Натуральный логарифм:

; 144; 169; ; ; ; ; ; 361; .

разность квадратов

квадрат суммы

квадрат разности

Разложение квадратного трехчлена

Квадратное уравнение (КвУр)	Линейное уравнение
Дискриминант: Корни:	Корень:	Корень:

Если , то КвУр - приведённое.

Теорема Виета: если приведённое КвУр имеет действительные корни, то их сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение – свободному члену.

Х₁+Х₂=

Х₁⋅Х₂=

ОЛТ (Основное логарифмическое тождество):

; ;

Полезное свойство:

;

формулы перехода к новому основанию:

;

типы уравнений по способу решения - функции, А, В, С - числа

простейшее

сводящееся к квадратному

однородное I порядка

однородное II порядка

Решаем по формулам корней

Пусть (замена переменной)

Делим на одну из функций. Функция-делитель не равна нулю (проверить!!!)

Делим на квадрат одной из функций. Функция-делитель не равна нулю (проверить!!!)

Графики функций

Показательная функция		Логарифмическая функция


возрастающая	убывающая	возрастающая	убывающая
экспоненциальная кривая		логарифмическая кривая

Простейшие логарифмические и показательные
уравнения: формулы корней		неравенства: схемы решения

Алгоритм решения неравенства методом интервалов. 1.Справа должен быть НОЛЬ 2.Найти точки, в которых f ( x ) не существует. Эти точки исключаются из решения.

3.Найти точки, в которых f ( x )=0.

неравенство

нестрогое

строгое

4.Расставить знаки в промежутках

5.Отметить решение

6. Записать результат

Опр. Функция – чётная, если её область определения симметрична относительно нуля и выполняется соотношение: у(- х)=у(х). Свойство: график чётной функции симметричен относительно оси Оу. Пример: у=х²

Опр. Функция – нечётная, если её область определения симметрична относительно нуля и выполняется соотношение: у(- х)= - у(х). L11 Свойство: график нечётной функции симметричен относительно точки (0;0). Пример: у=х³

Стереометрия изучает фигуры и их свойства в пространстве. Основными неопределяемыми объектами стереометрии являются точки, прямые, плоскости.

Аксиомы стереометрии.

А1.Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки этой прямой принадлежат плоскости.

А3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Теоремы – следствия аксиом.

Т1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, притом только одну.

Т2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, притом только одну.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
параллельны	пересекающиеся	скрещивающиеся

a \|\| b	a b	a b
Опр. лежат в одной плоскости и не пересекаются.	Опр. ровно одна общая точка. См. также Т2	Опр. не лежат в одной плоскости. Т3-признак. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. T 4. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Взаимное расположение прямой и плоскости.
параллельны	пересекающиеся	прямая принадлежит плоскости

a \|\|	a	a
Опр. общих точек нет Т5-признак. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.	Опр. ровно одна общая точка.	См. А2.
	Свойства. 1. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости. 2.Если плоскость проходит через прямую, *параллельную другой плоскости*, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.

Взаимное расположение плоскостей.
пересекающиеся	параллельны
	Опр. Нет общих точек.	Т6-признак. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
См. А3.	Свойства. 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.

Свойства.

1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.

Углы между прямыми

1. Если прямые параллельны, то угол между ними 0⁰.
2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми, т.е. 0°<j≤90°. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол 90⁰).
3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися прямым.

Провести соответственные параллельные прямые данным скрещивающимися прямым можно через любую точку. Иногда удобно выбрать эту точку на одной из данных скрещивающихся прямых и провести через эту точку прямую параллельную другой из скрещивающихся прямых.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

В пространстве перпендикулярными называют не только пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые.

Перпендикулярные прямые a и b обозначают a⊥b.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая перпендикулярна к этой прямой.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в данной плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается a⊥α.

Через любую точку пространства проходит прямая перпендикулярно данной плоскости, притом только одна.

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 17; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!