Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом: Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда a = c и b = d. Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число a + c + i(b + d). Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число ac – bd + i(ad + bc).

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i² = − 1):

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называетсядействительной, а Oy - мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (x = rcos φ, y = rsin φ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

z = r(cos φ + isin φ).

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

z = reⁱ^φ,

где eⁱ^φ — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

6)Извлечение корней из комплексных чисел

7) Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее некоторую функцию с ее производными. Решить дифференциальное уравнение — найти функции, при подстановке которых в уравнение оно обращается в тождество. Большинство физических законов записывается в виде дифференциальных уравнений. Примером дифференциального уравнения является второй закон Ньютона: F = ma

где сила F является функцией координат и времени, ускорение a = v'(t) = x''(t) — производная скорости и вторая производная координаты по времени.

8) Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

где функции P(t,x) и Q(t,x) определены и непрерывны в некоторой области .

9) 1.2.3. Утверждение об уравнении с разделенными переменными. Пусть в уравнении

f(x)dx = g(t)dt,

(3)

функции f и g на своих областях определения имеют первообразные F и G:

F′(x) = f(x) (x ∈ D(f)), G′(t) = g(t) (t ∈ D(g)).

(4)

Тогда уравнение (3) эквивалентно уравнению

F(x) = G(t) + C (x ∈ D¹).

(5)

Другими словами, (5) есть полный интеграл уравнения (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть область определения D(φ) функции x = φ(t) есть промежуток и φ есть решение уравнения (3). Это означает, что

[f(x)dx – g(t)dt]|_x _{= φ(t), dx = φ′dt} = 0 (t ∈ D(φ), dt ∈ R).

В силу условий (4) последнее равенство эквивалентно тождеству

d[F(x) – G(t)]|_x _{= φ(t), dx = φ′dt)]} ≡ 0 (t ∈ D(φ), dt ∈ R),

которое в силу инвариантности формы первого дифференциала, в свою очередь, эквивалентно соотношению

d[F(φ(t)) – G(t)] = 0 (t ∈ D(φ), φ ∈ D¹).

Наконец, последнее, очевидно эквивалентно тождеству

F[φ(t)] = G(t) + C (t ∈ D(φ), φ ∈ D¹),

означающему, что φ — решение (5).

Однородные уравнения

Функция называется однородной функцией своих аргументов измерения , если справедливо тождество .

Например, функция есть однородная функция второго измерения, так как

При имеем функцию нулевого измерения. Например, есть однородная функция нулевого измерения, так какДифференциальное уравнение вида называется однородным относительно и , если есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде

(1)

Вводя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:

Если есть корень уравнения , то решение однородного уравнения будет или (прямая, проходящая через начало координат).

11)Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения y'+3y=e^2x и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х=0, у=1.
Решение. Данное уравнение является линейным.
Здесь ρ(x)=3 и f(x)=e^2x.
Решение ищем в виде y=U∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U'υ+ Uυ' и подставляем в уравнение значениеy и y', получаем: U'υ+Uυ'+3Uυ=e^{2 x} или U'υ+U(υ'+3υ)= e^2x.
Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ'+3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем: ln υ =–3x,υ=e^–3x.
Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:

12)Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида y''+ρy'+qy=f(x), где ρ и q – вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:
y''+ρy'+qy=0, (1)
у которого правая часть f(x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.
Уравнение
K²+ρK+q=0 (2)
называется характеристическим уравнением данного уравнения (1).
Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К₁ и К₂.
Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D=ρ²–4q уравнения (2) следующим образом:
1. При D>0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К₁≠К₂), и общее решение имеет вид .
2. При D=0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К₁=К₂=К), и общее решение имеет вид:
3. Если D<0, то корни характеристического уравнения комплексные: , где – мнимая единица, и общее решение (К₁=α+βi, К₂=α–βi, β≠0), имеет вид y=e^αx(C₁ cosβx+C₂ sinβx).

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и некоторого частного решения неоднородного.

Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 426; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!