Некоторые формулы векторной алгебры

Стр 1 из 2Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

А.И. БАКУЛИН, Б.В. КАГАЛЕНКО,

Н.И. ШАМЕЕВА, Г.Г. ЮМАШЕВА

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Рязань 2005

Министерство образования и науки Российской Федерации

Рязанская государственная радиотехническая академия

А.И. БАКУЛИН, Б.В. КАГАЛЕНКО,

Н.И. ШАМЕЕВА, Г.Г. ЮМАШЕВА

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Учебное пособие

Рязань 2005

УДК 538.3

Сборник задач по электродинамике: Учеб. пособие / А.И.Бакулин, Б.В.Кагаленко, Н.И.Шамеева, Г.Г.Юмашева; Рязан. гос. радиотехн. акад. Рязань, 2005. 80 с. ISBN 5-7722-0076-3.

Настоящее учебное пособие дополняет лекционный материал по курсу "Электродинамика и распространение радиоволн". Содержит двенадцать разделов, представленных задачами, а также соответствующими формулами и определениями.

В разделе "Приложения" даны основные единицы измерения физических величин по международной системе единиц (СИ), классификация электромагнитных волн, сводка применений дифференциального оператора, корни функций Бесселя, приведены ответы и библиографический список.

Предназначено для студентов дневной и вечерней форм обучения специальностей 200700, 201000, 201200, 201600, 230200.

Табл. 9. Ил. 67. Библиогр.: 7 назв.

Электродинамика, поле, волновод, резонатор, вибратор

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанской государственной радиотехнической академии.

Рецензент: кафедра РУС Рязанской государственной радиотехнической академии (зав. кафедрой проф. С.Н.Кириллов)

Б а к у л и н Анатолий Иванович

К а г а л е н к о Борис Васильевич

Ш а м е е в а Нелли Измайловна

Ю м а ш е в а Галина Гавриловна

Сборник задач по электродинамике

Редактор Р.К. Мангутова

Корректор С.В.Макушина

Подписано в печать 26.04.05. Формат бумаги 60х84 1/16.

Бумага газетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 5,0.

Уч.-изд. л. 5,0. Тираж 150 экз. Заказ

Рязанская государственная радиотехническая академия.

390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.

Редакционно-издательский центр РГРТА.

ISBN 5-7722-0076-3 © Рязанская государственная

радиотехническая академия, 2005

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Обозначение координат и единичных векторов

- декартовы координаты;

- единичные векторы в декартовых координатах;

- цилиндрические координаты;

- единичные векторы в цилиндрических координатах:

- сферические координаты;

- единичные векторы в сферических координатах.

Обозначения величин

- векторный потенциал поля;

- магнитная индукция, Тл;

- электрическая емкость, Ф;

- скорость света (3×10⁸ м/с);

- электрическое смещение, Кл/м²;

- напряженность электрического поля, В/м;

- электродвижущая сила, В;

- частота, Гц;

- напряженность магнитного поля, А/м;

- сила тока, А;

- объемная плотность тока, А/м²;

- поверхностная плотность тока, А/м;

- линейная плотность тока, А;

- индуктивность, Гн;

- взаимная индуктивность, Гн;

-мощность, Вт;

- добротность;

- объемная плотность заряда, Кл/м³;

- поверхностная плотность заряда, Кл/м²;

- линейная плотность заряда, Кл/м;

- радиус-вектор;

- текущее значение paдиyca в сферической системе координат;

- электрическое сопротивление, Ом;

- удельное поверхностное сопротивление, Ом;

- период, с;

- время, с;

- электрическое напряжение, разность потенциалов, В;

- фазовая скорость электромагнитной волны, м/с;

- групповая скорость электромагнитной волны, м/с;

- энергия, Дж;

- волновое сопротивление, Ом;

- характеристическое сопротивление, Ом;

- коэффициент затухания, 1/м;

- коэффициент фазы, 1/м;

- удельная проводимость, См/м;

- диэлектрическая проницаемость (относительная);

- электрическая постоянная (1/120 ), Ф/м;

- абсолютная диэлектрическая проницаемость, Ф/м;

- длина волны, м;

- длина волны в волноводе, м;

- магнитная проницаемость (относительная);

- магнитная постоянная (120 /с), Гн/м;

- абсолютная магнитная проницаемость, Гн/м;

- коэффициент распространения волны, 1/м;

- вектор Пойнтинга, Вт/м²;

Ф - магнитный поток, Вб;

- потенциал (скалярный), В;

- магнитное потокосцепление, Вб;

- круговая частота, рад/с;

- коэффициенты отражения;

- коэффициенты прохождения.

