Знаходження області визначення функції двох змінних
ЛЕКЦІЯ 21. Основні поняття функції багатьох змінних
ПЛАН
1. Множини точок на площині та в n-вимірному просторі
2. Означення функції багатьох змінних
3. Способи задання функції
4. Знаходження області визначення функції двох змінних
5. Границя функції двох змінних
Множини точок на площині та в n-вимірному просторі
Упорядкованій парі чисел 
на координатній площині відповідає одна точка 
. Аналогічно, в n-вимірному просторі n упорядкованим дійсним числам відповідає одна точка 
, де числа 
будуть координатами
цієї точки. З метою скорочення запису далі розглядатимемо множини точок на площині, але подані далі означення можна вважати правильними і в разі n-вимірного простору.
Означення 1 . Множина точок називається зв’язною, якщо будь-які її дві точки можна сполучити ламаною лінією так, щоб усі точки цієї лінії належали цій множині.
Приклад. На рис. 1 буде зв’язна множина, а а на рис. 2 - не зв’язна.
Рис.1 Рис.2
Означення 2 . Множина точок називається обмеженою, якщо всі її точки належать множині точок круга скінченного радіуса.
Приклад. На рис. 3 маємо обмежену множину, на рис. 4 - необмежену.
Рис.3 Рис.4
Означення 3 . Множина точок, координати яких задовольняють нерівність
(1)
називається d-околом точки 
.
Зауваження . У випадку двовимірного простору нерівність (1) можна подати у вигляді
(2)
|
Рис.3 |
Вона означає внутрішність круга з радіусом 
та з центром у точці 
(рис. 3).
Якщо з d-околу точки 
вилучимо саму точку , дістанемо виколотий d-окіл точки .
Означення 4 . Точка називається внутрішньою для множини точок, якщо вона належить цій множині разом з деяким своїм d-околом, і зовнішньою, якщо існує її окіл з точок, жодна з яких не належить цій множині.
Означення 5 . Зв’язна множина, яка складається тільки з внутрішніх точок, називається відкритою областю (або просто областю).
Область позначатимемо:
.
(Читаємо: область D є множина точок площини з координатами (х; у), таких що 
У частинному випадку, коли D — прямокутник, область позначатимемо
.
Приклад. На рис. 4 множина точок D — область:
.
Означення 6 . Точка називається межовою для області, якщо в будь-якому її d-околі існують точки, що не належать області і належать їй.
Означення 7. Множина межових точок називається межею області.
Означення 8 . Область, об’єднана зі своєю межею, називається замкненою областю.
Приклад. На рис.5 
— замкнена область, 
— рівняння межі області, К — внутрішня, L — зовнішня, М — межова точка.
Означення 9 . Множина називається опуклою, якщо будь-які точки множини можна зв’язати відрізком, який буде належати цій множині.
Рис. 4 Рис. 5
2. Означення функції багатьох змінних
Означення 10 . Якщо кожній точці 
множини D n-вимірного простору поставлено у відповідність за деяким законом одне і тільки одне дійсне число 
, то кажуть, що в області 
задано функцію n незалежних змінних 
. При цьому D називають областю визначення функції, Е — областю значень функції.
Згідно з означенням функцію 
можна розглядати як функцію точки і записувати 
.
Зокрема, при n = 2 говорять, що задана функція двох змінних 
, якщо кожній парі 
на площині поставлено у відповідність тільки одне число z. Для прикладних питань економіки має значення розгляд функції двох або трьох незалежних змінних. Тому в подальшому більше уваги звертатимемо на ці
функції.
Наведемо приклади функції двох змінних.
Приклад. Витратами на виробництво даного виробу при даній техніці виробництва є функція матеріальних витрат x і витрат на оплату робочої сили y: 
.
Це є функція витрат виробництва.
Приклад. Розглянемо функцію двох незалежних змінних K, L, яка називається функцією виробництва, або функцією Кобба—Дугласа, де K — кількість капіталу, L — кількість праці, яку вкладено у виробництво 
.
Приклад. Припустимо, що предметами споживання будуть два товари А та В, ціни яких відповідно становлять p1 та p2. Якщо ціни інших товарів сталі, а прибуток споживачів та структура споживань не змінюються, то попит та пропозиція кожного з товарів залежить від їх цін.
Маємо функцію попиту на товар А: 
; функцію попиту на товар В: 
; функцію пропозиції товару А: 
; функцію пропозиції товару В: 
.
Способи задання функції
Як і функцію однієї змінної, функції двох змінних можна зобразити:
— аналітично (у вигляді формули), наприклад:
,
— таблично (у вигляді таблиці), наприклад:
 z
| у х | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 |
таблицею задана функція 
;
— графічно:
Для графічного зображення функції двох змінних використовуємо систему координат Оxyz у тривимірному просторі (рис. 6).
Рис. 6
Кожній парі чисел x та y відповідає точка 
площини Оxy. У точці проводимо пряму, перпендикулярну до площини Оxy, та позначаємо на ній відповідне значення функції z; дістаємо в просторі точку Q з координатами 
, яка позначається символом 
. Точки Q, які відповідають різним значенням незалежних змінних, утворюють певну поверхню у просторі. Така поверхня є графічним зображенням функції 
.
Зауваження . На практиці побудувати графік функції важко, адже йдеться про зображення на площині просторової фігури, а це не завжди вдається.
Приклад. Графічне зображення функції 
є площина, яка проходить через точки (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0) (рис. 7).
Рис. 7 Рис. 8.
Графічне зображення функції 
є півкуля (рис. 8).
Існує й інший спосіб геометричного зображення функції двох змінних — зображення за допомогою ліній рівня.
Означення 11 . Лінією рівня називається множина всіх точок площини, в яких функція набуває однакових значень.
