Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Уравнение
(1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции 
, т.е.
.
Теорема. Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой односвязной области 
изменения переменных 
и 
выполнялось условие
(2)
Общий интеграл уравнения (1) имеет вид 
или
ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Основные понятия
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде 
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной: 
16) Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).
Пусть 
— числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность
каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида
Вообще, для обозначения ряда используется символ 
поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.
В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:
|
|
|
§ числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;
§ числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм:
§ числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.
Если числовой ряд сходится, то предел S последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда: 
Признаки сходимости и расходимости рядов с неотрицательными членами.
Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм ограничена сверху.
18)Признак сравнения рядов с положительными членами. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами 
an и bn. Если существует натуральное число N такое, что неравенство an ≤ bn выполнено для всех n ≥ N, то из сходимости ряда bn следует сходимость ряда an, а из расходимости ряда an -расходимость ряда bn.
19) Признак Коши.
а) Если существует натуральное число N такое, что для числовой последовательности { 
}, построенной из членов ряда an, an ≥ 0, для всех n ≥ N выполняется неравенство ≤ q < 1 (q — фиксированное число, не зависящее отn), то ряд сходится; если для всех n ≥ N выполняется неравенство ≥ 1, то ряд расходится.
|
|
|
б) Если у последовательности { }, построенной из членов ряда an, an ≥ 0, существует 
= p, то ряд an сходится при p < 1 и расходится при p > 1.
При p = 1 предельный признак Коши не дает ответа на вопрос, сходится данный ряд или расходится.
19) Интегральный признак (Коши, Маклорен).
Пусть данный ряд имеет вид an = f (n), причем f (n) есть значение в точке x = n некоторой функции f (x), определенной при x ≥ n0. Если f (x) монотонно убывает и в области определения справедливо неравенство f (x) ≥ 0, то ряд an сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл 
f (x) dx.
20) Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:
Если для числового ряда
с неотрицательными членами существует такое число d, 0 < d < 1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство  , то данный ряд сходится.
21) Признак Даламбера.
а) Если существует натуральное число N такое, что для последовательности чисел qn =  , построенной из членов ряда an, an > 0, для всех n ≥ N выполняется неравенство ≤ q < 1 (q — фиксированное число, не зависящее отn), то ряд сходится; если для всех n ≥ N выполняется неравенство ≥ 1, то ряд an расходится.
б) Если последовательность , построенная из членов ряда an, an > 0, имеет некоторый предел n, =p, то при p < 1 ряд an сходится, а при p > 1 расходится (предельный признак Даламбера).
При p = 1 предельный признак Даламбера не дает ответа на вопрос, сходится данный ряд или расходится.
22) Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.: 
Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:
|
(монотонное невозрастание {an} по абсолютной величине)
1. 
.
Тогда этот ряд сходится.
23) Тейлора ряд, степенной ряд вида
|
|
|
, (1)
где f(x) — функция, имеющая при х = а производные всех порядков. Во многих практически важных случаях этот ряд сходится к f(x) на некотором интервале с центром в точке а:
(2)
(эта формула опубликована в 1715 Б. Тейлором). Разность Rn(x) = f(x) — Sn(x),где Sn(x) — сумма первых n + 1 членов ряда (1), называется остаточным членом Т. р. Формула (2) справедлива, если 
.
24) Маклорена ряд, исторически неправильное название (по имени К. Маклорена) степенного ряда вида:
|
|
|
,
где f(0), f’(0), f”(0), ..., f(n)(0),... – значения заданной функции f(x) и её последовательных производных при х = 0.Этот ряд был получен ранее Маклорена английским математиком Б. Тейлором (опубликовал 1715), что было известно и самому Маклорену. М. р. есть частный случай Тейлора ряда.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 685; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!