1. ВЕКТОРЫ

Некоторые формулы векторной алгебры

Скалярное произведение векторов и :

где - угол между направлениями и .

Векторное произведение векторов и

где - единичный вектор нормали к плоскости векторов и , причем , и образуют «правую тройку» векторов.

В краткой записи

Векторное произведение некоммутативно .

Векторно-скалярное (смешанное) произведение , и

Двойное векторное произведение векторов , и

Операции векторного анализа

Для математического описания физического состояния точек пространства вводят понятия скалярных и векторных полей.

Одной из характеристик скалярного поля является градиент ( ) - вектор, показывающий величину и направление наибыстрейшего возрастания скалярного поля.

Направление градиента всегда перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности (поверхности равного уровня) и параллельно касательной к силовой линии поля в данной точке.

В декартовой системе координат

Дифференциальными характеристиками векторного поля являются скалярная величина - дивергенция ( ) и векторная величина - ротор ( ).

Значение дивергенции равно плотности источников рассматриваемого поля в заданной точки пространства.

Дивергенцию векторного поля вычисляют путем дифференцирования его проекций по соответствующим координатам.

В декартовой системе координат

в цилиндрической системе

в сферической системе координат

В декартовой системе координат

Если =0, то поле является потенциальным. Векторное поле , удовлетворяющее во всех точках рассматриваемой области условию =0, называется соленоидальным.

Соответствующими интегральными характеристиками векторного поля являются поток через замкнутую поверхность и циркуляция вектора .

Потоком вектора сквозь замкнутую поверхность называется интеграл вида .

Циркуляцией вектора по замкнутому контуру независимо от физического смысла вектора называется интеграл вида .

Поток и циркуляция - величины скалярные. В частном случае, когда вектор имеет смысл вектора силы, указанный интеграл выражает работу силы по контуру .

Дифференциальные операции со скалярными и векторными полями удобно записывать с помощью оператора Гамильтона . Применительно к скалярному полю ; относительно векторного поля , .

Из дифференциальных операций второго порядка в электродинамике часто используется оператор Лапласа . Для скалярного поля , для векторного поля .

Оператор Лапласа в различных координатных системах записывается следующим образом:

в декартовой системе

в цилиндрической системе

в сферической системе координат

Графически векторные поля изображают с помощью силовых линий. В каждой точке силовой линии вектор поля касателен к ней. Густота силовых линий соответствует интенсивности поля. Дифференциальное уравнение силовых линий в декартовой системе координат имеет вид:

Для решения задач векторного анализа часто бывает удобно пользоваться формулой Грина ,

теоремой Стокса ,

теоремой Остроградского-Гаусса .

Задачи

1.1. Найти сумму и разность двух векторов и :

; .

Показать, что эти векторы ортогональны.

1.2. Доказать коллинеарность векторов и :

; .

1.3. Найти скалярное, векторное произведения и угол между векторами и : ; .

1.4. Найти уравнение силовой линии вектора .

1.5. Построить поле радиус-вектора .

1.6. Построить поле вектора .

1.7. Найти уравнение линии вектора .

1.8. Задан потенциал .

Найти градиент этого потенциала. Какую форму будyт иметь эквипотенциальные поверхности?

1.9. Даны векторы и :

; .

Найти градиент скалярного произведения этих векторов.

1.10. Подсчитать поток радиус-вектора сквозь полную поверхность прямого круглого цилиндра радиусом основания , высотой .

1.11. Найти дивергенцию вектора = , где

, .

1.12. Найти дивергенцию векторного произведения полей и .

1.13. Найти дивергенцию вектора , где .

