Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Ввести понятие смежных углов.

    Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

                                              АОС и  СОВ – смежные.

                                             Лучи ОВ и ОА образуют одну прямую

 

    2. Вывести свойства смежных углов в ходе выполнения следующих упражнений:

Ø Сколько углов изображено на рисунке? Какие эти углы? (3 угла,  АОС и    СОВ – смежные,  АОВ – развернутый.)

Ø Существует ли какая-нибудь взаимосвязь между этими углами? (Да,  АОС +     +  СОВ =  АОВ.)

Ø Как по другому можно записать данное равенство? Почему? ( АОС +        +  СОВ = 180⁰, так как  АОВ – развернутый и его градусная мера равна 180⁰.)

Ø Для всякой ли пары смежных углов выполняется это равенство? (Да.)

Ø Данные равенства – математическая запись свойства смежных углов.

    Теорема о сумме смежных углов:

    Сумма смежных углов равна 180⁰.

    Доказательство:

Пусть  и  - данные смежные углы. Луч b проходит между сторонами  и  развернутого угла. Поэтому сумма углов  и  равна развернутому углу, т.е. 180⁰, что и требовалось доказать.

 

    Следствие из теоремы о сумме смежных углов:

    Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

    Угол смежный с прямым есть прямой угол; смежный с острым углом – тупой угол; смежный с тупым углом – острый угол.

Свойства смежных углов

Биссектрисы смежных углов образуют прямой угол.

Если смежные углы равны, то они прямые.

 

    3. Ввести понятие вертикальных углов в ходе выполнения следующих упражнений:

Ø Начертите неразвернутый угол МОК.

Ø Проведите лучи ОС и OD, являющиеся продолжениями сторон угла МОК.

Ø Сколько неразвернутых углов получилось? (Четыре -  МОК,  МОС,         COD,  KOD.)

Ø Назовите углы, которые не являются смежными. ( МОК и  COD,  MOD и  КОС.)

    Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

    Запишите в тетради:  МОК и  COD – вертикальные;  MOD и  КОС – вертикальные.

    Терема о вертикальных углах:

    Вертикальные углы равны.    

Доказательство

                                    МОК +  DOM = 180⁰, так как  МОК и  DOM –

                                    смежные углы и их сумма равна 180⁰. Отсюда  МОК =

                                    = 180⁰ –  DOM.  COD +  DOM = 180⁰, так как  COD                           

                                    и  DOM – смежные углы и их сумма равна 180⁰. Отсюда

                                    COD = 180⁰ –  DOM. Получили, что  МОК = 180⁰ – – DOM и  COD = 180⁰ –  DOM, значит  МОК =  COD, а это вертикальные углы. Итак, вертикальные углы равны, что и требовалось доказать.

 

Ø Какие прямые называются перпендикулярными? (Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.)

Ø Запишите, используя математические символы, «прямая АВ перпендикулярна прямой CD». Выполните соответствующий рисунок и укажите все углы. (АВ   CD.  АОС =  СОВ =  BOD =  AOD = 90⁰. Рис. 1.1)

Рис. 1.1

Ø Пересекаются ли две прямые, перпендикулярные третьей? (Нет.)

Свойство перпендикулярных прямых:

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

       Теорема о перпендикулярных прямы:

    Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую и только одну.

 Доказательство:

    Пусть а – данная прямая и А – данная точка на ней. Обозначим через а₁ одну из полупрямых прямой а с начальной точкой А. Отложим от полупрямой а₁ угол (а₁ b ₁), равный 90⁰. Тогда прямая, содержащая луч b ₁, будет перпендикулярна прямой а.

    Допустим, что существует другая прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а. Обозначим через с₁ полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b ₁.

    Углы (а₁ b ₁) и (а₁с₁), равные каждый 90⁰, отложены в одну полуплоскость от полупрямой а₁. Но от полупрямой а₁ в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90⁰. Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а, что и требовалось доказать.    

    Часто при доказательстве теорем и решении задач в геометрии используют метод от противного.

Алгоритм доказательства методом от противного:

1. Предположение, обратное тому, что требуется доказать.

2. Следствие, вытекающее из предположения.

3. Противоречие. (Противоречие может быть с условием теоремы или задачи, с аксиомами, с известными свойствами).

4. Вывод: допущенное не верно, а верно то, что требовалось доказать.

    Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, от заданной точки до точки пересечения этих прямых.

---

Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 17; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!