Глава 3. Законы сохранения в механике.

§ 3.1.Фундаментальный характер законов сохранения

Законы сохранения утверждают, что некая физическая величина, характеризующая состояние физической системы, остается неизменной (сохраняется) при изменении состояния системы. В механике выполняются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. Законы сохранения, как и принцип относительности (см.§ 1.1), выделяются среди законов физики своей всеобщностью, фундаментальностью. Они выполняются для нерелятивистских и релятивистских движений в классической и в квантовой физике. Например, законы Ньютона, рассмотренные в предыдущей главе, выполняются только для нерелятивистских классических частиц.

Принцип относительности и законы сохранения вначале были получены экспериментально как обобщение опыта. Позднее, по мере развития научных знаний, стало понятно, что происхождение законов сохранения связано со свойствами симметрии природы, которые проявляются в однородности и изотропности пространства и однородности времени.

Однородность пространства, т.е. эквивалентность всех его точек, проявляется в том, что любое физическое явление, вызванное в некоторой точке пространства, в точности повторится в любой другой точке при совпадении внешних условий. Именно однородность пространства обеспечивает воспроизводимость результатов одинаковых экспериментов, проведенных в разных лабораториях, и на практике оборудование, изготовленное в одном месте, нормально работает в любом другом месте при соблюдении условий эксплуатации. Однородность пространства приводит к закону сохранения импульса.

Однородность времени проявляется в физической эквивалентности разных его моментов и приводит к закону сохранения энергии.

Свойство изотропности пространства есть физическая эквивалентность разных направлений в пространстве: если не нарушены внешние условия (условия эксплуатации), то поворот установки не повлияет на результаты ее работы. Изотропность пространства приводит к закону сохранения момента импульса.

Подчеркнем, что в законах сохранения проявляются свойства симметрии пространства и времени, а не симметрии физических тел (например, симметрия кристаллов).

§ 3.2. Закон сохранения импульса.

Импульс тела характеризует его «запас движения», который может изменяться (увеличиваться или уменьшаться) только под действием другого тела: . При взаимодействии двух тел друг с другом изменение их импульсов, как следует из третьего закона Ньютона, равны по величине и противоположны по направлению, так что общий «запас движения» обоих тел не изменяется, только перераспределяется. Этот вывод можно распространить на любое число взаимодействующих тел. Совокупность тел, взаимодействующих только между собой, называют замкнутой системой тел. В замкнутой системе тел есть только внутренние силы, внешние силы отсутствуют. Импульс системы n тел равен векторной сумме импульсов всех тел системы:

(3.2.1)

Импульс замкнутой системы тел сохраняется – это формулировка закона сохранения импульса. В классической механике он имеет вид:

(3.2.2)

Напомним, что одному векторному уравнению в трехмерной декартовой системе координат соответствуют три скалярных. Если на систему тел действуют внешние силы, но в некотором направлении внешние силы отсутствуют, то в этом направлении сохраняется ее импульс. На практике немало тому примеров: отдача при стрельбе, реактивное движение и т.п. В классической механике законы Ньютона и закон сохранения импульса выражают одни и те же свойства окружающего мира, однако, как мы обсуждали в предыдущем параграфе, закон сохранения импульса имеет более широкую область применения и выполняется для квантовых систем.

Импульс тела имеет вышедшее из употребления, но более точно отражающее его физический смысл название – количество движения, т.е. «запас движения». Закон сохранения импульса является законом сохранения «запаса движения». Действительно, из практики мы знаем, что перекладывание, например, денег из одного кармана в другой или раскладывание их по разным карманам не изменяет их сумму. Об этом же говорит арифметическое правило: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. Природа едина, и ее законы универсальны.

