Краткие теоретические сведения – последовательное соединение элементов
Лабораторные работы № 3 и 4
Лабораторные работы номер 3 и 4 выполняются на одной и той же установке, поэтому для них сделана общая методичка.
- Лабораторная работа № 3: Исследование параллельного соединения элементов в цепи переменного тока.
- Лабораторная работа № 4: Исследование последовательного соединения элементов в цепи переменного тока.
Краткие теоретические сведения – параллельное соединение элементов
Рассмотрим параллельное соединение резистора, конден-сатора и катушки, рис. 1. Как известно, при параллельном соеди-нении, на элементах одинаковое напряжение, а ток суммируется. Подключим данное соединение в цепь переменного напряжения. Напряжение зададим по гармоническому закону:
Здесь  - амплитуда напряжения,  - время,  -
| 
Рис. 1. Параллельное соединение резистора, конденсатора и катушки
|
круговая частота напряжения, 
- линейная частота напряжения, 
- период колебаний напряжения, 
- фаза напряжения. На резисторе ток в той же фазе, что и напряжение, . Ток на конденсаторе имеет фазу 
(опережает напряжение по фазе на 
). Ток на катушке имеет фазу 
(отстает от напряжения по фазе на ).
Здесь 
, 
и 
- амплитуды тока на резисторе, конденсаторе и катушке соответст-венно. Их можно выразить, используя закон Ома:
Общий ток суммируется:
Сложим колебания, воспользовавшись векторной диаграммой, рис 2.
a). 
б). 
|
|
|
Рис. 2. a). Векторная диаграмма с векторами колебаний тока на резисторе, конденсаторе и катушке, при параллельном соединении этих элементов; б). Та же диаграмма, но вектора колебаний тока на конденсаторе и катушке сложены в один вектор длиной 
; кроме того, нарисован результирующий вектор длиной 
.
Вектор, соответствующий колебанию тока на резисторе, имеет длину и образует с горизонтальной осью угол (отсчитывается против часовой стрелки) . Вектор, соот-ветствующий колебанию тока на конденсаторе, имеет длину и образует с горизон-тальной осью угол . Вектор, соответствующий колебанию тока на катушке, имеет длину , и образует с горизонтальной осью угол (если 
, то откладывается угол 
, но не против часовой стрелки, а по часовой стрелке). Вектор, соответствующий колебанию общего тока, равняется сумме этих трех векторов. Вектора с длинами и разнонаправлены, поэтому сначала мы складываем их; их сумма будет вектором с длиной, равной модулю разности их длин, 
. Этот вектор перпендикулярен вектору с длиной , поэтому длину результирующего вектора можно найти, используя теорему Пифагора:
Поскольку имеет место быть возведение в квадрат, мы заменили просто на 
. Далее, выразим фазу результирующего тока, 
. Нам поможет прямоуголь-ный треугольник с катетами и и гипотенузой 
. Тангенс угла (непрямо-го) при стороне равняется отношению 
. Сама фаза тока больше этого угла на (см. рис. 2б), то есть 
. Однако, дан-ная ситуация имеет место быть, если 
(и 
). Если же 
, то 
, и в общем случае можно записать:
|
|
|
Однако, поскольку арктангенс – нечетная функция, то выражение можно записать в более простом виде: 
. Сделаем небольшое преобразование:
То есть, 
, 
.
Наконец, результирующий ток
И найдем общее сопротивление данного соединения:
Краткие теоретические сведения – последовательное соединение элементов
Рассмотрим последовательное соединение резистора, кон-денсатора и катушки, рис. 3. Как известно, при последователь-ном соединении, на элементах одинаковый ток, а напряжение суммируется. Подключим данное соединение в цепь перемен-ного тока. Ток зададим по гармоническому закону:
| 
Рис. 3. Последовательное соединение резистора, конденсатора и катушки
|
Здесь - амплитуда тока, - время, - круговая частота тока, - линей-ная частота тока, - период колебаний тока, - фаза тока. На резисторе напряжение в той же фазе, что и ток, . Напряжение на конденсаторе имеет фазу 
(напря-жение отстает от тока по фазе на ). Напряжение на катушке имеет фазу 
(напряжение опережает ток по фазе на )
|
|
|
Здесь 
, 
и 
- амплитуды напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Их можно выразить, используя закон Ома:
Общее напряжение суммируется:
Сложим колебания, воспользовавшись векторной диаграммой, рис. 4.
a). 
б). 
Рис. 4. a). Векторная диаграмма с векторами колебаний напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке, при последовательном соединении этих элементов; б). Та же диаграмма, но вектора колебаний напряжения на конденсаторе и катушке сложены в один вектор длиной 
; кроме того, нарисован результирующий вектор длиной 
.
Вектор, соответствующий колебанию напряжения на резисторе, имеет длину и обра-зует с горизонтальной осью угол (отсчитывается против часовой стрелки). Вектор, соответствующий колебанию напряжения на катушке, имеет длину и образует с гори-зонтальной осью угол . Вектор, соответствующий колебанию напряжения на конденсаторе, имеет длину , и образует с горизонтальной осью угол (если 
, то откладывается угол 
, но не против часовой стрелки, а по ча-совой стрелке). Вектор, соответствующий колебанию общего напряжения, равняется сумме этих трех векторов. Вектора с длинами и разнонаправлены, поэтому сначала мы складываем их; их сумма будет вектором с длиной, равной модулю разности их длин, 
. Этот вектор перпендикулярен вектору с длиной , поэтому длину результирующего вектора можно найти, используя теорему Пифагора:
|
|
|
Поскольку имеет место быть возведение в квадрат, мы заменили просто на 
. Далее, выразим фазу результирующего напряжения, . Нам поможет прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой . Тангенс угла (непрямого) при стороне равняется отношению 
. Сама фаза напряжения больше этого угла на (см. рис. 4б), то есть 
. Однако, данная ситуация имеет место быть, если 
(и 
). Если же 
, то 
, и в общем случае можно записать:
Однако, поскольку арктангенс – нечетная функция, то выражение можно записать в более простом виде: 
. Сделаем небольшое преобразование:
То есть, 
, 
.
Наконец, общее напряжение
Мы нашли общее напряжение, построив цепочку рассуждений, которую начали с того, что задали общий ток в виде 
. В реальности же, напряжение – первично, а ток является следствием. Поэтому скажем, что если задать общее напряжение в виде 
, то по рассматриваемому соединению пойдет ток, равный
И найдем общее сопротивление данного соединения:
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 88; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!