Обобщение закона полного тока
|
Рис. 3.1 |
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля 
по замкнутому контуру 
равна полному току, протекающему через поверхность 
, ограниченную контуром (рис. 3.1 )
,
где 
- объемная плотность тока проводимости; 
- объемная плотность стороннего тока; 
- вектор электрического смещения.
Дифференциальная форма записи этого уравнения имеет вид
,
где 
- объемная плотность смещения.
Введение тока смещения связало уравнения Максвелла в систему, решением которой в общем случае является электромагнитная волна.
Второе уравнение Максвелла - обобщение закона
Электромагнитной индукции Фарадея
Циркуляция вектора напряженности электрического поля 
по замкнутому контуру равна скорости изменения магнитного потока 
, взятой с обратным знаком: 
.
При изменении магнитной индукции 
или деформации и перемещении проводящего контура в нем возникает ЭДС индукции. Дифференциальная форма записи этого уравнения 
.
Изменение магнитного поля во времени ( 
) вызывает появление вихревого электрического поля в пространстве.
Третье уравнение Максвелла - теорема о потоке вектора
Электрической индукции
|
Рис. 3.2 |
Поток вектора электрической индукции сквозь замкнутую поверхность равен полному заряду 
, находящемуся в объеме 
, ограниченном поверхностью (рис. 3.2):
,
где 
- объемная плотность заряда; 
- внешняя нормаль к поверхности.
Дифференциальная форма записи этого уравнения 
. Источником силовых линий электрического поля являются электрические заряды.
Четвертое уравнение Максвелла -
Закон непрерывности магнитного поля
Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю: 
.
В дифференциальной форме 
. В природе нет магнитных зарядов, которые являлись бы источниками или стоками силовых линий магнитного поля, поэтому магнитные силовые линии поля всегда замкнуты.
К основным принципам электродинамики относится закон сохранения заряда 
или 
. Минус обозначает, что при вытекании тока из объема заряд в последнем уменьшается.
Дифференциальная форма записи этого уравнения:
.
Материальные уравнения: 
, 
.
Обобщенный закон Ома: 
, где 
- удельная проводимость среды.
|
|
|
Задачи
3.1. Определить циркуляцию векторов и по контуру с координатами (0, 0); (0, 1); (1, 1); (1, 0), если плотность тока проводимости 
, 
^ плоскости 
; плотность тока смещения 
; 
.
3.2. Определить циркуляцию векторов и по контуру (см. 3.1), если объемная плотность тока проводимости 
, а вектор электрического смещения 
.
3.3. Квадратная рамка со стороной 
= 1 м находится в поле 
. Магнитная проницаемость среды 
, плоскость рамки перпендикулярна к . Определить ЭДС, наведенную в рамке.
3.4. Дано 
. Доказать, что для переменных во времени полей в однородной изотропной среде без свободных токов и зарядов ^ . Считая 
, показать, что ^ .
|
+ + + +
+ + + +
Рис. 3.3 |
3.5. Проводник длиной 
движется со скоростью 
в равномерном магнитном поле, напряженность которого равна , пересекая силовые линии под углом 
. Вычислить ЭДС между концами проводника (рис. 3.3).
3.6. Вычислить напряженность магнитного поля 
, где 
- расстояние от оси прямолинейного бесконечного проводника, по которому протекает ток 
.
|
|
|
|
Рис. 3.4 |
3.7. Пластины плоского конденсатора, подключенного к источнику ЭДС 
= const, сближаются со скоростью 
. Вычислить плотность тока смещения и величину тока во внешней цепи, если площадь пластин , а расстояние между пластинами при 
= 0 равно 
. Краевой эффект не учитывать.
3.8. В однородном магнитном поле с напряженностью вращается прямоугольная плоская рамка со скоростью 
. Длина сторон равна и 
, число витков 
, магнитная проницаемость среды , 
- число оборотов в секунду. Вычислить ЭДС в рамке (рис. 3.4).
3.9. Напряженность поля в некоторой области меняется по закону 
, 
, 
; 
. Найти объемную плотность заряда в данной области, если 
.
3.10. Некоторое тело с диэлектрической проницаемостью 
и проводимостью в момент времени имеет плотность заряда 
. Oпpeделить, за какое время во внутренней части тела объемная плотность заряда уменьшится вдвое. Нарушается ли закон сохранения заряда?
3.11. Задано поле :
|
|
|
где 
- радиус-вектор. Найти распределение зарядов, образовавших такое поле.
3.12. В некоторой области с диэлектрической проницаемостью 
задано поле 
. Вычислить объемную плотность заряда.
3.13. В проводящей среде с проводимостью = 8 См/м постоянный ток создает магнитное поле 
. Определить электрическое поле в среде.
3.14. Задано поле 
. Показать, что оно не может быть ни электрическим, ни магнитным.
3.15. В свободном пространстве ( 
) задано электромагнитное поле своими составляющими 
, 
. При каких значениях 
и 
это поле удовлетворяет уравнениям Максвелла.
3.16. Показать, что электромагнитное поле в вакууме 
, 
, 
ни при каких и не удовлетворяет уравнениям Максвелла.