§ 3.3. Закон сохранения момента импульса

При вращении тела его «запас движения» также зависит от инертности тела и его скорости и называется моментом импульса:

(3.3.1)

Момент импульса – аксиальный вектор, его единица в СИ обозначается (кг^.м²/с). Основной закон динамики вращательного движения (2.6.5) констатирует, что момент импульса изменяется под действием момента силы, и это изменение пропорционально времени воздействия:

Рассмотрим тело как систему материальных точек, и воспользуемся соответствующим определением момента инерции (формула 2.4.1): L= I w= S m_ir_i² w = S m_iv_i r_i. Мы получили, что момент импульса тела. равен сумме моментов импульсов материальных точек, образующих это тело. Момент импульса материальной точки массы m, движущейся со скоростью υ по окружности радиуса r равен:

L= mυr (3.3.2)

На рис. 15 изображена такая точка: ось вращения лежит в плоскости рисунка, вектор - указывает положение точки на траектории, - ее скорость, - момент импульса точки, - угловая скорость тела. Вектор момента импульса м.т. определяется векторным произведением:

(3.3.3)

Напомним, - импульс точки.

Момент импульса тела складывается из моментов импульсов всех его точек:

(3.3.4)

Отметим, что полученная нами формула (3.5.4) применима для определения момента импульса любой системы тел, а не только совокупности м.т., образующих а.т.т.

Рассмотрим систему тел. Каждое из них подчиняется основному закону динамики вращательного движения: . Просуммируем эти формулы по всем телам системы. Напомним, что силы взаимодействия тел системы друг с другом и, соответственно, моменты этих сил, называются внутренними и, согласно третьему закону Ньютона, уравновешивают друг друга. В результате сложения получим уравнение, его левая часть есть изменение момента импульса системы, а правая часть равна сумме моментов внешних сил – их равнодействующая. Уравнение примет знакомую нам форму . В замкнутой системе тел , поэтому изменение момента импульса . Это проявление закона сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел, равный векторной сумме моментов импульса всех ее частей, сохраняется:

(3.3.5)

Есть много знакомых каждому из нас примеров проявления закона сохранения момента импульса: акробаты выполняют сальто, балерины или фигуристы выполняют пируэты, вспомните лекционные демонстрации (опыты со скамьей Жуковского, гироскоп).

автопилот),

Напомним (см. § 3.1), что закон сохранения момента импульса называется фундаментальным, т.к. имеет самую широкую область применения: он «фундаментальнее» основного закона динамики вращательного движения и есть следствие изотропности пространства.

§3.4. Работа силы. Мощность.

Поступательное движение (м.т.)

Пусть под действием постоянной силы F тело прошло путь D s в направлении линии действия силы, тогда работа силы по определению:

A= F D s (3.4.1)

Если перемещение и сила направлены под углом друг к другу (рис.11), то

A= F D s cos a = F_s D s (3.4.2)

F_s – проекция силы на направление перемещения, иногда ее называют движущей силой. Работа - скалярная величина: A>0 при условии 0 £a<90⁰; A<0 при p/2 a £ p; A = 0 при a =p/2, т.е. сила, направленная перпендикулярно перемещению, работу не совершает. В СИ работа измеряется в джоулях (Дж): 1 Дж = 1Н^.1с.

Если во время движения сила, а также угол a изменяются (сила переменная, траектория криволинейная), то поступают так. Разбивают путь на сумму столь малых (элементарных) участков ds, на каждом из которых сила и угол ее наклона еще не успели заметно измениться, вычисляют работу на таком элементарном участке: dA = F_sds, а затем суммируют все элементарные работы. Формула работы переменной силы при перемещении тела из точки с координатой s₁ в точку с координатой s₂::

(3.4.3)

Отметим, что сила и перемещение - векторы, и | | = ds, так что в формуле (2.4.3) можно использовать скалярное произведение этих векторов: F_sds= . Напомним геометрический смысл определенного интеграла – это площадь, заштрихованная на рис. 12. Работа при перемещении по траектории складывается из элементарных работ на элементарных участках траектории, каждому из которых соответствует определенное состояние тела. Любое изменение состояния называется процессом, и работа - характеристика процесса.

