Методы свертки системы показателей эффективности
Лекция 10. Решение задач векторной оптимизации
В отличие от однокритериальных задач, решение которых однозначно определяет оптимальную стратегию, в задачах с векторным критерием невозможно определить, какое из решений действительно (объективно) оптимально. Решение может превосходить альтернативные по одним критериям и уступать им по другим.
Сложность решения многокритериальных задач связана с обоснованностью выбора оптимального решения. Любое решение из числа недоминируемых, то есть неулучшаемых одновременно по всем частным критериям, может оказаться наилучшим для конкретного ЛПР в конкретных условиях. В многокритериальных задачах не имеет смысла говорить о наилучшем решении вообще.
Если имеется несколько сторон, заинтересованных в решении проблемы, то каждая из них стремится достичь наибольшего значения “своего” показателя эффективности. Так как эффективность решения каждой стороны зависит от решений всех остальных, то задача имеет конфликтный характер.
Сложность экономических систем требует введения локального и глобального критериев оптимальности. Глобальный критерий представляется либо в виде скалярной целевой функции, отражающей многообразие целей, либо в виде векторнойфункции, т.е. набора несводимых друг к другу локальных критериев.
При планировании возникает проблема согласования критериев. Целью многокритериальной или векторной оптимизации является отыскание приемлемых решений по нескольким критериям.
|
|
|
Можно выделить четыре типа многокритериальных задач.
· Оптимизация на множестве целей, каждая из которых должна быть учтена при выборе оптимального решения. Например - задача составления плана работы предприятия, в которой критериями служит ряд экономических показателей (валовый объем, прибыль, себестоимость, энергозатраты и т.д.).
· Оптимизация на множестве объектов, качество функционирования каждого из которых оценивается самостоятельным критерием. Например, задача распределения ресурсов между несколькими предприятиями. Для каждого из них критерием выступает степень удовлетворения потребности в ресурсе. Для планирующего органа критерием является вектор локальных приоритетов предприятий.
· Оптимизация на множестве условий функционирования. Задан спектр условий работы объекта, и для каждого из условий качество функционирования оценивается частным критерием (например, “жесткий” или “нормальный” режим работы).
· Оптимизация на множестве этапов функционирования. Рассматривается работа системы в течение интервала времени из нескольких этапов. Качество управления на каждом этапе оценивается частным критерием, а на множестве этапов – общим векторным критерием. Пример - распределение квартального плана цеха по декадам. В каждой декаде необходимо обеспечить такую загрузку, чтобы был получен приемлемый результат за весь период планирования.
|
|
|
При решении векторных задач приходится решать ряд специфических проблем.
1. Проблема нормализации. Если локальные критерии имеют различные единицы и масштабы измерения, то их непосредственное сравнение невозможно. Приведение критериев к единому масштабу и безразмерному виду называется нормированием. Наиболее распространенный способ нормирования - замена абсолютных значений критериев относительными.
2. Проблема учета приоритета критериев возникает в случае их различной значимости.
Для обеспечения однородности частных критериев обычно используют приемы эквивалентного преобразования неоднородных частных критериев к единому, безразмерному виду, например:
· Если известны эталонные значения показателей 
(например, международный стандарт), то используется преобразование:
· Если известны максимально возможные значения показателей, то
|
|
|
· Если известны диапазоны изменения показателей, то 
или
Кратко рассмотрим некоторые фундаментальные понятия теории принятия решений в контексте многокритериальных задач.
Принцип оптимальности Парето
Пусть решения ПС оцениваются по ряду показателей 
(под 
может пониматься характеристика производственного процесса, показатель работы предприятия и т.п.).
Для наглядности можно представлять, что в выборе решения участвуют 
сторон, каждая из которых заинтересована в максимизации “своего” показателя. При этом сторона 
может выбрать любое допустимое для нее решение 
.
Важно, что решение, выбранное этой стороной, влияет на эффективность решений всех остальных, т.е. показатель эффективности любой стороны зависит от совокупности допустимых решений 
всех сторон
.
Решение 
стороны 
предпочтительнее ее решения 
, если
.
