Неперервність функції двох змінних

Означення 13 .Функція називається неперервною в точці , якщо .

Означення 14 . Функція називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Приклад. Розглянемо функцію двох незалежних змінних

Ця функція має розрив у точці (0; 0), бо в точці для функції границі не існує.

Тут ми спостерігаємо цікаве явище. Функція, що розглядається, не є неперервною в точці (0; 0) по двох змінних водночас, але є неперервною по змінних x та y окремо.

Приклад. Точки розриву можуть бути не тільки ізольованими, як у попередньому прикладі, а й заповнювати лінії, поверхні і т. п. Так, функції двох змінних , мають розриви: перша — прямі , друга — окіл .

Для функції трьох змінних , розриви заповнюють у першому випадку гіперболічний параболоїд , а в другому - конус .

Означення 14. Нехай функція визначена на множині Е, а змінні x і y, у свою чергу, залежать від змінних u та v і , , де обидві функції та визначені на множині D. Якщо для будь-якого значення , такі, що (рис. 12), то кажуть, що на множині D визначена складна функція , де , ; x, y — проміжні змінні, u, v — незалежні змінні.

Рис. 12.

Приклад. Функція , де , — складна функція. Вона визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді .

Означення 15. Функцію , яка визначена на множині називають неперервною по множині в точці , якщо .

Теорема 6. Нехай на множині D визначено складну функ цію , де , , і нехай функції , неперервні в точці , а функція неперервна в точці , де , . Тоді складна функція неперервна в точці .

7. Властивості неперервної функції двох змінних

Теорема 7. Якщо функція неперервна в точці, то вона обмежена деяким околом цієї точки.

Теорема 8. Якщо функції та неперервні в точці , то в цій точці будуть неперервними , , при .

Теорема 9. Якщо функція неперервна на замкненій обмеженій множині, то вона обмежена на цій множині.

Теорема 10. Якщо функція неперервна на замкненій обмеженій множині, то серед її значень на цій множині є як найменші, так і найбільші.

Теорема 11 (про нуль неперервної функції). Нехай функ ція неперервна на зв’язній множині D і набуває у двох точках А і В цієї множини значень різних знаків. Тоді у множині D знайдеться така точка, що в ній функція перетворюється на нуль.

Теорема 12 (про проміжне значення). Нехай функція неперервна на зв’язаній множині D й у двох будь-яких точках А та В цієї множини набуває нерівних значень та . Тоді на цій множині вона набуває будь-яких значень , яке лежить між і , тобто існує така точка , що .

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 5; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!