Определение устойчивости САР по критерию Гурвица



Чтобы определить устойчивость САР по критерию Гурвица, необходимо вначале найти характеристическое уравнение замкнутой САР.

Передаточная функция разомкнутой системы получена выше:

Для замкнутой системы в случае единичной отрицательной обратной связи передаточная функция будет равна:

,

где знаменатель, приравненный к нулю, есть характеристическое уравнение для замкнутой САР, т.е.:

Определитель Гурвица составляется следующим образом. Все коэффициенты от а1 до а4 располагаются по главной диагонали в порядке возрастания индексов.

 

 

Вверх от главной диагонали в столбцах записываются коэффициенты характеристического уравнения с последовательно возрастающими, а вниз — с убывающими индексами. На месте коэффициентов, индексы которых больше 4, и меньше чем нуль, проставляются нули. Составляем определитель из коэффициентов характеристического уравнения:

 

 

Находим величины 2-го и предпоследнего (в нашем случае 3-го) определителей Гурвица

 

 

По критерию Гурвица система устойчива только тогда, когда все коэффициенты аi характеристического уравнения и все определители Гурвица Dп до n-1 порядка, где n-наибольшая степень характеристического уравнения, больше нуля.

Вывод.Так как определитель Гурвица Dn положительны, то согласно критерию Гурвица рассматриваемая САР устойчива.

Определение устойчивости САР по критерию Михайлова

Рассмотрим пример исследования замкнутой системы автоматического регулирования на устойчивость по критерию Михайлова.

Пусть имеется характеристический полином (знаменатель передаточной функции замкнутой САР) вида

.

Заменяем в этом полиноме оператор p на jω и выделяем действительную и мнимую части полученного выражения:

Теперь, задавая значения частоты ω от нуля до бесконечности в рад/с, находим значения действительной и мнимой частей вектора Михайлова М(jω), а затем по ним стоим годограф Михайлова (рисунок 3).

ω 0 0,04
Re(ω) 1 0 -8,8
Im(ω) 0 -135,8 0 -∞

 

Таблицу можно формировать так, чтобы находить только точки пересечения годографа Михайлова с действительной Re(ω) и мнимой Im(ω) осями комплексной плоскости.

 

 

 

Рисунок 5 - Годограф Михайлова, построенный для исследуемой САР

 

Вывод: Поскольку мы исследуем САР четвертого порядка и годограф Михайлова начал свое движение с положительной действительной оси (значение Re(0)=1), прошел против часовой стрелки три квадранта комплексной плоскости, нигде не петляя и не обратившись в нуль, а в третьем квадранте устремился в бесконечность, то замкнутая САР устойчива.

5. Разработка схем автоматического управления производственными процессами.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 368;