Решение ЛНДУ 2-го порядка методом вариации произвольных постоянных.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Понятие комплексного числа

Комплексное число

Свойство мнимой единицы

Алгебраическая форма записи комплексного числа

С – _______________________________________________________

Re z – _____________________________________________________

Im z – _____________________________________________________

z – ______________________________________________________

i – ______________________________________________________

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

a – ______________________________________________________

_____________________________________________________

ib – ______________________________________________________

φ – ______________________________________________________

ρ – ______________________________________________________

Показательная форма записи комплексного числа

Аргумент комплексного числа

Комплексно- сопряжённые числа

Модуль комплексного числа

Пример 1. Решить уравнения:

;

Пример 2. Перевести комплексное числов тригонометрическую и показательную формы. Показать эти числа на комплексной плоскости.

1) ;	2) ;
3) ;	4)

Пример 3. ; . Найти ; ; ; .

Тема. Дифференциальные уравнения высших порядков

Линейные ДУ высших порядков

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называются уравнение вида

y⁽ⁿ⁾ + a_n_-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x).

Здесь a_n_-1(x), a_n_-2(x), ..., a₁(x), a₀(x) - коэффициенты уравнения (некоторые функции, зависящие он переменной х).

Различают два вида линейных дифференциальных уравнений n-го порядка:

y⁽ⁿ⁾ + a_n_-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x) — неоднородное линейное дифференциальное уравнение

(сокращённо ЛНДУ),

y⁽ⁿ⁾ + a_n_-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0 — однородное линейное дифференциальное уравнение

(сокращённо ЛОДУ),

§ 7. ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим простейший случай линейного ДУ высшего порядка: ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

(1)

Здесь — ________________________________________________________________________

Теорема 7.1 (структура общего решения ЛОДУ второго порядка)

_______________________________________________________________________________________

Здесь — ________________________________________________________________________

Принимаем без доказательств.

Предположим, что одним из частных решений такого уравнения будет , где k – некоторая постоянная (решение предложено математиком Эйлером). Подставим это решение в уравнение (1):

_______________________________________________________________________________________

Разделим левую и правую части на : ________________________________________________

Полученное уравнение называется характеристическим уравнением.

Как его составили? Схема: ______________________________________________________

При решении характеристического уравнения возможны несколько результатов для k и, соответственно, разные виды общего решения ЛОДУ.

Решение ЛОДУ имеет вид:

Пример. Найти общее решение ЛОДУ .

§ 8. ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, структура общего решения. Принцип наложения.

ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

(2)

Здесь — _______________________________________________________

— _______________________________________________________

Теорема 8.1 (структура общего решения ЛНДУ второго порядка)

_______________________________________________________________________________________

Теорема 8.2 (о наложении решений) _________________________________________

___________________________________________________________________

Обе теоремы принимаем без доказательств.

§ 9. ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами вида

_______________________________________________________

Решение такого уравнения значительно упрощается, если правая часть имеет вид:

1) ___________________________________________________

Тогда частное решение можно записать в соответствии со следующими схемами

у характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ нет корней k = 0

у характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ есть корни k = 0

у характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ нет корней k = α

у характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ есть корни k = α

у характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ нет корней

у характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ есть корни

_______________________________________________________________________________________

Пример. Найти общее решение ЛНДУ:

1) ; 2) ; 3) .

Схема решения

Заданное уравнение	Соответствующее ЛОДУ	Характеристическое уравнение

Находим корни характеристического уравнения
Анализируем полученные корни	______________________________________________________________ ______________________________________________________________
Записываем общее решение ЛОДУ
Выбираем вид частного решения	_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________
Находим неизвестные коэффициенты ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________
Записываем общее решение ЛНДУ
Делаем проверку найденного решения

Решения двух других ДУ на обороте.

§ 9. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Решение ЛНДУ 2-го порядка методом вариации произвольных постоянных.

Метод Лагранжа - это ____________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Постановка задачи _________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 69; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!