Мощность N – интенсивность совершения работы. Средняя мощность

<N>= (3.4..4)

Здесь A – работа, совершенная за время t. В СИ мощность измеряют в ваттах (Вт): 1Вт=1Дж/1с. На технических устройствах указывают их среднюю мощность, которая реализуется при их работе. Мгновенная мощность зависит от скорости движения и равна:

N= (3.4.5)

Из формулы (3.4.5) следует, что мгновенная мощность мотора автомобиля при разгоне растет даже при неизменной силе тяги мотора.

Вращательное движение

При вращении тела работу совершает момент силы. Формула работы при вращении тела под действием момента силы М из начального положения с угловой координатой j₁ в конечное положение с угловой координатой j₂ принимает вид:

(3.4.6)

Для постоянного момента силы:

A= M D j (3.4.7)

Мощность при вращении:

(3.4.8)

§ 3.5. Механическая энергия.

Энергия – важная характеристика состояния тела, и она широко используется не только в физике, но и во всех других областях жизни. Энергия – физическая величина, характеризующая способность тела совершать работу. Механика рассматривает два вида энергии – кинетическую и потенциальную. Их сумма образует полную механическую энергию тела. Энергия тела уменьшается, когда тело совершает работу против внешних сил, и увеличивается, когда внешние силы совершает работу над телом. Работа – это способ изменения энергии тела, передачи энергии от одного тела к другому. Энергия и работа имеют одинаковую единицу измерения. Мы отмечали, что работа сопровождается изменением состояния тела, она – характеристика процесса. Энергия определяется состоянием тела, ее называют функцией состояния. При переходе тела из одного состояния в другое разность его энергий в конечном и начальном состояниях называют изменением энергии. Свойство функции состояния – ее изменение одинаково для любых процессов, связывающих эти два состояния.

Кинетическая энергия

Поступательное движение (м.т.)

Пусть тело перемещается под действием силы. Элементарная работа dA = F_sds = F_sds. Применив второй закон Ньютона и определение тангенциального ускорения, получаем: Fs= ma _t= mdυ/ dt и далее: dA = . Этот результат свидетельствует о том, что работа превращается в приращение некоторой величины, соответствующей данному состоянию тела. Эту величину называют кинетической энергией тела - E_к:

E_к= (3.5.1)

Кинетическую энергию можно выразить через характеристику состояния тела – импульс p= mv:

E_к= p²/2 m (3.5.2)

Вращательное движение

Кинетическую энергию вращающегося тела можно найти как сумму кинетических энергий всех его точек: E_к= . Использовали формулу (1.7.1) связи линейной и угловой скоростей, о также формулу (2.4.1), указывающую определение момента инерции, получаем формулу кинетической энергии вращающегося тела:

E_к= (3.5.3)

На практике часто встречается качение твердого тела – это вид движения, когда все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. При качении одна или несколько точек тела касаются поверхности, по которой катится тело, и в момент касания неподвижны. Это означает, что тело имеет мгновенную ось вращения, проходящую через эти точки и лежащую в плоскости, по которой катится тело. В любой момент времени движение тела можно считать вращением относительно такой мгновенной оси. Качение тела можно рассматривать как сумму двух движений: вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела, и поступательного с линейной скоростью центра инерции. Кинетическая энергия катящегося тела складывается из двух частей:

(3.5.4)

Здесь υ₀- скорость поступательного движения центра инерции, I₀– момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела перпендикулярно плоскостям перемещения его точек.

