Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків
Нехай функція має частинні похідні в усіх точках множини . Візьмемо будь-яку точку ; у цій точці існують частинні похідні і , які залежать від і , тобто вони є функції двох змінних. Отже, можна ставити питання про знаходження їхніх частинних похідних. Якщо вони існують, то називаються похідними другого порядку і позначаються так:
або ,
або ,
або ,
або .
Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих порядків, наприклад:
, .
Означення 7. Диференціалом другого порядку від функції називається диференціал від її повного диференціала першого порядку, тобто .
Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків
..........
Приклад. Знайти , якщо .
Приклад. Знайти для функції
Приклад. Знайти і для функції .
, ,
, .
У попередньому прикладі ми дістали, що . Виявляється, що ця рівність виконується в багатьох випадках, що випливає з такої теореми.
Теорема 6 . Якщо функція визначена в області D і в цій області існують перші похідні та , а також другі мішані похідні , , які до того ж як функції від х і у неперервні в точці , то в цій точці .
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 25; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!