1.14. Скалярное поле задано в декартовой системе координат выражением . Вычислить векторное поле .

1.15. Найти циркуляцию вектора по окружности .

1.16. Вычислить циркуляцию радиус-вектора по окружности .

1.17. Подсчитать циркуляцию вектора

по периметру треугольника с координатами вершин (1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0).

(0, 0) (0, 2)

(2, 0) (2, 2)

Рис. 1.1

1.18. Задан вектор . Вычислить по окружности .

1.19. Найти циркуляцию вектора по контуру . Вычислив поток вектора через поверхность, ограниченную контуром , убедиться в справедливости теоремы Стокса (рис. 1.1).

1.20. Проверить, каким является поле : соленоидальным или потенциальным?

1.21. Найти ротор вектора .

1.22. Найти дивергенцию ротора вектора (задача 1.21).

1.23. Задан вектор . Вычислить через замкнутую поверхность S: .

1.24. Найти дивергенцию вектора

Вычислить интеграл , где - объем куба с ребром, равным единицe длины, и вершиной в начале координат. Определив поток вектора через поверхность куба, убедиться в справедливости теоремы Остроградского-Гаусса.

1.25. Вычислить поток радиус-вектора через поверхность сферы радиусом .

1.26. Определить дивергенцию и ротор вектора , характеризуемого следующими составляющими в цилиндрической системе координат: ; ; .

1.27. Найти поток вектора сквозь сферическую поверхность радиусом . Центр сферы совпадает с точкой .

1.28. Доказать, что . Для доказательства использовать формулу векторной алгебры

2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ:

ЗАРЯДЫ, ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ, ВЕКТОРЫ

Электромагнитное поле - это особый вид материи, способный распространяться в вакууме со скоростью света и оказывающий силовое воздействие на заряженные частицы. Оно представляет собой единство двух составляющих - электрического и магнитного полей. Основными характеристиками электромагнитного поля являются заряды, электрические токи, векторы поля.

Заряды

Объемное распределение зарядов характеризуется объемной плотностью . Размерность =Кл/м³.

Полный заряд, сосредоточенный в объеме , .

Поверхностное распределение зарядов характеризуется поверхностной плотностью заряда . Размерность =Кл/м².

Полный заряд поверхности .

Связь между поверхностной и объемной плотностями зарядов

где - толщина слоя заряженной поверхности.

Линейное распределение зарядов характеризуется линейной плотностью зарядов . Размерность =Кл/м.

Полный заряд нити .

Полный заряд системы точечных зарядов равен сумме

Электрические токи

Движущиеся заряды образуют электрический ток. Сила тока

. Размерность =А.

Элемент тока , где - вектор скорости движения заряда.

Различают несколько видов распределения токов. Объемное распределение тока характеризуется вектором объемной плотности тока . Размерность =А/м².

Сила тока, протекающего через некоторую поверхность ,

Направление вектора совпадает с направлением движения положительных зарядов.

Рис. 2.1

Поверхностное распределение тока характеризуется вектором поверхностной плотности тока . Размерность =А/м.

Рис. 2.1

Сила тока, текущего по поверхности (рис. 2.1) , где - линия, перпендикулярная к линиям тока, текущего по поверхности. Линейный ток характеризуется линейной плотностью электрического тока .

Размерность =А.

Сила тока, текущего по нити, равна по величине линейной плотности тока: .

Векторы поля

Электромагнитное поле определено, если в каждой точке пространства известны величины и направления четырех векторов: - напряженности электрического поля, - электрического смещения (индукции), - напряженности магнитного поля, - магнитной индукции.

Векторы и являются функциями только источников поля и не зависят от параметров среды , . Векторы и характеризуют силу, с которой поля действуют на заряды. Они зависят от параметров среды: ; . Количественная характеристика электрического поля экспериментально установлена законом Кулона, определяющим силу взаимодействия между точечными зарядами, находящимися в однородной среде: , где - единичный вектор, направленный от первого заряда ко второму; - cилa, действующая со стороны заряда на заряд ; - расстояние между зарядами; - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды; , где - диэлектрическая проницаемость вакуума; - относительная диэлектрическая проницаемость среды. Коэффициент показывает, во сколько раз сила взаимодействия между зарядами в данной среде меньше, чем в вакууме.