Рівняння ліній рівня записують у вигляді 
.
Накресливши кілька ліній рівня та зазначивши, яких значень набуває на них функція, дістанемо наближене уявлення про зміну функції. Елементарний приклад зображення функції за допомогою ліній рівня є зображення рельєфу місцевості на географічній карті. Висота місцевості над рівнем моря є функцією координат точки земної поверхні. За лініями рівня висоти, нанесеними на карту, легко уявити собі рельєф даної місцевості.
Знаходження області визначення функції двох змінних
Покажемо алгоритм знаходження області визначення функції двох змінних на прикладі.
Приклад. Знайти область визначення функції 
та надати їй геометричну інтерпретацію.
1. Знайдемо область визначення функції аналітично
.
2. Нерівності в D замінюємо рівностями і будуємо лінії, що їм відповідають на координатній площині, а саме: 
; 
.
Рис. 9
3. Визначаємо за допомогою контрольних точок 
, 
розміщення D на площині і заштриховуємо її (рис. 9).
Границя функції двох змінних
Означення 12. Число B називається границею функції при 
, 
, якщо для будь-якого 
існує число 
таке, що при виконанні нерівності 
виконується нерівність 
і позначається 
або 
.
Зауваження . Для функції багатьох змінних справедливі теореми про границю суми, добутку та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї незалежної змінної.
Наведемо формулювання відповідних теорем.
Теорема 1 . Якщо функція 
має границю при 
, то вона єдина.
Теорема 2 . Якщо функція 
має границю при , то вона обмежена в деякому околі точки 
.
Теорема 3 . Якщо 
, 
і в деякому околі точки виконується нерівність 
, то 
.
Теорема 4 . Нехай 
, 
. Тоді:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Приклад. Обчислити 
.
Згідно з теоремами про арифметичні операції з границями, а також те, що границя сталої дорівнює сталій, тобто 
, 
, маємо
.
Приклад. Обчислити 
.
Візьмемо 
. Тоді з того, що 
випливає 
і задану границю можна переписати у вигляді 
. При 
маємо 
; 
, тобто 
. Таким чином, 
.
Зауваження . Між поняттями границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних є багато спільного, але є й принципова відмінність, яка робить поняття границі функції кількох змінних суттєво більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.
Річ у тім, що коли 
( 
— функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі дорівнюють b. Правильним є й обернене: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в точці.
Для функції двох змінних наближатися до точки 
можна нескінченною множиною способів: і справа, і зліва, і зверху, і знизу, і під кутом 30° до осі Ох тощо (рис. 10).
Рис. 10 Рис. 11
Більше того, до точки можна наближатися не тільки по прямій, а й по більш складних траєкторіях (рис. 11).
Очевидно, що рівність 
правильна тоді й тільки тоді, коли границя дорівнює b при наближенні до точки по будь-якій траєкторії. Це суттєво більш обмежене, ніж збіг двох односторонніх границь у випадку функції однієї змінної.
Приклад. Довести, що 
не існує.
Будемо наближатися до точки (0; 0) по прямій 
. Якщо , тоді 
.
Зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої, наприклад:
при 
границя дорівнює 
.
при 
границя дорівнює 
і т. п.
Таким чином, якщо наближатися до точки (0; 0) з різних напрямків, то дістанемо різні значення, тобто границя 
не існує.
Зауваження. Нехай дано функцію двох змінних 
. Розглянемо границі, які дістаємо після послідовних граничних переходів за кожним із аргументів окремо в тому чи іншому порядку.
Якщо при будь-якому фіксованому y з Y існує для функції f(x; y) (яка буде функцією від х) границя при х → а, то ця границя, взагалі кажучи, буде залежати від наперед фіксованого у:
.
Далі постає запитання про границю функції 
при 
— це буде одна із двох повторних границь. Іншу дістанемо, якщо границі візьмемо в зворотному порядку
.
Повторні границі не обов’язково рівні.
Приклад. Нехай
1) 
і а = b = 0, тоді:
, 
,
але водночас 
, 
. Отже, 
.
Може статися так, що одна з повторних границь існує, друга - ні.
Розглянемо приклади.
2) 
або
3) 
.
В обох випадках існує повторна границя 
, але немає повторної границі 
(в останньому прикладі навіть не існує простої границі ).
Приклади показують, що можливість перестановки границь повинна бути обґрунтована. У зв’язку з цим виконується наступна теорема, що встановлює зв’язок між подвійною і повторною границями.
Теорема 5. Якщо 1) існує (скінченна або ні) подвійна границя
і 2) при будь-якому у з Y існує (скінченна) звичайна границя по х 
, то існує повторна границя 
, яка дорівнює подвійній границі.
Доведемо це для випадку скінченних А, а і b. Згідно з означенням за заданим знайдеться таке 
, що 
, якщо тільки 
(причому х береться з Х, а у з Y). Зафіксуємо у так, щоб виконувалась нерівність 
і перейдемо в до границі при 
.
За умовою 2) прямує до , тому
.
При фіксованому у з Y, що задовольняє умову , маємо 
, що й треба було довести.
Якщо поряд з умовами 1) і 2) при будь-якому х з Х існує (скінченна) звичайна границя по у 
, то, як випливає з доведеного, існує також і друга повторна границя 
, що дорівнює також числу А (в цьому випадку обидві повторні границі однакові).
З теореми 5 випливає, що в прикладах 1) і 2) подвійна границя не існує.
У прикладі 3), навпаки, подвійна границя існує: 3 нерівності 
випливає, що вона дорівнює нулю.
Не обов’язково існування подвійної границі необхідне для рівності повторних.
У прикладі 
обидві повторні границі існують і рівні 0, але подвійної границі немає.
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 10; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!