Целые, рациональные, вещественные, комплексные числа



Я думал, что напишу короткий текст-набросок, но как обычно накатал гигантскую простыню. Здесь фактически объединено три темы: примерная программа по математике для среднего школьника (гуманитария или инженера, но не математика), методические рекомендации по тому как выбирать книги и темы для чтения, как относиться к задачам и доказательствам, а так же набор задач для самостоятельной проверки собственных знаний. Если вам интересны лишь отдельные эти темы, то вы можете проматывать до соответствующего параграфа, поскольку я отлично понимаю, что осилить весь текст целиком — сложно и большинству скучно. В то же время я убеждён, что именно отдельные фрагменты текста могут быть полезны многим читателям.

Мне постоянно, практически каждый день, присылают один и тот же вопрос: «Как изучить математику с самого начала?». Проблема обычно у всех одна и та же: в школе не учил, в институте не понял, наверстать не получается. Либо в институте даже нормально учился, был уверен, что его хорошо и правильно учат мудрые профессора в каком-нибудь МИФИ или Бауманке, решал интегралы и пределы, но как только после института столкнулся с реальной математикой в какой-то не совсем тривиальной задаче, понял наконец, что учили не тому и не так.

Я много писал о том, что у нас математике правильно почти нигде не учат, многие воодушевились, и решили математику таки изучать, попутно задавая мне вопросы. И тут выясняется, что как её учить не понятно: есть много хороших университетских учебников, но нет ничего хорошего по начальному курсу. Я эту проблему многократно обозначал, но не наметил никаких ориентиров как её преодолеть желающим. Начал писать свой учебник, но он получился слишком сложным и теоретическим (вплоть до того, что за сотню с лишним страниц я даже не успел ввести понятие натурального числа).

В этой заметке я постараюсь дать максимально подробное изложение того, как изучать математику с нуля так, чтобы потом можно было браться за университетские учебники, а заодно изложу в каких направлениях вообще стоит двигаться и в каких случаях.

Свой план изучения математики я разбиваю на подпункты, к каждому из которых прилагается три задачи, которые вы должны уметь решать. Это не совсем простые задачи, но если вы понимаете материал, то вы должны справиться. Это так же может быть хорошим тестом для обучающихся в технических ВУЗах — если вы успешно учитесь, но не можете решить хотя бы половины приведенных задач, значит вы однозначно учитесь не тому.

Источники

По школьному курсу я не знаю ни одной хорошей книги. Есть отдельные хорошие брошюры МЦНМО, ориентированные главным образом для 57-ой школы и подобных заведений, но они часто либо совсем узконаправленные, либо сложные для неподготовленного. Почитать их может быть интересно, они все составляются очень хорошими грамотными людьми, но надо понимать, что ориентированы они на тех, из кого есть шанс вырастить математика-теоретика, и у кого есть на это время. Если вы студент престижного инженерного ВУЗа и вынуждены каждый день решать интегралы, пределы, дифуры и урматы, либо вообще работаете по 8 часов в день, у вас скорее всего не будет времени в них углубляться. То есть путь чтения МЦНМО-шных книг хоть и правилен с методической точки зрения, но скорее всего не подойдёт большинству читателей.

Наверное самый быстрый и правильный путь наверстать школьную программу — это иметь перед глазами ориентировочную адекватную программу того что надо учить и какие области необходимо затронуть. Придерживаясь такой программы, необходимо искать информацию по каждой отдельной теме в Интернете. Часто хорошим источником становится Википедия, но далеко не всегда. Тогда может помочь Гугл, какие-то учебники либо ресурсы типа math.stackexchange.com. Такую примерно программу я сейчас и предлагаю читателю. Ниже излагается краткий перечень того, что необходимо изучить, в каком порядке и в каком виде, а так же что из чего выводится. По замыслу это должно стать хорошим ориентиром для тех, кто хочет самостоятельно наверстать математику, которую он плохо понимает.

