Вузькосмуговий випадковий процес

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Важливу роль в радіотехніці грає особливий клас випадкових процесів, спектр яких зосереджений у відносно вузькій смузі поблизу деякої частоти ω₀. Розглянемо статистичні властивості таких процесів.

Отже, нехай х(t) - випадковий процес, спектр густини потужності якого має вузькосмуговий характер (рис. 6.4). Також вважатимемо цей випадковий процес стаціонарним, нормальним і центрованим.

Рис. 6.4. Спектральна густина потужності вузькосмугового випадкового процесу

Згідно з теоремою Вінера-Хинчина, кореляційна функція і спектральна густина потужності випадкового процесу пов'язані одна з одною перетворенням Фур'є. Вузькосмуговий характер спектру говорить про те, що кореляційна функція R_x(x) має вигляд вузькосмугового радіосигналу:

R_x(τ) = R₀(τ) cos[ω₀τ + φ₀(τ)],

де R₀(τ) і φ₀(τ) – змінюються повільно (в порівнянні з функцією cos(ω₀τ)). Вузькосмуговий спектр і осцилюючий характер кореляційної функції означають, що окремі реалізації вузькосмугового випадкового процесу є квазігармонійними коливаннями

x(t) = A(t) cos[ω₀t+φ(t)],

у яких огинаюча A(t), як і початкова фаза φ(t) є випадковими функціями, що повільно в порівнянні з cos(ω₀t) змінюються в часі. Для того, щоб визначити статистичні параметри обвідної і початкової фази, розглянемо комплексний аналітичний сигнал Z(t), який відповідає дійсному випадковому процесу x(t)

Z(t) = x(t) + jx_┴(t)

де x_┴(t) – спряжений (зв’язаний) випадковий процес, реалізації якого пов'язані з реалізаціями процесу x(t), так званим перетворенням Гільберта

За допомогою спряженого сигналу можна визначити миттєві значення огинаючої і повної фази вузькосмугового сигналу:

Розглянемо статистичні властивості зв'язаного процесу. По-перше, визначимо його математичне сподівання, застосувавши усереднювання до формули перетворення Гільберта і потім помінявши усереднювання і інтегрування місцями:

Результат дорівнює нулю, оскільки процес х(t) є центрованим.

Далі, оскільки процес х(t) нормальний, а перетворення Гільберта є лінійним інтегральним перетворенням, то нормальним буде і зв'язаний процес x_┴(t).

З властивостей перетворення Гільберта випливає, що спектри конкретних реалізацій процесів х (t) й x _┴ (t) пов'язані наступним чином:

звідки видно, що енергетичні спектри реалізацій процесів х(t) й x_┴(t) збігаються, а отже, збігаються і спектральні густини потужностей цих процесів: . Кореляційні функції пов'язані зі спектрами густини потужності оберненим перетворенням Фур'є, тому вони теж рівні: .

Нам залишилося з'ясувати, чи є статистичний зв'язок між процесами х(t) і x_┴(t). Обмежимося при цьому розрахунком кореляції між ними в співпадаючі моменти часу, тобто обчислимо :

Далі, як і раніше, внесемо операцію статистичного усереднення під знак інтегралу, а потім використовуємо заміну змінної :

Результат інтегрування дорівнює нулю, оскільки є парною функцією, а весь підінтегральний вираз, отже, - непарної. Таким чином, процеси х(t) і x_┴(t) в співпадаючі моменти часу некорельовані. Оскільки вони, крім того, є нормальними, то з некорельованості витікає статистична незалежність.

Література

1. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко — СПб.: Питер, 2002. — 608 с: ил.. (Электронный ресурс)

2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и связь, 1986. – 512 с.

3. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: «Высшая школа» 2003.

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 24; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!