Кинетическая энергия – энергия движения, она численно равна работе, которую может совершить тело до полной остановки. При перемещении тела из точки 1 в точку 2 работа внешней силы на этом пути A₁₂ равна изменению его кинетической энергии:

A₁₂= (3.5.5)

Для элементарного изменения состояния

dA= dE_к(3.5.6)

Потенциальная энергия

Существуют силы, работа которых не зависит от формы траектории, связывающей начальное и конечное положения тела. Такие силы называются консервативными или потенциальными. Поясним это рис. 13. Если тело переместится из точки 1 в точку 2 по траектории 1а2, сила совершит работу А_1а2; при перемещении по траектории 1б2 работа равна А_1б2. По определению консервативной силы А_1а2= А_1б2. Работа силы по замкнутому пути A o ( например, 1а2б1) равна нулю. Действительно, A o = А_1а2+ А_2б1= А_1а2 - А_1б2= 0. Заметим, что при измении направления движения на противоположное (см. рис. 11) угол межде векторами силы и перемещения из острого превращается в тупой, при этом их косинусы отличаются только знаком. Это означает, что если при движении в одном направлении работа силы положительная, то при движении в противоположном направлении она отрицательная. Отсюда следует еще одно свойство консервативной силы – равенство нулю работы по любой замкнутой траектории.

Покажем, что из трех сил – тяжести, упругости и трения первые две консервативные.

Пусть на тело действует сила тяжести, и тело перемещается из точки 1 в точку 2 (рис.14). Вектор силы тяжести m и элементарное перемещение ds (для наглядности пренебрегли математической строгостью, нарисовав его) образуют угол a. Вычислим работу силы тяжести, учитывая, что ds^.со s a=- dy: . Действительно, работа силы тяжести выражается через характеристики состояния тела в его начальном и в конечном положениях - координат y₁и y₂. Из этой же формулы следует, что работа силы тяжести на замкнутом пути равна нулю – сила тяжести консервативная.

Аналогичный результат дает сила упругости F = -кх: , что доказывает ее консервативный характер.

Сила трения неконсервативная. Действительно, при любом направлении движения эта сила направлена против движения, ее работа на любом элементарном перемещении отрицательна, следовательно, работа на замкнутом пути не равна нулю.

Работа консервативной силы равна уменьшению некоторой величины, являющейся функцией состояния тела и измеряющейся в СИ в джоулях. Эту функцию называют потенциальной энергией Е_п, разность ее значений в начальном -1 и в конечном – 2 состояниях тела равна работе силы при перемещении тела по любой траектории, связывающей два его положения:

А₁₂=Е_л1– Е_п2(3.5.7)

При элементарном (бесконечно малом) изменении состояния тела

dA=- dE_п (3.5.8)

Оказывается, что мы уже вывели формулы потенциальной энергии. Напомним, что потенциальная энергия – это энергия взаимодействия, зависящая от взаимного положения тел. Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести земли зависит от его высоты h над горизонтальным уровнем, принятым за нулевой, и выражается формулой:

E_п = mgh (3.5.9)

Для упругой деформации за нулевой уровень потенциальной энергии естественно принять недеформированное состояние, тогда формула потенциальной энергии упруго деформированного тела имеет вид:

Е_п= (3.5.10)

Полная механическая энергия

Полная механическая энергия тела Е (иногда ее называют механической энергией) состоит из кинетической и потенциальной энергий:

Е = Е_к+ Е_п(3.5.11)

§ 3.6. Закон сохранения механической энергии

Пусть тело (м.т.) движется под действием консервативной силы. Ее работа превращается в приращение кинетической энергии тела (см. формулу 3.5.6): и происходит за счет уменьшения потенциальной энергии (см. формулу 3.5.8): . Отсюда следует: , т.е. полная механическая энергия тела сохраняется. Совокупность сил, действующих на тело в каждой точке пространства, образует поле сил. Поле консервативных сил называют потенциальным силовым полем. Закон сохранения энергии: полная механическая энергия тела, движущегося в потенциальном силовом поле сохраняется:

Е=Е_к+Е_п= const (3.6.1)

