Первая интерполяционная формула Ньютона

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Интерполяционные многочлены Ньютона можно построить только при равноотстоящем расположении узлов интерполирования (точки должны быть равноотстоящие).

Пусть функция y = f ( x ) задана своими значениями в n +1 узлах интерполирования, т.е.

y ₁ = f ( x ₁ ); y ₂ = f ( x ₂ ); … f ( x_n ₊₁ ); … f ( x_n ₊₁ ) = y_n ₊₁

h = x_i+1-x_i= const, n+1=m.

Требуется найти многочлен P_n ( x ) такой, чтобы

P_n(x₁) = f(x₁)

P_n(x₂) = f(x₂)

P_n(x_n+1) = f(x_n+1)

(6)

В этой формуле D ⁿ у₁ означает конечную разность n-го порядка в точке у₁. Понятие конечной разности связано с понятием производной. По определению производная

В нашем случае D х = x_i ₊₁ - x_i = h и, как правило, не является бесконечно малой величиной.

D у₁ = у₂ – у₁

D ² у₁ = D у₂ – D у₁ = у₃ – 2у₂ + у₁

D ⁿ у₁ = D ( D ⁿ ^-1 y ₁ ).

Первая интерполяционная формула Ньютона не использует последнего узла интерполирования.

ПРИМЕР

Рассмотрим ту же задачу.

Количество экспериментальных точек m =3. Порядок1-й интерполяционной формулы Ньютона n=2.

Формула (6) для n=2 будет выглядеть следующим образом:

D у₁ = у₂ – у₁

D ² у₁ = D у₂ – D у₁ = у₃ – 2у₂ + у₁

h=4

или, подставив табличные значения, получим:

a₀=-1,59375, a₁=3,8125, a₂=-0,21875.

При x=3 P ₂ ( x )= 7,875.

Вторая интерполяционная формула Ньютона

(7)

Вторая формула Ньютона используется для интерполирования в конце таблицы, т.к. не рассматривает 1-го узла интерполирования (х₁, у₁).

ПРИМЕР

Рассмотрим ту же задачу.

Количество экспериментальных точек m =3. Порядок 2-й интерполяционной формулы Ньютона n=2.

Формула (7) для n=2 будет выглядеть следующим образом:

D у₂ = у₃ – у₂

D ² у₁ = D у₂ – D у₁ = у₃ – 2у₂ + у₁

h=4

a₀=-1,59375, a₁=3,8125, a₂=-0,21875.

При x=3 P ₂ ( x )= 7,875.

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулировать задачу интерполяции.

2. Сформулировать условие интерполирования.

3. Какие бывают методы интерполяции?

4. Что называют шагом и узлом интерполирования?

5. Что такое равностоящая и не равностоящая интерполяция?

6. Построить полином Лагранжа.

7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

8. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

9. Решить систему линейных уравнений методом обращения матриц.

10. Написать первую интерполяционную формулу Ньютона и указать область ее применения.

11. Написать вторую интерполяционную формулу Ньютона и указать область ее применения.

12. Рассчитать неизвестные коэффициенты степенного полинома, используя формулы Лагранжа и Ньютона.

5. Требования к отчету

Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, математическую формулировку, 2 схемы алгоритмов, 2 листинга программ, 2 распечатки результатов, анализ полученных результатов.

Библиографический список

Бахвалов Н.С. Численные методы/ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. – 632 с.

Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение: Пер. с англ/ Д. Каханер, К. Моулер, С. Неш. –2-е изд., стер. – М.: Мир, 2001.- 575 с.

Самохин А.Б. Численные методы и программирование на фортране для персонального компьютера/ А.Б. Самохин, А.С. Самохина. – М.: Радио и связь, 1996.- 224 с.

Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высш. шк, 1998. – 479 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Метод Крамера

Пусть имеется система уравнений 3-го порядка

, (8)

где, применительно к рассматриваемым примерам , ,

или в матричном виде

С A = Y

где C – матрица коэффициентов системы; A – вектор неизвестных; Y – вектор правых частей.

Согласно теореме Крамера решение может быть найдено из формулы:

, (9)

где C _i – матрица C у которой i-й столбец заменен вектором свободных членов – вектором Y.

Т.е.

Найдем определители матриц С, С₀,С₁, С₂.

Найдем a₀, a₁, a₂.

, , .

Метод Гаусса

В основе метода Гаусса используются элементарные преобразования матрицы коэффициентов системы с целью приведения ее к более простому виду (например, треугольному) решение которой не представляет труда. В качестве таких преобразований используются:

а) вычитание из одной строки другой, умноженной на константу, отличную от нуля;

б) перестановка строк;

в) умножение строки на число отличное от нуля.

Пусть имеется система линейных уравнений 3-го порядка:

и матрица коэффициентов системы не имеет нулевых диагональных элементов и ее определитель отличен от нуля. Тогда решение может быть получено следующим образом.