Учитывая наличие 
сторон, самостоятельно выбирающих свои решения, можно сформулировать принцип оптимальности Парето:
Если для всех сторон допустимые решения 
предпочтительнее решений 
, то последние не будут приняты (т.е. будут единогласно отвергнуты).
|
|
|
Как правило, совокупность решений 
оказывается неединственной и образует некоторое множество 
решений, оптимальных по Парето. Любой набор решений из этого множества не может быть улучшен сразу по всем показателям 
. Поэтому оптимальные по Парето решения называются также неулучшаемыми. Изменением любого решения невозможно добиться увеличения некоторого показателя эффективности, не уменьшая при этом хотя бы одного из остальных. Выбор конкретного решения из множества Парето может проводиться лишь на основе компромисса и переговоров всех сторон.
Мы считали, что в выборе решения участвуют различных сторон, однако рассмотренные понятия и вся формулировка аналогичны для случая, когда выбор решения 
осуществляет одна сторона, руководствующаяся не единственным, а некоторой совокупностью показателей эффективности. Принятие какого-либо конкретного решения из множества Парето является при этом прерогативой ЛПР и осуществляется, как правило, на основе его субъективных предпочтений.
Пример определения эффективных по Парето решений в случае двух критериев 
(будем считать их нужно максимизировать). Пусть найдено множество возможных решений 
. Каждому из них соответствуют определенные значения показателей ; будем изображать решение точкой на плоскости с координатами , и пронумеруем точки в соответствии с номерами решений (Рис. 1)
|
Видно, что эффективными (недоминируемыми) являются лишь решения 
. Для любого другого решения существует хотя бы одно доминирующее, для которого либо W1, либо W2, либо оба больше, чем для данного. После формирования эффективных по Парето решений, выбор “наилучшего” производится в пределах этого множества. Например, решение u11 является наилучшим по критерию W1, u2 – наилучшим по критерию W2, а остальные два решения характеризуются “хорошим” сочетанием обоих критериев. Выбор - за ЛПР.
При большем числе показателей Wi множество эффективных решений строится аналогично, хотя при n>3 геометрическая интерпретация теряет наглядность.
Обзор методов решения задач векторной оптимизации
Локальные критерии часто конфликтуют. Например, при организации работы предприятия необходимо добиться максимальных значений валового объема продукции, чистого дохода, производительности труда, но в то же время свести к минимуму себестоимость продукции и т.д.
Решение задач векторной оптимизации - сложный процесс, при котором могут применяться различные расчетные схемы и алгоритмы, например:
· методы, основанные на свертывании системы показателей эффективности;
· методы, использующие ограничения на критерии;
· методы целевого программирования;
· методы, в основе которых лежат человеко-машинные процедуры принятия решений (интерактивное программирование).
Для ряда методов вводится функция предпочтения (полезности), и альтернатива считается предпочтительнее другой, если ей соответствует большее значение этой функции.
Приведем краткий обзор методов векторной оптимизации.
Методы свертки системы показателей эффективности
В методах этого типа из совокупности локальных критериев формируется один. Наиболее часто используемым методом этого типа является метод линейной комбинации локальных (частных) критериев.
Пусть экономическая или техническая система характеризуется набором локальных критериев (целевых функций) 
и известен вектор весовых коэффициентов (вектор приоритетов) 
, характеризующий важности соответствующих критериев, причем
В этом случае функция предпочтения 
выбирается в виде
и задача векторной оптимизации сводится к обычной задаче скалярной оптимизации. При решении данной задачи учитывается система функций-ограничений для каждой из целевых функций 
.
Достаточно субъективным аспектом при решении данных задач является выбор значений весовых коэффициентов. Существует ряд способов их определения, например, с помощью экспертных оценок.
Недостатком метода свертки является то, что решение, обладающее оптимальным значением глобального критерия, может быть неудовлетворительным по одному или нескольким частным показателям. Это объясняется тем, что при достижении максимума функции предпочтения недопустимо малые значения некоторых показателей 
, компенсируются большими значениями остальных.
Пример 1.
Рассмотрим следующую задачу векторной оптимизации
;
где целевые функции и соответствующие им ограничения имеют вид:
Если, например, выбраны значения 
, то решение дает 
Изменив значения параметров (т.е. изменив относительную важность частных критериев эффективности), например, полагая 
, получим другое оптимальное значение исследуемой функции 
Таким образом, очевидна чувствительность значений оптимизируемой функции к вариациям весовых коэффициентов.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 94; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!