Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной.
Обратная матрица может быть найдена по формуле 
, где 
матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы 
и транспонированная. Матрица 
называется присоединенной для матрицы .
Пример 1. Найти матрицу обратную матрице 
.
Решение. Сначала проверяем, является ли матрица невырожденной: 
матрица невырожденная и для нее существует обратная.
Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы :
; 
;
; 
;
; 
;
; 
; 
.
Составим матрицу , учитывая, что она транспонированная: 
.
Получим обратную матрицу:
.
Проверка: 
.
Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы являются следующие:
1) отбрасывание нулевой строки (столбца);
2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;
3) перестановка строк (столбцов) матрицы;
4) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число.
Две матрицы 
и 
называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается 
~ .
Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
Справа к данной невырожденной матрице приписать единичную матрицу 
того же порядка, что и матрица : 
.
Далее с помощью элементарных преобразований над строками объединенной матрицы 
привести матрицу к единичной матрице. Тогда на месте матрицы окажется обратная матрица 
, то есть будет получена матрица вида: 
.
Пример 2. 
Для матрицы из предыдущего примера найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований.
Решение. Так как 
обратная матрица существует.
Составим объединенную матрицу : 
.
Получим под главной диагональю нули: умножим все элементы первой строки на “-1” и прибавим их к соответствующим элементам третьей строки ( 
):
Поменяем местами вторую и третью строки: 
.
Умножим вторую строку на “-2” и прибавим ее к третьей строке ( 
):
.
Разделим третью строку на “-3” ( 
): 
.
Под главной диагональю получили нули на главной диагонали единицы.
Теперь получим нули над главной диагональю: умножим третью строку на “-1” и прибавим ее ко второй строке ( 
); умножим третью строку на “-2” и прибавим ее к первой строке ( 
):
.
Прибавим вторую строку к первой строке ( 
):
= 
.
Таким образом, получена матрица: 
.
Следовательно, обратная матрица: 
.
Полученную матрицу можно сравнить с матрицей из предыдущего примера рассчитанную другим способом (они совпадают).
Ранг матрицы
Пусть дана прямоугольная матрица размера 
: 
. Выделим в этой матрице 
произвольных столбцов, где ( 
“ка меньше либо равно меньшему из чисел 
или 
”).
Определитель - го (“катого”) порядка, составленный из элементов матрицы , расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором - го порядка матрицы .
Элементы матрицы являются минорами 1-го порядка.
Рассмотрим всевозможные миноры матрицы , отличные от нуля.
Рангом матрицы называется наивысший порядок миноров данной матрицы, отличных от нуля.
Обозначение: 
или 
.
Свойства ранга матрицы:
1) если матрица имеет размеры , то 
;
2) если все элементы матрицы равны нулю, то только в этом случае 
;
3) если – квадратная матрица – го порядка, то 
только если 
.
Базисным называется минор, порядок которого определяет ранг матрицы.
У матрицы может быть несколько базисных миноров.
Если в матрице имеется минор 
– го (“эртого”) порядка, отличный от нуля, а все ее миноры 
– го (“эрплюспервого”) порядка, окаймляющие этот минор (то есть содержащие минор – го порядка целиком внутри себя), равны нулю, то ранг матрицы равен и данный минор – го порядка является базисным.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 22; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!