Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків
Нехай функція 
має частинні похідні в усіх точках множини 
. Візьмемо будь-яку точку 
; у цій точці існують частинні похідні 
і 
, які залежать від 
і 
, тобто вони є функції двох змінних. Отже, можна ставити питання про знаходження їхніх частинних похідних. Якщо вони існують, то називаються похідними другого порядку і позначаються так:
або 
,
або 
,
або 
,
або 
.
Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих порядків, наприклад:
, 
.
Означення 7. Диференціалом другого порядку від функції називається диференціал від її повного диференціала першого порядку, тобто 
.
Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків
..........
Приклад. Знайти 
, якщо 
.
Приклад. Знайти 
для функції 
Приклад. Знайти 
і 
для функції 
.
, 
,
, 
.
У попередньому прикладі ми дістали, що 
. Виявляється, що ця рівність виконується в багатьох випадках, що випливає з такої теореми.
Теорема 6 . Якщо функція 
визначена в області D і в цій області існують перші похідні 
та 
, а також другі мішані похідні 
, 
, які до того ж як функції від х і у неперервні в точці 
, то в цій точці 
.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 27; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!