Обозначу сразу, что моя программа ориентирована на прикладников, а не на теоретиков. Это накладывает очень большой отпечаток на спектр тем, определения и рассматриваемые теоремы, включая их общность. Какие-то понятия могут профессиональным математикам показаться определенными не правильно, но я осознанно стараюсь в этой программе идти по пути наименьшего сопротивления. Так же я тут не составляю идеальной математической программы — то что я пишу ниже сильно отражает существующий школьный курс, который сам по себе можно раскритиковать. Я это делаю осознанно, чтобы учащемуся было легче ориентироваться и он мог быстрее усваивать материал. Из отклонений от школьной программы я допускаю лишь минимальные нововведения (то что совсем уж стыдно не знать) и выкидываю ненужное главным образом в виде геометрии.

Не смотря на прикладную ориентированность, впрочем, возможно что даже интересующемуся теорией окажется вначале полезно пойти по пути изучения именно этой программы, а потом переходить к более абстрактным темам.

Английский

Один из самых важных навыков, которым должен владеть человек, изучающий математику (да и почти что угодно) — это английский язык. Как только вы становитесь способны читать на английском, множество источников для изучения материала у вас расширяется многократно. При том, что есть много хороших книг на русском, на английском их несравнимо больше даже по школьной программе. Многие теоретические темы, даже самые базовые, на русском языке вообще никогда и никем не излагались, либо излагались крайне неудачно. В той же Википедии аналогичные статьи зачастую оказывается куда лучше на английском языке, нежели на русском. Бывают и обратные примеры, но редко. Даже многие очень адекватные российские ученые пишут свои учебные материалы сразу на английском, русский язык полностью игнорируя, поскольку в России для этих материалов будет крайне малая аудитория.

Так что первым делом, как только вы прочитаете этот текст — начинайте изучать английский язык. Потратив пару лет на то, чтобы уметь бегло и без напряжения читать английский текст и общаться на английском, вы потом сэкономите себе кучу времени, пользуясь куда более качественными источниками при изучении любой другой области, в том числе и математики.

Стоит так же отметить в целом гораздо более хороший научный уровень англоязычной аудитории. В России вам очень мало людей смогут дать адекватный совет по той или иной области, в отличие от англоязычных форумов. На русском языке вы так же не сможете адекватно оценить современное положение вещей в науке, 99% инженеров и кандидатов наук вас скорее всего будут пичкать рекомендациями считать больше интегралов по задачнику Демидовича и читать про то как считаются определители матриц. Это самые бредовые рекомендации, которые можно дать, но понимают это единицы.

Для изучения английского лучше идти на групповые занятия на курсы. Так же полезно читать на английском (есть много адаптированных книг), пытаться переводить интересные вам тексты, искать собеседников-иностранцев для переписки (тут помогут сайты типа livemocha.com и специализированные форумы), могут помочь самоучители типа Мерфи (EnglishGrammarinUse, EglishPhrasalVerbsinUse и подобные), полезны бесплатные онлайн-курсы типа study.ru.

Даже если вам очень тяжело даётся иностранный язык, вы всё равно должны учить английский. Это действительно самая важная рекомендация, которую в принципе можно дать для изучения любой околотехнической науки и математики в том числе.

Начинайте изучать английский прямо сегодня.

Натуральные числа

Начать именно математику логично с арифметики натуральных чисел (это числа 0, 1, 2, 3 и так далее). Вы должны знать основные операции над натуральными числами и их взаимосвязь: сравнение чисел на больше-меньше, сложение, вычитание, умножение, деление с остатком, возведение в степень.

При изучении всех этих тем желательно иметь в голове три интерпретации натурального числа (здесь в порядке убывания важности):

Комбинаторная интерпретация. Число обозначает количество неких объектов в каком-то наборе. Если x>y, то это значит, что в наборе x больше объектов. Сложение чисел — это объединение двух наборов объектов (у одного человека 100 рублей, у другого 200 — сумма, это когда они скинулись). Умножение чисел — это способы составить пары. Например, у нас x мужиков и y баб. Умножение xy — это количество способов выбрать из них одну пару мужик-баба. Возведение в степень xy — это количество способов составить из алфавита, содержащего x символов, слова длины y. Именно комбинаторная интерпретация наиболее часто используется в приложениях математики, она же наиболее удобна при доказательстве арифметических свойств, она же наиболее близка к современному теоретико-множественному определению натуральных чисел.

Геометрическая интерпретация. Натуральное число — это отрезок на линейке. Сравнение чисел — сравнение отрезков по длине. Сложение чисел — склеивание двух отрезков. Умножение — площадь квадрата с заданными сторонами. Возведение в степень элементарной геометрической интерпретации не имеет (имеет интерпретацию в многомерной геометрии, но на начальном этапе об этом не стоит думать).

