Диференціювання складної функції
Теорема 4. Нехай на множині D визначена складна фун кція , де , і нехай функції , мають у деякому околі точки неперервні частинні похідні, а функція - неперервні частинні похідні в деякому околі точки , де , . Тоді складна функція диференційовна в точці , причому
, .
Приклад. Знайти і для функції .
Маємо де .
Тоді , , , , , .
Таким чином, , , або після підставляння виразів u і v дістанемо , .
Дотична площина та нормаль
Якщо функція диференційовна в точці , то виконується рівність
або
Узявши в цій наближеній рівності , , дістанемо:
(1)
На формулі (1) ґрунтується алгоритм використання диференціала для наближених обчислень.
Крім того, якщо в рівності (1) взяти , , дістанемо
Це рівняння дотичної площини, що проходить через точку .
Якщо поверхню задано у просторі рівнянням , то рівняння дотичної площини до поверхні в точці має вигляд:
, (2)
де , , .
Нормаль до поверхні в точці - це пряма, що проходить через точку і перпендикулярна до дотичної площини. Отже, її рівняння
.
Похідна за напрямом. Градієнт
Означення 5 . Нехай функція визначена в деякому околі точки ; — деякий промінь з початком у точці ; — точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається (рис. 5.19); — довжина відрізка . Границя , якщо вона існує, називається похідною функції за напрямом у точці і позначається .
|
|
Рис. 2
Зокрема, є похідна функції за додатним напрямом осі Ох, а — похідна функції за додатним напрямом осі Оу.
Похідна за напрямом характеризує швидкість змінювання функції у точці за напрямом .
Теорема 5. Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, тоді в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом , причому
,
де і — значення частинних похідних функції у точці .
Приклад. Знайти похідну функції у точці (1; 1) за напрямом .
Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці (1; 1) функції
, .
Тоді за формулою похідної за напрямом дістанемо:
.
Означення 6 . Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання функції у точці , називаєтьсяградієнтом функції у цій точці і позначається ( — одиничні орти):
Аналогічно для функції трьох змінних похідна за напрямом подається у вигляді:
Для функції трьох змінних градієнт у точці визначається так:
де — одиничні орти і обчислені в точці .
Похідна за напрямом функції та градієнт пов’язані співвідношенням
Приклад. Знайти градієнт функції у точці (1; 2; –1).
Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці (1; 2; –1):
, ,
.
Тоді .
Приклад. Знайти точки, в яких модуль градієнта функції дорівнює 2.
|
|
Знайдемо і :
, .
Модуль градієнта дорівнює 2 в деякій точці :
.
Отже, , тобто в точках кола з центром у точці (0; 0) і радіусом модуль градієнта заданої функції дорівнює 2.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!