Рис. 3.5 |
3.17. Самолет летит горизонтально, со скоростью =200 м/с. Вычислить разность потенциалов между концами крыльев, если расстояние между ними 30 м, а вертикальная составляющая напряженности магнитного поля земли 
= 0,02 А/м. Можно ли построить прибор, измеряющий таким образом скорость самолета?
3.18. По бесконечному прямолинейному проводнику протекает постоянный ток . Плоская рамка (рис. 3.5) удаляется от проводника со скоростью . Вычислить ЭДС в рамке, если число витков в ней равно , а параметры среды , 
.
3.19. При какой частоте отношение плотностей токов смещения и проводимости в меди ( 
=5,7×107 См/м, 
) будет таким же, как и в сухой почве ( 
= 10-4 См/м, 
= 2 ) на частоте 
= 103 Гц?
3.20. Определить частоту 
, при которой амплитуды объемной плотности тока смещения и плотности тока проводимости будут равны:
1) среда - медь ( =57×106 См/м; 
=1); 2) среда - морская вода ( 
=4 См/м; =80); 3) среда - фарфор ( 
=10-13 См/м; = 6).
3.21. Вычислить, на какой частоте плотности токов смещения и проводимости будут одинаковыми в среде с =10-2 См/м, 
.
|
+ + + +
+ + + +
+ + + +
Рис. 3.6 |
3.22. Жесткий провод, согнутый в полукруг радиусом , вращается с угловой скоростью 
в однородном магнитном поле . Чему равны частота и амплитуда напряжения и тока, наведенного в проводнике, если внутреннее сопротивление вольтметра равно 
, a сопротивление остальных частей цепи пренебрежимо мало? Предположить, что поле, создаваемое током, мало по сравнению с полем (рис. 3.6).
3.23. По прямолинейному проводнику протекает ток 
(рис. 3.7). Вычислить ЭДС, наведенную в рамке, состоящей из 10 витков, если = 0,5 м; =5 см; =10 см; 
=1 A; =103 1/с. Паpаметpы окружающей сpеды:, .
|
+ + + +
+ + + + + + + +
Рис. 3.8
|
|
Рис. 3.7 |
3.24. Металлический стержень длиной вращается с угловой скоростью в однородном магнитном поле . Вычислить ЭДС в стержне (рис. 3.8).
4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Граничные условия - это форма уравнений Максвелла для точек, принадлежащих граничной поверхности, в которых параметры среды меняются скачком. В этих точках уравнения Максвелла в дифференциальной форме теряют смысл и должны быть дополнены условиями, определяющими поведение векторов поля при переходе через границу раздела сред.
Граничные условия получаются из интегральных уравнений Максвелла с использованием предельных переходов. Исходя из первого уравнения Максвелла, определяющего циркуляцию напряженности магнитного поля
, (4.1)
получают граничные условия для касательных составляющих вектора
или 
, (4.2)
где 
- единичный вектор нормали к поверхности раздела, направленный в первую среду.
Это означает, что разность между касательными составляющими вектора 
на границе раздела сред равна поверхностному току; при отсутствии последнего
, (4.3)
т.е. составляющие непрерывны.
Исходя из второго уравнения Максвелла, определяющего циркуляцию напряженности электрического поля
, (4.4)
получают граничные условия для касательных составляющих напряженности электрического поля
или 
, (4.5)
которые на границе раздела сред непрерывны.
Третье уравнение Максвелла, определяющее поток вектора электрического смещения
, (4.6)
позволяет получить граничные условия для нормальных компонент вектора 
или 
. (4.7)
Аналогично из четвертого уравнения Максвелла о потоке вектора магнитной индукции
(4.8)
получаются граничные условия для нормальных составляющих вектора
или 
. (4.9)
Записанные выше граничные условия являются основными, они получаются непосредственно из уравнений Максвелла. Граничные условия для составляющих 
, 
, 
и 
получают, используя соотношения (4.2), (4.5), (4.7), (4.9) и материальные уравнения состояния среды
, . (4.10)
Задачи
4.1. По границе раздела сред протекает ток 
. В первой среде = 0. Определить магнитное поле во второй среде вблизи поверхности.
4.2. По плоской поверхности раздела металл-диэлектрик течет поверхностный ток 
. Определить уравнения силовых линий вектора 
.
4.3. У поверхности раздела двух сред задано значение вектора 
( 
и 
). Определить вектор 
у поверхности в первой среде при условии, что поверхностный ток отсутствует ( = 0) (рис. 4.1).
|
Рис. 4.1 Рис. 4.2 |
4.4. У поверхности раздела двух сред задано значение вектора 
( 
и ). Определить вектор 
у поверхности в первой среде, если на границе раздела отсутствуют свободные заряды ( 
=0) (рис. 4.2).
4.5. Среды разделены заряженной поверхностью, и в одной из них поле отсутствует. Каково электрическое поле в другой среде, если поверхностная плотность заряда 
, а диэлектрическая проницаемость второй среды 
?
4.6. Определить, по какому закону преломляются силовые линии вектора при переходе из среды с параметрами , в среду с параметрами 
, 
. Показать, что силовые линии на входе и выходе плоскопараллельной пластины параллельны (рис. 4.3).
4.7. Среды различаются магнитными проницаемостями (рис. 4.4). Какая из сред имеет большую магнитную проницаемость, если силовые линии идут, как показано на рис. 4.4.
|
 Мы поможем в написании ваших работ! |
