Мнемоническое обозначение СМО.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

В теории массового обслуживания приняты очень удобные сокращенные обозначения для различных СМО, позволяющие легко охарактеризовать систему. В основе этих обозначений лежит трехбуквенная комбинация вида А/В/ N,где:

А – описывает распределение (или задает характер закона распределения) интервалов поступления заявок;

В – описывает распределение длительностей обслуживания заявок;

N – задает количество обслуживающих приборов в СМО.

Иногда, когда СМО является системой с ограниченной емкостью накопителя (или с ограниченной очередью), приведенное обозначение расширяется до четырех букв А/В/ N/К, где последняя буква (на самом деле число, как и N) К задает емкость накопителя (количество мест ожидания).

Приведенные трех или четырех буквенные обозначения называют обозначениями Кендалла. В этих обозначениях А и В могут принимать значения из следующего набора символов {M, D, E_k, H_k, G, U}. При этом:

а) А или В= M, если распределение интервалов поступления или длительностей обслуживания заявок является экспоненциальным (М – от слова M arkovian – Марковский);

б) А или В= D,если интервалы поступления или длительности обслуживания являются детерминированными (D – D eterminate);

в) А или В= E_k, если соответствующие распределения являются Эрланговскими порядка k (E – E rlang);

г) А или В= H_k,в случае гиперэкспоненциальных распределений порядка k ( H – H yperexponential);

д) А или В= G,в случае распределений общего (произвольного) вида (G – G eneral – общий, общего вида);

е) А или В= U – приравномерных распределениях соответствующих случайных величин (U – U niform distribution – равномерное распределение).

Так, например, обозначение вида:

М/М/1 означает СМО с простейшим потоком на входе и экспоненциальнораспределеннойдлительностью обслуживания заявок вприборе (один)

D/Е₂/3/5 – СМО с регулярным потоком на входе, длительностью обслуживания, распределенной по закону Эрланга 2-го порядка, тремя обслуживающими приборами и пятью местами ожидания;

М/ G/2 – СМО с простейшим потоком на входе, длительностью обслуживания, распределенная по закону произвольного вида, и двумя обслуживающими приборами.

В случае СМО с неоднородной нагрузкой используются обозначения вида , где символ вектора над буквами А и В указывает на неоднородность нагрузки, а индекс Н задает количество классов заявок. Например, — это обозначение СМО с одним обслуживающим прибором, четырьмя классами заявок, которые образуют на входе системы простейшие потоки и имеют общие законы распределения длительностей обслуживания.

Характеристики функционирования СМО

2.1. Характеристики одноканальной СМО с однородной нагрузкой.

Предположим, что задана ОК СМО общего вида (типа G/ G/1), для которой определены параметры нагрузки, а, именно, интенсивность l и КВ n_а интервалов поступления, интенсивность обслуживания m и КВ n длительности обслуживания:

Основными характеристиками, определяющими качество функционирования такой СМО, являются:

1) вероятности состояний системы;

2) загрузка или коэффициент использования системы;

3) время ожидания заявок в системе;

4) время пребывания в системе;

5) число заявок в очереди системы или длина очереди;

6) число заявок в системе.

Следует отметить, что все перечисленные характеристики имеют смысл только в том случае, когда система функционирует в установившемся режиме (без перегрузок), что и предполагается далее. Кроме того, последние четыре характеристики являются случайными величинами ("3" и "4" – непрерывные, "5" и "6" – дискретные) и полный анализ этих характеристик предполагает определение соответствующих функций распределения. Однако в большинстве практических приложений достаточно анализировать данные характеристики на уровне их средних значений, что и делается далее.

Остановимся на перечисленных характеристиках более подробно.

1) Вероятности состояний системы — это наиболее полная характеристика системы в том смысле, что, зная вероятности состояний, можно определить все остальные характеристики. При этом под состоянием СМО понимается число заявок, находящихся в системе. Вероятность состояния системы, когда в ней находится k заявок, обозначим далее через Р _k, k=0, 1, 2, ...

