Основные результаты исследования систем с очередями



 

Любая работающая queueing system может находиться в двух состояниях, показанных на рисунке 14.4. Эти состояния определяют эффективность системы с очередями.

 

 

Рис. 14.4. Два состояния системы массового обслуживания

 

Для планирования телекоммуникационной сети очень важными характеристиками систем с очередями являются:

  • среднее время задержки,

· квантиль функции распределения времени задержки.

Именно эти два показателя нормируются в рекомендациях ITU-T и в стандартах ETSI. Для решения иных задач, не входящих в процесс планирования сети, представляют интерес и другие характеристики queueing system.

Среднее значение длительности задержки определяется такой суммой:

                                                                                 (14.10)

Первое слагаемое – среднее значение длительности ожидания начала обслуживания заявок. Второе слагаемое – среднее значение длительности обслуживания заявок. Очевидно, что основные сложности связаны с расчетом величины , то есть первого слагаемого.

Преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения длительности задержки заявок вычисляется следующим образом:

                                                                           (14.11)

В этой формуле основные сложности связаны с первым сомножителем, который представляет собой преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения длительности ожидания начала обслуживания заявок.

Для вычисления  в системах  была получена формула Поллячека-Хинчина:

                                                                                        (14.12)

где:

  •  – интенсивность входящего трафика,
  •  – второй момент времени занятия,
  •  – нагрузка системы.

Величина  может быть вычислена по первому моменту  и соответствующему коэффициенту вариации :

.                                                                                 (14.13)

Нагрузка системы равна . Иногда вместо величины  используется интенсивность обслуживания . Она связана с  простым соотношением: . Учитывая формулу (14.12), получаем:

.                                                                                     (14.14)

Для системы . Следовательно:

,                                                                (14.15)

Для системы . Следовательно:

,                                                     (14.16)

Средние значения длительности ожидания и задержки заявок при  возрастают до бесконечности. Типичное поведение величины  как функции  показано на рисунке 14.5.

 

 

Рис. 14.5. Среднее время задержки как функция загрузки системы

 

Для систем с ожиданием все основные результаты были получены при соблюдении следующего условия:

.                                                                                                       (14.17)

Оценка квантиля подразумевает получение выражения для расчета функции распределения . Для системы  искомое выражение имеет такой вид:

.                                                                                    (14.18)

Для модели  функция распределения длительности ожидания была получена Кроммелином (C.D. Crommelin). Обычно, результаты расчета функции  представляются в графической форме. Они известны как кривые Кроммелина. Формула для вычисления  при  представима в следующей форме:

.                                                   (14.19)

Квадратные скобки над знаком суммы указывают на тот факт, что определяется целая часть от результата деления  на . Функция  для модели  определяется очевидным соотношением:

.                                                                   (14.20)

Для системы  было получено уравнение Поллячека-Хинчина, позволяющее определить преобразование Лапласа-Стилтьеса для функций  и :

.                        (14.21)

 

Выражения (14.21) позволяют найти любые моменты длительности ожидания и задержки заявок. Получить соответствующие функции распределения для большинства моделей очень сложно.

Практический интерес связан с определением характеристик систем с очередями, состоящих из нескольких фаз обслуживания. В силу аддитивности математического ожидания среднее значение суммарной задержки  заявок, проходящих через  фаз обслуживания, определяется следующим образом:

.                                                                                           (14.22)

Величина  – среднее значение времени задержки заявок на  фазе обслуживания. Предполагается, что времена задержки заявок на всех фазах являются взаимно независимыми случайными величинами. Для этого же предположения суммарная функция распределения времени задержки заявок  определяется через преобразования Лапласа-Стилтьеса :

.                                                                          (14.23)

В этой формуле  – преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения времени задержки заявок на  фазе обслуживания.

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 320;