Следующим этапом статистического изучения вариации является расчет структурных характеристик ряда распределения.
Лекция № 9. Статистическое изучение вариации
План лекции.
Ряды распределения и их графическое изображение.
Структурные средние: мода и медиана.
Показатели вариации.
Ряды распределения и их графическое изображение.
Изменчивость явления в статистическом анализе отображается с помощью целого ряда характеристик, называемых системой показателей вариации.
Первым этапом статистического изучения вариации является построение ряда распределения
В целях упрощения анализа статистических рядов и придания им большей наглядности используют графические представления. Основными видами графического представления статистических рядов являются гистограмма, полигон частостей и полигон накопленных частостей. Для визуального представления можно использовать как частости, так и частоты. Ограничимся рассмотрением частости, поскольку этот параметр более информативен.
Наиболее часто для анализа статистического ряда используется гистограмма, представляющая собой совокупность примыкающих друг к другу прямоугольников, основание каждого из которых равно ширине интервала группировки, а площадь - частости этого интервала.
Гистограмма строится в декартовой (прямоугольной) системе координат следующим образом. По оси абсцисс откладываются отрезки, отображающие интервалы группировки, а затем на каждом из них строится прямоугольник, площадь которого равна частости данного интервала. Для удовлетворения этому требованию высота прямоугольника выбирается равной частному от деления частости интервала на его ширину Hi=fi/hi. В случае, если все интервалы группировки имеют одинаковую ширину, высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частостям. Полная площадь гистограммы равна единице, что следует из способа ее построения. Действительно, площадь каждого из прямоугольников равна частости, а сумма всех частостей - единица.
|
|
|
С увеличением числа экспериментальных данных можно использовать большее количество интервалов, имеющих меньшие ширины. Гистограмма при этом будет все более и более приближаться к некоторой кривой, ограничивающей площадь, равную единице. Эта кривая представляет собой не что иное как график плотности распределения (или, по-другому, плотности вероятности) исследуемой случайной величины. Таким образом, гистограмма является статистическим аналогом плотности распределения.
Другим распространенным способом графического представления статистических рядов является полигон частостей. Полигон частостей отображает зависимость частости от срединных значений интервалов. Полигон частостей строится в декартовой системе координат путем соединения прямыми линиями точек, абсциссы которых равны срединным значениям интервалов, а ординаты - частостям этих интервалов. Полигон частостей может быть получен из гистограммы путем соединения середин верхних сторон прямоугольников гистограммы отрезками прямых.
|
|
|
Полигон частостей может оказаться более удобным и наглядным способом графического представления, чем гистограмма, в том случае, когда признак является непрерывным и его распределение описывается плавной зависимостью.
Полигон накопленных частостей представляет собой зависимость накопленных частостей от значений верхних границ интервалов. Полигон накопленных частостей строится в декартовой системе координат посредством соединения прямыми линиями точек, абсциссы которых равны значениям верхних границ интервалов, а ординаты - накопленным частостям этих интервалов. Полигон накопленных частостей имеет более плавную форму, чем гистограмма или полигон частостей. С увеличением числа опытных данных в выборке и соответственно увеличением числа используемых интервалов полигон накопленных частостей будет приближаться к кривой, являющейся графиком функции распределения исследуемой случайной величины. Таким образом, он является статистическим аналогом функции распределения.
|
|
|
Пример. а). Дан дискретный статистический ряд. Требуется построить полигон относительных частот. б). Дан интервальный статистический ряд. Требуется построить гистограмму относительных частот.
а)
значения вариант
| 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
частоты
| 1 | 5 | 6 | 5 | 3 |
б)
| границы интервалов | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 |
| частоты | 1 | 2 | 7 | 18 | 12 |
Решение. а) Для построения полигона частот найдем относительные частоты по формуле 
, где 
.
Результат запишем в таблицу
|
| 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
| 1 | 5 | 6 | 5 | 3 | 
|
|
| 1/20=0,05 | 5/20=0,25 | 6/20=0,3 | 5/20=0,25 | 3/20=0,15 | 
|
Строим ломаную с координатами 
(рис. 9.1).
|
 |  | |||||||||||
 | ||||||||||||
 | ||||||||||||
 |  |  |  | | ||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 9.1 Полигон распределения
Замечание. Обычно при построении полигона масштаб по осям берется неодинаковым.
б) Для построения гистограммы относительных частот найдем относительные частоты по формуле , высоты прямоугольников ¾ по формуле 
, где 
, 
. Величина характеризует плотность попадания вариант в i-ый интервал. Результаты удобно записать в таблицу.
|
|
|
| 10 - 20 | 20 - 30 | 30 - 40 | 40 - 50 | 50 - 60 | |
|
| 1 | 2 | 7 | 18 | 12 | 
|
| 1/40 = 0,025 | 2/40 = 0,05 | 7/40 = 0,175 | 18/40 = 0,45 | 12/40 = 0,3 |
|
| 0,025/10 = 0,0025 | 0,05/10 = 0,005 | 0,175/10 = 0,0175 | 0,45/10 = 0,045 | 0,3/10 = 0,03 |
Строим гистограмму (рис.9.2).
|
 |
Рис. 9.2 Гистограмма распределения
Следующим этапом статистического изучения вариации является расчет структурных характеристик ряда распределения.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 33; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!