Примеры действия этого закона на практике нам хорошо известны. Мячик, выпущенный из рук, падая под действием силы тяжести, ускоряется, и его потенциальная энергия превращается в энергию кинетическую. Ударившись о пол, мячик деформируется, и его скорость уменьшается до нуля. Если удар упругий, то его кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию упругой деформации, а после исчезновения деформации вновь восстанавливается прежнее значение кинетической энергии. Мячик отскакивает и движется вверх, и теперь его кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию силы тяжести. В результате мячик должен подняться на исходную высоту, а затем его падения и подскоки продолжались бы бесконечно долго. В действительности, высота подскока после каждого удара уменьшается, так как неконсервативная сила сопротивления воздуха превращает механическую энергию в тепловую энергию. Например, работа силы трения всегда отрицательна, в результате механическая энергия уменьшается, расходуется на работу сил трения. В этом случае можно говорить о законе изменения механической энергии

DЕ=Е₂–Е₁=А (3.6.2)

Закон сохранения механической энергии можно обобщить на замкнутую систему тел, взаимодействующих между собой консервативными силами. При этом полная механическая энергия системы складывается из кинетических энергий отдельных тел и потенциальной энергия взаимодействия всех тел системы, зависящей от их взаимного расположения.

Если на систему тел действуют внешние силы, или внутри нее есть неконсервативные силы, то их работа изменяет механическую энергию. Он утверждает, что изменение механической энергии незамкнутой неконсервативной системы тел, равное разности ее конечного и начального значений, равно работе внешних и неконсервативных сил (формула 3.6.2). Эта формула имеет большое практическое значение, например, из нее следует, как скорость влияет на длину тормозного пути: DЕ = mυ²/2, А= F_тр S, так что при увеличении скорости в 2 раза тормозной путь увеличивается в 4 раза.

Помимо механической энергии существуют другие формы энергии, связанные с другими видами движения материи: тепловая, электрическая и т.д., которые могут превращаться друг в друга в эквивалентных количествах. С учетом разных форм энергии закон сохранения энергии приобретает всеобщий характер и превращается в один из наиболее общих законов физики: он утверждает количественную неизменность энергии замкнутой системы при качественном изменении формы энергии при изменении формы движения.

§ 3.7. Столкновения тел

Столкновением (ударом) называется процесс, когда тела, первоначально удаленные друг от друга так, что их взаимодействием можно пренебречь, сближаются и непродолжительное время энергично взаимодействуют друг с другом. После удара взаимодействие тел прекращается. Столкновения подразделяются на упругие и неупругие. Как правило, силы, действующие во время удара, изменяются довольно сложным и не всегда известным образом, поэтому решить уравнения движения непросто. Но если речь ведется не о процессе взаимодействия, а об его результате, то законы сохранения легко дают ответ на этот вопрос. Изменение скоростей сталкивающихся тел происходит в результате их взаимодействия друг с другом, поэтому система тел является замкнутой, и ее импульс сохраняется при любом характере сил взаимодействия, как упругом, так и неупругом.

Упругий удар. При столкновении упругие тела деформируются, возникающие при этом упругие силы уменьшают скорость их относительного движения до нуля, превращая кинетическую энергию относительного движения в потенциальную энергию упругой деформации. В следующий момент упругие силы начинают расталкивать тела, у них опять появляется и растет скорость относительного движения вплоть до момента исчезновения деформаций. К этому времени тела опять движутся независимо друг от друга каждое со своей скоростью. После упругого удара внутреннее состояние и форма тела не изменяются. Рассматриваемые тела образуют замкнутую консервативную систему, в ней выполняются законы сохранения импульса и механической энергии:

(3.7.1)

(3.7.2)

Здесь индексы 1 и 2 указывают номера тел, υи u – скорости тел соответственно до и после удара. В начальный момент тела еще не столкнулись, в конечный момент столкновение уже закончилось, механическая энергия состоит только из кинетической энергии, потенциальная энергия взаимодействия отсутствует. Система из двух уравнений позволяет найти две неизвестных величиеы, например, скорости обоих тел после упругого удара. Рассмотрим некоторые частные случаи.

