Начальная комбинаторика, матиндукция и суммы
Основы комбинаторики вы должны знать уже из изучения натуральных чисел. После того, как вам понятен комбинаторный смысл умножения и возведения в степень, надо идти дальше и понять что такое факториал, расстановки и сочетания. При изучении этого материала избегайте неинтуитивных рассуждений путём вывода формул одной из другой, а так же метода индукции. У каждой комбинаторной формулы есть простая интерпретация, которую и нужно понять, а вовсе не формальные выкладки.
Узнав про сочетания, которые называются так же биномиальным коэффициентом, изучите мультиномиальный коэффициент. Отсюда изучите Бином Ньютона (опять же не по индукции, а интуитивно комбинаторно — если вы хорошо понимаете биномиальный коэффициент, то сможете вывести формулу бинома как упражнение), а так же обобщение на случай суммы нескольких переменных (в этой ситуации биномиальный коэффициент заменяется на мультиномиальный).
Так же выведите и дайте комбинаторную интерпретацию этому результату.
Выведите по аналогии
Данные результаты очень просты, желательно, чтобы вы вывели их самостоятельно.
Следующая формула к комбинаторике имеет уже мало отношения, но имеет интуитивную связь с биномом Ньютона, если рассматривать его как «формулу сокращенного умножения» и доказывается во многом так же: — её нужно знать, особенно в частном случае для
Полезно так же почитать про приём двойного счета, принцип Дирихле и правило включения-исключения, а так же рассмотреть примеры применения этих приёмов.
|
|
Обязательно поймите принцип математической индукции. В самой комбинаторике гигантское количество утверждений может быть доказано методом математической индукции (хотя лучше её именно в комбинаторике и избегать из-за неинтуитивности), полно доказательств есть из теории чисел. Полезно найти формулу и доказать её по индукции для сумм для значений p равных 1, 2 и 3. (Это не сложно сделать самостоятельно). Для теоретиков можно найти и разобраться в формуле Фаулхабера (позволяет считать такую сумму в общем виде) и числах Бернулли, но это уже только для теоретиков.
Так же изучите арифметические и геометрические прогрессии.
Для того, чтобы понимать как хорошо вы ориентируетесь в этой области, решите следующие упражнения:
а) Если в формуле разложения заменить y на -y, то можно понять каким образом записать аналогичную формулу для суммы однако это сработает лишь в случае нечетного n. Тем не менее, иногда может помочь замена y на мнимое значение iy. Покажите для каких n будет возможно подобное разложение суммы степеней n и запишите его.
б) Любое натуральное число можно записать в виде суммы других натуральных чисел. Например Таких разложений, естественно, очень много разных. Сколько именно? (Разложения следует рассматривать с точностью до порядка слагаемых).
|
|
в) Функция Эйлера — это количество чисел, меньших чем n и взаимопростых с ним. Используя приём включения-исключения, выведите формулу для неё: — простые множители числа n.
Графики функций
Прежде чем строить графики функций, необходимо сделать небольшую подготовку: научиться решать квадратные уравнения и делить полиномы в столбик. Квадратные уравнения необходимо уметь решать через дополнение до полного квадрата — именно этот подход даёт логичное обоснование формулы с дискриминантом. Сам приём дополнения до полного квадрата крайне часто употребляется в самых разных математических выкладках.
Необходимо знать как выглядят основные виды графиков: линейный . График квадратичной функции поможет строить умение решать квадратные уравнения, график дробно-линеной функции как раз умение делить полиномы.
Если вам уже известен график некоторой функции . Важно уметь строить график обратной функции.
Так же на этом этапе полезно иметь хотя бы общее представление о том как устроены графики функций комплексного переменного как отображение кривых комплексной плоскости.
|
|
Несколько простейших вопросов, которые напрямую не связаны с графиками, но имеют графическую интерпретацию:
а) Функция называется четной, . Охарактеризуйте четность и нечетность с точки зрения графика функции. Может ли функция быть одновременно и четной и нечетной? Перечислите все такие функции.
б) Функция называется периодической, если существует такое T, отличное от нуля, что Охарактеризуйте это определение с точки зрения графика функции. Существует ли такая периодичная функция, что любое значение Tбудет её периодом?
в) Пусть даны две функции. Как найти точки пересечения их графиков?
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 585; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!