Основные понятия и определения.
Парная регрессия – уравнение связи двух переменных y и x:
где y – зависимая переменная (результативный признак);
x – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).
Различают линейные и нелинейные регрессии. Линейная регрессия: y = a + bx + e . Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:
· полиномы разных степеней y = a + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 + e ;
· равносторонняя гипербола 
.
Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:
· степенная y = a × xb × e ;
· показательная y = a × bx × e;
· экспоненциальная y = e a + b × x × e .
Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от теоретических 
минимальна, т.е.
.
Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b:
Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы: 
Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции r xy для линейной регрессии (-1 £ rxy £1):
|
|
|
и индекс корреляции ρ xy – для линейной регрессии (0 £ ρ xy £1):
Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.
Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических: 
Допустимый предел значений 
– не более 8-10%.
Средний коэффициент эластичности 
показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения:
Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной: 
где 
- общая сумма квадратов отклонений;
- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);
- остаточная сумма квадратов отклонений.
Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака y характеризует коэффициент (индекс) детерминации R 2: 
Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.
F-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы H 0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F факт и критического (табличного) F табл значений F-критерия Фишера. F факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:
|
|
|
где n – число единиц совокупности; m – число параметров при переменных x.
F табл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости a. Уровень значимости a – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно a принимается равной 0,05 или 0,01.
Если F табл < F факт, то H 0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F табл > F факт, то H 0 – гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, надежность уравнения регрессии.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза H 0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:
|
|
|
Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам: 
Если t табл < t фак, то H 0 отклоняется, т.е. a, b и r xy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x. Если t табл > t фак, гипотеза H 0 не отклоняется и признается случайная природа формирования a, b или r xy.
Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку D для каждого показателя: 
Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:
Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.
Прогнозное значение y p определяется путем подстановки в уравнение регрессии 
соответствующего (прогнозного) x p. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза 
где 
, и строится доверительный интервал прогноза:
где 
Решение типовых задач.
|
|
|
Пример 1. По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков (табл. 2.1). Требуется:
1. Для характеристики зависимости y от x рассчитать параметры линейной функции.
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.
Таблица 2.1
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 151; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!