Индуктивная интерпретация. Натуральные числа получаются одно из другого, то есть есть выделенное число «ноль», и так же есть куча чисел, которые получаются прибавлением единицы. Другими словами для каждого числа определено число, следующее за данным. Эта интерпретация наиболее близка к тому, что рассказывают в начальной школе о том, что чтобы умножить x на y нужно посчитать сумму где сложение происходит y раз. Аналогично возведение в степень — это многократное умножение.

В каких-то ситуациях полезна одна интерпретация, в каких-то другая. Например, свойства степени довольно легко выводятся из индуктивной интерпретации, однако в ней совершенно непонятно почему xy = yx, однако это же свойство элементарно видно в интерпретации геометрической или комбинаторной.

Весьма полезно, хотя и опционально, на начальном этапе изучить подробно алгоритмы операций в столбик (самое важное — деление в столбик), свойств делимости, алгоритм Евклида для нахождения наибольших общих делителей и вытекающую из него основную теорему арифметики. В прикладной математике эти вещи нужны довольно редко (если только вы не занимаетесь криптографией), хотя иногда встречаются. Алгоритм деления в столбик важен для понимания аналогичного алгоритма деления в столбик полиномов, который в свою очередь может быть полезен при решении уравнений и интегралов, хотя сами эти вещи тоже весьма необязательны — подавляющее большинство студентов оканчивают технические ВУЗы и решают интегралы не умея делить полиномы.

Если вы тяготеете не к прикладной математике, а к теоретической, то изложенное в прошлом параграфе для вас обязательно. Если математика вам нужна только с прикладной точки зрения, то вам достаточно знать формулировку основной теоремы арифметики, чтобы хотя бы на базовом уровне понимать важную роль простых чисел как строительных кирпичиков натуральных чисел. После основной теоремы арифметики совершенно обязательным для всех является доказательство теоремы Евклида — она отвечает на вопрос о том, сколько всего существует простых чисел. Это одно из самых простых и одновременно с тем сильных доказательств. Пропустить его никак нельзя.

Для людей, занимающихся информационными технологиями, равно как и для математиков-теоретиков, будет полезно изучить каким образом строится позиционная система счисления с произвольным основанием.

В качестве проверки того, насколько вы хорошо знаете арифметику натуральных чисел, попробуйте самостоятельно выполнить следующие не сложные упражнения:

а) Докажите лемму Евклида: если p — простое число, которое делитxy, то оно делит хотя бы одно из x и y (считайте эти числа взаимопростыми). Докажите это не пользуясь основной теоремой арифметики (поскольку она сама вытекает из леммы Евклида; при доказательстве полезно использовать следствие из алгоритма Евклида).

б) Докажите, что для того, чтобы число делилось на 3, надо чтобы сумма его цифр в десятичной системе счисления делилась на 3. Аналогично объясните как проверить делимость на 9.

в) Объясните, каким образом можно возвести число 123 в 64-ю степень, используя только 6 операций умножения.

Целые, рациональные, вещественные, комплексные числа

Их следует изучать именно в этом порядке. Возведение в соответствующие степени пока следует отложить.

Опять же, важно рассмотреть несколько интерпретаций. Для целых чисел вы можете рассматривать отрицательные числа как отрицательный денежный баланс (долги, недостаток средств), геометрически как продолжение линейки натуральных чисел в обратную сторону (сложение и умножение будет определяться как движение по этой линейке), либо как чисто формальную конструкцию: целые числа — это расширение натуральных чисел такое, что для каждого натурального x найдется новое число -x, обладающее свойством x + (-x) = 0. С этой точки зрения целые числа — это такое расширение натуральных чисел, чтобы всегда было возможно произвести операцию вычитания (для натуральных чисел x-y имеет смысл лишь тогда, когда

При рассмотрении целых чисел хорошо обратить внимание на операцию модуля числа, он же абсолютное значение (чуть позже, после знакомства с тригонометрией и геометрией, проделать то же самое для модуля комплексного числа). Вы должны понимать откуда берутся формулы типа

Рациональные числа опять же можно рассматривать геометрически (доля целого отрезка), количественно (куски целого) и формально: как числа получающиеся из целых добавлением чисел вида 1/x для каждого ненулевого целого x, а так же всех их возможных произведений (из обычных свойств произведения будет легко вывести правила сложения дробей). Последний способ наиболее удобен для определения арифметических свойств. В этом случае рациональные числа — это такое расширение целых чисел, чтобы всегда было возможно выполнить операцию деления без остатка.