1. Разделим все элементы первой строки на с₁₁ (включая y):

2. Исключим элементы первого столбца из второго и третьего уравнений системы (элементы c₂₁ и c₃₁). Для этого элементы первой строки умножим на c₂₁ и c₃₁, т.е. получим:

Затем из элементов второй и третьей строки вычтем соответствующие элементы полученных уравнений, т.е.

или

где

, , , , ,

, , , .

Вновь полученную вторую строку, разделим на

3. Исключим элемент из третьей строки. Для этого элементы второй строки умножим на

Затем из элементов третьей строки вычтем элементы полученного уравнения.

или

где , , ,

4. Из последнего уравнения находим a₂, из второго a₁ и из первого – a₀.

Метод обращения матриц

Пусть имеется система линейных уравнений С A =Y

Если это уравнение умножить слева и справа на обратную матрицу C^-1

C ^-1 × CA = C^-1Y, то учитывая, что C^-1 × C =Е получим A= C^-1Y. E – единичная матрица.

Сложность этого метода заключается в нахождении С^-1, которая рассчитывается следующим образом. Находится С^Т, т.е., если

, то .

Затем рассчитывается матрица алгебраических дополнений:

где С _i_,_j – алгебраические дополнения элементов С _i_,_j ( ), которые находятся следующим образом

, , ,

, , .

Знак “-” ставится перед определителем в том случае, если сумма индексов определителя является нечетным числом.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Номер варианта	Табличные зависимости				Контрольная температура	Метод решения системы линейных уравнений
Номер варианта	i	1	2	3	Контрольная температура	Метод решения системы линейных уравнений
1.1	t_i,°С R_i,Oм	32 85.	70 92	100 98	38	Гаусса
1.2	t_i,°С R_i,Oм	5 50	45 56.1	85 63.5	55.5	Обращения матриц
1.3	t_i,°С R_i,Oм	5 100	25 105.	45 111	25	Крамера
1.4	t_i,°С R_i,Oм	5 80	35 103	75 112.3	72	Обращения матриц
1.5	t_i,°С R_i,Oм	40 111	60 117	80 126	63	Гаусса
1.6	t_i,°С R_i,Oм	5 50	45 61	85 69.1	68	Обращения матриц
1.7	t_i,°С R_i,Oм	5 80	32 88	70 99.5	16	Крамера
1.8	t_i,°С R_i,Oм	5 100	25 113	45 123	28	Гаусса
1.9	t_i,°С R_i,Oм	20 106	60 116	100 142.5	88	Крамера
1.10	t_i,°С R_i,Oм	5 50	35 56.1	75 63.5	23	Обращения матриц
1.11	t_i,°С R_i,Oм	5 111	45 117	85 126	43	Гаусса
1.12	t_i,°С R_i,Oм	2 50	25 61.	45 99.1	34	Крамера
1.13	t_i,°С R_i,Oм	40 100	60 113	80 123	74	Крамера

Окончание прил. 2

Номер варианта	Табличные зависимости				Контрольная температура	Метод решения системы линейных уравнений
Номер варианта	i	1	2	3	Контрольная температура	Метод решения системы линейных уравнений
2.1	t_i,°С R_i,Oм	22 45.	70 92	100 98	28	Крамера
2.2	t_i,°С R_i,Oм	25 52	55 56.1	85 62.5	55.5	Обращения матриц
2.3	t_i,°С R_i,Oм	4 1.	14 10.	24 101	5	Гаусса
2.4	t_i,°С R_i,Oм	5 88	32 103	70 110.	16	Обращения матриц
2.5	t_i,°С R_i,Oм	40 113	60 115	80 126	63	Гаусса
2.6	t_i,°С R_i,Oм	5 50	25 61	85 69.1	68	Крамера
2.7	t_i,°С R_i,Oм	5 10	30 88	70 99.5	16	Обращения матриц
2.8	t_i,°С R_i,Oм	15 100	35 103	55 113	28	Гаусса
2.9	t_i,°С R_i,Oм	22 100	64 116	100 122.5	80	Крамера
2.10	t_i,°С R_i,Oм	5 10	35 46.1	65 53.5	23	Обращения матриц
2.11	t_i,°С R_i,Oм	25 11	65 14	105 106	40	Крамера
2.12	t_i,°С R_i,Oм	2 5	25 6.	45 9.1	7	Гаусса
2.13	t_i,°С R_i,Oм	40 1	60 10	80 13	7	Крамера