2) Загрузка системы — это отношение интенсивности поступления l к интенсивности обслуживания m и обозначается через r:

r=l/m=lb=b/а,

где а=1/l и b=1/m – средние значения интервалов поступления и длительности обслуживания соответственно.

Значение загрузки определяет условие существования в системе стационарного режима. Необходимым и достаточным условием существования в стохастической СМО стационарного режима является условие, когда r<1или l<m. Выполнение этого условия означает, что система в среднем справляется с поступающей нагрузкой. Если r³1, то система работает в режиме перегрузок.

Загрузка r СМО характеризует:

а) среднее число заявок, поступающих в систему за среднее время обслуживания одной заявки;

б) долю времени, в течение которого прибор занят обслуживанием;

в) вероятность того, что прибор занят обслуживанием заявок;

г) среднее число заявок, находящихся в обслуживающем приборе.

Перечисленные утверждения составляют физический смысл загрузки.

Справедливость утверждения "а" следует из определения загрузки r=lb: если l – среднее число заявок, поступающих в единицу времени, то за время b в систему поступят в среднем lb заявок.

Справедливость утверждения "б" можно показать следующими простыми рассуждениями. Рассмотрим достаточно длинный интервал t времени функционирования системы. Для простоты предположим, что в начале и в конце этого интервала система была свободна. Очевидно, что за время t в систему в среднем поступят lt заявок. Каждая из этих заявок в среднем обслуживается за время b. Тогда суммарное время обслуживания всех заявок равно ltb. Отсюда доля времени, в течение которого прибор занят обслуживанием заявок, равна ltb/ t=lb=r,что и следовало показать.

Утверждение "в" напрямую следует из утверждения "б", ибо рассмотренная ранее доля времени и есть вероятность занятости прибора. Тогда вероятность простоя системы равна 1–r.

Справедливость утверждения "г", в свою очередь, следует из утверждения "в": в приборе может находиться 1 заявка с вероятностью rи 0 заявок с вероятностью 1–r. Тогда среднее число заявок в приборе равно

1·r +0·(1–r)=r.

3) Время ожидания — это, как правило, случайное время, которое заявка проводит в очереди в состоянии ожидания. Среднее значение этого времени, которое представляет наибольший интерес, обозначается через w.

4) Время пребывания — это случайный промежуток времени от момента поступления заявки в систему до момента окончания ее обслуживания. Для среднего значения u времени пребывания справедливо равенство:

u= w+ b.

5) Среднее число заявок в очереди или средняя длина очереди

l= l w.

6) Среднее число заявок m, находящихся в системе, складывается из средних значений числа заявок, находящихся в очереди (l) и в приборе (r):

m=l+r=lw +lb=l(w+b)=lu

Формулы r=lb, l=lw и m=lu называются формулами Литтла соответственно для прибора, очереди и системы в целом. Справедливость этих формул показывается далее в разделе 2.4.

Ранее отмечалось, что если известны вероятности состояний, то можно определить и все остальные характеристики системы. Предположим, что вероятности состояний Р_к=Pr{в системе находится k заявок}, k = 0, 1, 2, ..., известны или заданы. Тогда загрузка системы, которая характеризует вероятность того, что, прибор занят обслуживанием, определяется равенством:

r ,

где P₀ – вероятность простоя системы.

В системе могут находиться 1, 2, 3, ... заявок соответственно с вероятностями P₁, P₂, P₃, .... Тогда, исходя из определения математического ожидания дискретной случайной величины, среднее число заявок в системе

Если в системе находится k заявок, то в очереди ожидают k–1 заявка (k= 1, 2, 3, ...). Тогда средняя длина очереди

m–r.

Зная среднее число заявок в системе (m) и в очереди (l), соответствующие временные характеристики можно определить по формуле Литтла:

u=m/l и w=l/l=u–b.

Полученные соотношения взаимосвязи между характеристиками функционирования системы справедливы при любых законах распределений интервалов поступления и длительности обслуживания заявок и таким образом носят фундаментальный (универсальный) характер. Единственное требование — это требование, чтобы система была без отказов, т.е. емкость накопителя была не ограничена.

Дата добавления: 2021-12-10; просмотров: 24; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!