Другий випадок – дійсна форма
Деяка незручність синусно-косинусної форми ряду Фур'є полягає в тому, що для кожного значення індексу підсумовування i (тобто для кожної гармоніки з частотою ωi=iω1 у формулі фігурують два доданки - синусний і косинусний. Скориставшись формулами тригонометричних перетворень, суму цих двох доданків можна трансформувати в косинус тієї ж частоти з іншою амплітудою і деякою початковою фазою 
:
.
Довідка. 
, де
, 
.
Якщо s(t) є парною функцією, фази можуть набувати тільки значень 0 і π, а якщо s(t) - функція непарна, то можливі значення для фази рівні ±π/2.
Третій випадок – комплексна форма
Ця форма представлення ряду Фур'є є, мабуть, найбільш вживаною в радіотехніці. Вона виходить з речової форми представлення косинуса у вигляді напівсуми комплексних експонент cos x = (ejx + e-jx)/2, sin x = (ejx -
- e-jx)/2j (таке представлення витікає з формули Ейлера еjх = cos x+j sin х).
Застосувавши це перетворення до дійсної форми ряду Фур'є, отримаємо суми комплексних експонент з додатними і від’ємними показниками степені
Далі трактуватимемо експоненти зі знаком "мінус" в показнику як члени ряду з від’ємними номерами. У рамках цього ж загального підходу постійний доданок а0/2 стане членом ряду з нульовим номером. В результаті матимемо комплексну форму запису ряду Фур'є (зворотне перетворення Фур'є)
Система ортонормованих базисних функцій має вигляд 
, що можна безпосередньо перевірити
|
|
|
Комплексні коефіцієнти ряду пов'язані з амплітудами A і і фазами , які є в дійсній формі запису ряду Фур'є, наступними співвідношеннями:
, 
, 
.
Нескладно виглядають і формули зв'язку 
з коефіцієнтами аі і bi синусно-косинусної форми ряду Фур'є, оскільки та :
; 
; 
.
Звідси отримаємо формулу для безпосереднього розрахунку коефіцієнтів ряду Фур'є в комплексній формі (пряме перетворення Фур’є)
° 
.
оскільки е-j х = cos x - j sin х.
Якщо s(t) є парною функцією, коефіцієнти ряду будуть дійсними, а якщо s(t) - функція непарна, коефіцієнти ряду виявляться чисто уявними.
Сукупність амплітуд гармонік ряду Фур'є часто називають амплітудним спектром, а сукупність їх фаз - фазовим спектром. Ці поняття не слід плутати з амплитудно- і фазочастотными характеристиками, які відносяться не до сигналів, а до ланцюгів.
Якщо аналізований сигнал s(t) є дійсним, то його амплітудний і фазовий спектри мають симетрію: 
, 
, 
.
Згідно до теореми Парсеваля
,
якщо інтеграл у лівій частині рівняння існує.
На кожному відкритому проміжку, на якому 
і 
кусочно-неперервні у точці розриву функції ряд Фур'є сходиться до напівсуми правої і лівої границь
,
де s(t) - початковий сигнал, s'(t) - сума ряду Фур'є для нього.
|
|
|
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 30; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!