Отсюда полезно понять каким образом устроены десятичные дроби, затем вывести такую простую теорему: десятичное представление любого рационального числа либо конечно, либо периодично.

Для перехода к вещественным числам можно рассмотреть функцию квадратного корня и понять как его можно вычислить последовательным перебором. Затем показать, что корень из двойки не может быть рациональным, хотя вы можете его сколь угодно точно приближать поразрядно. Это даст основания для рассмотрения бесконечных непериодических десятичных дробей, которые и называются иррациональными числами. С точки зрения современной математики это самое неказистое и сложное определение, но оно позволяет понять что такое вещественное число не обладая никакой специальной подготовкой. Подробно доказывать арифметические свойства тут уже совершенно не нужно — знание как проводятся операции в столбик даст вам хорошую интуицию, а строгие формальные выкладки вы сможете понять позже, если будете копать в сторону теоретической математики.

С вещественными числами очень важен вычислительный аспект. Дело в том, что никакие счетные устройства, калькуляторы-компьютеры и прочие, не умеют работать с вещественными числами — только с рациональными, в силу того, что вещественное число требует для своего определения бесконечное число цифр. Таким образом всегда при вычислениях вы будете иметь некоторую погрешность. Будет полезно разобраться с тем, как увеличивается погрешность при выполнении простейших арифметических операций.

Про комплексные числа важно лишь знать, что  и вывести отсюда формулы сложения, умножения и деления (в учебниках можно встретить много разных определений, чаще всего как пары вещественных чисел, но на начальном этапе самым корректным будет именно определение через формальную мнимую единицу). Это чисто формальная конструкция, которая должна стать понятнее, если вы справитесь с формальным определением отрицательных и рациональных чисел. Не пытайтесь найти комплексным числам физической или геометрической интерпретации — на данном этапе это совершенно ненужно и даже вредно.

Бытует мнение, что комплексные числа нужны только математикам, а простым инженерам они нужны не очень-то. Я спешу вас расстроить: без комплексных чисел не очень понятно как решать многие виды интегралов, рядов, дифференциальных уравнений. В теории вероятностей (крайне важная наука для анализа данных, а соответственно и для всяких там менеджеров, социологов и маркетологов) комплексные числа используются при определении характеристической функции, которая делает элементарными многие факты и вычисления в теории вероятностей. В современной геометрии комплексные векторные пространства позволяют эффективно исследовать свойства вещественной евклидовой геометрии и т. п. Можно было бы обойтись и без комплексных чисел, но тогда всё было бы намного сложнее. Тот факт, что комплексная арифметика не проходится ни в школах, ни почти в институтах, не делает её не нужной. Если вы хотите действительно стать нормальным инженером, вам строго необходимо понимание комплексных чисел.

Факультативно можно посмотреть в сторону кватернионов (там три разных мнимых единицы), октав (там их семь разных) и седенионов (там мнимых единиц пятнадцать). Это уже не является необходимым, но вероятно поможет понять формальность процедуры, которая даёт нам комплексные числа.

Для проверки того, насколько хорошо вы владеете арифметикой в этом пункте, попробуйте решить следующие упражнения:

а) Объясните, почему между любыми двумя вещественными числами найдётся сколь угодно много различных чисел, как рациональных, так и вещественных (здесь не требуется совершенно строгого формального доказательства, просто приведите рассуждения, убедительные лично для вас).

б) Объясните, почему не существует адекватного способа сравнивать комплексные числа на больше-меньше. (Подсказка: попробуйте определить является ли мнимая единица положительным или отрицательным числом).

в) Пусть рациональное число имеет вид a/bc, где b и c взаимопросты. Покажите каким образом отсюда можно получить его представление в виде . Здесь, вероятно, вам будет полезно прочитать в общем виде об элементарных дробях (а для тех, кто интересуется теорией это вообще совершенно обязательно).


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 343; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