а) Движущееся тело стакивается с покоящимся телом, массы тел одинаковы. Законы сохранения примут вид: ; υ₁²= u₁²+ u₂². Обратите внимание: один вектор равен сумме двух других (вспомните правило треугольника), для этого треугольника выполняется теорема Пифагора Вывод: после такого удара тела разлетаются под прямым углом. Такую ситуацию можно встретить на биллиардном столе, если удар не крученый.

б) Центральный удар. Удар шаров называется центральным, если их скорости до удара направлены по одной прямой, проходящей через их центры, и вращение шаров отсутствует. Такой удар может произойти, когда шары движутся навстречу друг другу, или один шар догоняет другого. После удара скорости по-прежнему направлены вдоль той же прямой, что до удара, и векторное уравнение закона сохранения импульса (3.7.1) превращается в скалярное:

m₁ υ₁+ m₂ υ₂= m₁ u₁+ m₂ u₂. (3.7.3)

Направление скоростей тел учитывается знаком: изменение направления движения отражается в изменении знака скорости на противоположный. Формула (3.7.2) закона сохранения энергии останется неизменной. Перепишем формулы (3.7.3) и (3.7.2) так:

(3.7.4)

(3.7.5)

Преобразуем эту систему из двух уравнений с двумя неизвестными, причем, первое оставим без изменения, а другое получим, поделив (3.7.5) на (3.7.4):

v₁+ u₁= v₂+ u₂

Результат решения: и . Обратите внимание на симметрию полученных формул: замена индекса 1 на индекс 2 превращает одну формулу в другую. Заметим, что это следствие симметрии уравнений системы относительно замены индекса. Проверим полученные результаты на простом примере, который хорошо известен из опыта: движущийся биллиардный шар ударяет покоящийся, удар центральный. Наши формулы дают ожидаемый результат: u₁=0, u₂ =υ₁ - шары обменяются скоростями, первый остановится, зато второй начнет двигаться.

3. Неупругий удар. После столкновения тела движутся с одинаковыми скоростями , «сцепившись» друг с другом, но суммарный импульс сохранится – система замкнутая:

(3.7.6)

При центральном неупругом ударе уравнение закона сохранения импульса превратится из векторного в скалярное:

(3.4.7)

Система тел неконсервативная, в ней действуют неупругие силы, работа которых превращает механическую энергию в тепло: .

Потери механической энергии зависят от соотношения масс тел и их скоростей. Выведите формулу, какая доля механической энергии превращается в тепло, если движущееся тело не упруго сталкивается с покоящимся телом. Проанализируйте полученный результат для двух случаев неупругого удара: забивание гвоздя или ковка детали. Тогда станет понятно, почему молоток должен быть значительно массивней гвоздя, а наковальня значительно массивней детали.

§ 3.8. Итоги главы 3

Обратим внимание на аналогию характеристик и формул законов динамики поступательного и вращательного движений, подчеркивающую общность их физического смысла. В частности, формулы поступательного движения превращаются в формулы вращательного движения (и, наоборот) при замене обозначений физических величин на их аналоги для другого вида движения.

Названия характеристик и законов	Вид движения
Названия характеристик и законов	Поступательное (м.т.)	Вращательное (а.т.т)
Работа		, A= M D j
Мощность	<N>= , N =
Кинетическая энергия		- вращение - качение
Потенциальная энергия	E_п = mgh - в поле силы тяжести Е_п= - упругой деформации	-
Полная механическая энергия	Е=Е_к+Е_п	Е=Е_к+Е_п
Закон сохранения «запаса движения» замкнутой системы тел
Закон сохранения энергии замкнутой консервативной системы тел	Е= const	Е= const

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 173; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!