Решение однородных ДУ первого порядка с помощью замены переменной
Пример 5.3. Решить однородное ДУ 
.
Решение. Сделаем замену 
и 
:
.
Мы пришли к ДУ с разделяющимися переменными
.
Запомним введённые дополнительные условия 
и 
(так как они в знаменателях) для последующей проверки.
Проинтегрируем полученное равенство и получим результат:
.
Теперь сделаем обратную замену:
.Мы получили общий интеграл заданного ДУ: 
.
Проверим на «потерянны» решения ДУ условия и .
Из первого, после обратной замены: 
и 
.
Легко убедиться, что 
тоже является решением заданного ДУ. Проверим 
, подставив его в ДУ:
, т.е. 
.
Опять же, по заданному ДУ видно, что 
не является решением, так как на ноль делить нельзя!
Окончательно записываем ответ: решения заданного ДУ являются 
(общий интеграл), , .
Пример 5.4. Решить однородное ДУ 
.
Решение.
Экономические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям первого порядка.
Пример 6.1. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый данный момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость – 
. Какова будет стоимость оборудования по истечении t лет?
Решение.
Пример 6.2. Построить модель естественного роста, если 
; 
; 
p у.д.е. Найти зависимость интенсивности производства от времени в случае, если в начальный момент времени t = 0 интенсивность равна 7 у.д.е. Построить приблизительный график зависимости интенсивности производства от времени в соответствии с начальными условиями.
|
|
|
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 91; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!