Напряженность электрического поля равна силе, с которой поле действует на единичный положительный точечный заряд, внесенный в это поле.

Размерность напряженности .

Напряженность поля точечного заряда .

В каждой точке пространства вектор поля точечного заряда направлен по прямой, соединяющей заряд с точкой наблюдения. Графически электрическое поле изображают с помощью силовых линий, густота которых пропорциональна величине напряженности поля.

Размерность вектора электрического смещения =Кл/м².

Единица измерения магнитной индукции =Вб/м²=Тл.

Размерность вектора напряженности магнитного поля . Здесь - абсолютная магнитная проницаемость среды; , где - относительная магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз сила взаимодействия между токами в данной среде больше, чем в вакууме; - магнитная проницаемость вакуума.

Сила взаимодействия между проводниками с током устанавливается законом Ампера , где сила, действующая со стороны элемента тока на элемент тока ; - расстояние между элементами тока.

Одинаково направленные элементы тока притягиваются, а направленные в противоположные стороны - отталкиваются.

Рис. 2.2

Соотношение носит название закона Био-Савара.

Вектор магнитной индукции по величине равен силе, действующей на единичный элемент тока, а его направление перпендикулярно к этой силе и элементу тока (рис. 2.2). Векторы , и образуют правую тройку векторов.

Задачи

2.1. Шар радиусом заряжен с объемной плотностью . Hайти полный заряд шара .

Рис. 2.3

2.2. Нить длиной имеет линейную плотность заряда . Вычислить полный заряд нити при ; ; .

2.3. Шар радиусом заряжен с объемной плотностью . Вычислить полный заряд шара .

2.4. Сфера радиусом , имеющая поверхностную плотность заряда , вращается со скоростью вокруг оси, проходящей через ее центр. Вычислить поверхностную плотность тока и полный ток I на ее поверхности (рис. 2.3).

Рис. 2.4

2.5. Цилиндр радиусом , высотою , имеющий поверхностную плотность заряда , вращается вокруг оси со скоростью . Вычислить силу тока на боковой поверхности цилиндра.

2.6. Бесконечно тонкий диск радиусом , заряженный с плотностью , вращается вокруг оси со скоростью . Вычислить поверхностную плотность тока и полный ток на поверхности диска (рис. 2.4).

2.7. Вычислить силу взаимодействия на единицу длины двух параллельных бесконечных нитей, равномерно заряженных с линейной плотностью и и расположенных на расстоянии в однородной среде с диэлектрической проницаемостью .

а б

в г

Рис. 2.5

2.8. Сравнить и для следующих комбинаций элементов токов (рис. 2.5).

Указание: использовать формулу векторной алгебры для двойного векторного произведения .

2.9. Электрон с зарядом = -1,6×10^-19 Кл и массой = =9,11×10^-28 г, летящий вдоль оси со скоростью = 10⁺⁷ м/с, попадает в зону, где одновременно существуют электрическое и магнитное поля ; =10⁺⁶ В/м; ; =4×10^-2 Bб/м.

Определить направление и величину силы, воздействующей на электрон, и его ускорение.

2.10. Определить силу взаимодействия на единицу длины двух бесконечных параллельных проводов с токами =2 А и =5 А, протекающими в одном направлении. Провода находятся в воздухе, расстояние между ними d=10 см.

2.11. Рамка с током = 0,2 А, площадью =10 см², состоящая из=50 витков, находится в воздухе в однородном магнитном поле напряженностью =300 кА/м. Угол между нормалью рамки и составляет 50 ⁰. Определить момент пары сил, воздействующих на рамку.

2.12. По круглому цилиндрическому проводнику диаметром 4 мм протекает ток величиной 1,5 А. Провод выполнен из меди. Определить тангенциальную составляющую вектора напряженности электрического поля на поверхности проводника.

3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Классическая теория электромагнетизма основывается на уравнениях Максвелла, являющихся обобщением опытных данных, полученных при изучении электромагнитных явлений.

Первое уравнение Максвелла –

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 659; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!