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Номер варианта	Вещество	Табличные зависимости							Заданная температура	Метод интерполирования
Номер варианта	Вещество	I	1	2	3	4	5	6	Заданная температура	Метод интерполирования
1.1	Глицерин (50 %-ный)	t_i,°С r, кг/м³	0 1136	20 1126	40 1116	60 1102	80 1090	-	24	1-я интерполяционная формула Ньютона
1.2	NaOH (50 %-ный)	t_i,°С r, кг/м³	0 1540	20 1525	60 1497	80 1483	120 1454	-	36	Полином Лагранжа
1.3	Сероугле-род	t_i,°С r, кг/м³	-20 1323	20 1263	60 1200	100 1125	-	-	53	2-я интерполяционная формула Ньютона
1.4	NaOH (30 %-ный)	t_i,°С r, кг/м³	20 1328	40 1316	60 1303	80 1289	100 1276	-	63	1-я интерполяционная формула Ньютона
1.5	Толуол	t_i,°С r, кг/м³	0 884	20 866	40 847	60 828	80 808	-	42	2-я интерполяционная формула Ньютона
1.6	Фенол	t_i,°С r, кг/м³	20 1075	40 1058	60 1040	80 1022	100 1003	-	63	2-я интерполяционная формула Ньютона
1.7	Олеум (20 %-ный)	t_i,°С r, кг/м³	0 1922	40 1870	60 1844	100 1792	-	-	61	Полином Лагранжа
1.8	NaOH (10 %-ный)	t_i,°С r, кг/м³	0 1117	40 1100	80 1077	120 1049	-	-	73	2-я интерполяционная формула Ньютона
1.9	Аммиак жидкий	t_i,°С r, кг/м³	-20 665	0 639	20 610	40 580	-	-	14	1-я интерполяционная формула Ньютона
1.10	Двуокись серы	t_i,°С r, кг/м³	0 1434	20 1383	40 1327	60 1264	80 1193	100 1111	26	1-я интерполяционная формула Ньютона
1.11	Бутиловый спирт	t_i,°С r, кг/м³	-20 838	0 824	20 810	40 795	60 781	100 751	42	Полином Лагранжа
1.12	NaOH (20 %-ный)	t_i,°С r, кг/м³	0 1230	20 1219	60 1196	80 1183	120 1155	-	73	Полином Лагранжа
1.13	NaOH (40 %-ный)	t_i,°С r, кг/м³	0 1443	20 1430	40 1416	60 1403	80 1389	100 1375	15	2-я интерполяционная формула Ньютона

Окончание прил. 3

Номер варианта	Вещество	Табличные зависимости							Заданная температура	Метод интерполирования
Номер варианта	Вещество	i	1	2	3	4	5	6	Заданная температура	Метод интерполирования
2.1	Анилин	t_i,°С r, кг/м³	0 1039	20 1022	40 1004	60 988	-	-	55	Полином Лагранжа
2.2	Ацетон	t_i,°С r, кг/м³	-20 835	0 813	20 791	40 768	-	-	12	1-я интерполяционная формула Ньютона
2.3	Этиловый эфир	t_i,°С r, кг/м³	-20 758	0 736	20 714	40 689	60 667	-	34	1-я интерполяционная формула Ньютона
2.4	Бензол	t_i,°С r, кг/м³	0 900	20 879	40 858	60 636	80 815	-	11	2-я интерполяционная формула Ньютона
2.5	Бутиловый спирт	t_i,°С r, кг/м³	-20 838	40 795	60 781	80 766	-	-	34	Полином Лагранжа
2.6	Дихлорэтан	t_i,°С r, кг/м³	-20 1310	20 1254	40 1224	60 1194	80 1163	100 1133	45	Полином Лагранжа
2.7	Вода	t_i,°С r, кг/м³	0 1000	20 998	40 992	60 983	80 972	-	24	1-я интерполяционная формула Ньютона
2.8	Хлорбензол	t_i,°С r, кг/м³	-20 1150	0 1128	20 1107	40 1085	60 1065	80 1041	45	1-я интерполяционная формула Ньютона
2.9	Хлороформ	t_i,°С r, кг/м³	20 1489	40 1450	60 1411	80 1380	100 1326	120 1280	56	2-я интерполяционная формула Ньютона
2.10	Этилацетат	t_i,°С r, кг/м³	-20 974	0 924	20 901	40 876	80 825	-	24	Полином Лагранжа
2.11	Октан	t_i,°С r, кг/м³	-20 734	20 702	80 669	120 617	-	-	56	2-я интерполяционная формула Ньютона
2.12	Муравьиная кислота	t_i,°С r, кг/м³	20 1220	40 1195	60 1171	80 1147	100 1121	-	67	2-я интерполяционная формула Ньютона
2.13	Нитробензол	t_i,°С r, кг/м³	0 1223	40 1183	80 1143	100 1123	120 1103	-	35	Полином Лагранжа

Учебное издание

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ

Методические указания для выполнения лабораторной работы по дисциплине “Численные методы”

Для студентов специальностей 220400 и 220700

Составители ТИХОМИРОВ Сергей Германович,

ХАУСТОВ Игорь Анатольевич,

ХВОСТОВ Анатолий Анатольевич

Компьютерный набор и верстка И.А. Хаустов

ЛР № 020449 от 31.10.97. Подписано в печать

Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Ризография.

Усл. печ. л. 1,15. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет

инженерных технологий»

Участок оперативной полиграфии ФГБОУ ВПО «ВГУИТ»

Адрес академии и участка оперативной полиграфии:

394000 Воронеж, пр. Революции, 19

Дата добавления: 2023-01-08; просмотров: 31; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 23

Мы поможем в написании ваших работ!