Заданной числовой последовательности

Пример 1 :

Рассмотрим множество значений заданной последовательности y_n = 1/n.

Последовательность значений членов последовательности:

Построим ось У, отметим на оси значения (деления) 1 и 0 на оси У, отметим значения членов данной последовательности на Рис. 3.

Рис. 3

Множество значений расположено на интервале от 0 (не включая 0) до 1 (включая 1). Рассматриваемая последовательность меняется в этих пределах.

Члены заданной последовательности принадлежать множеству натуральных чисел: .

Последовательность ограничена сверху: .

Последовательность ограничена снизу: .

Верхняя граница – число 1 достижимо: .

Нижняя граница – число 0 не достижимо, но число 0 играет важную роль для данной последовательности, видим, что члены последовательности «сгущаются».

Пример 2 :

Рассмотрим последовательность .

После расчета ее очередных членов, получим последовательность членов данной последовательности:

Обращаем внимание на тот факт что, когда «n» будет увеличиваться до бесконечности, члены представленной последовательности будут бесконечно близко приближаться к нулю (Рис.4). Ноль и будет пределом данной последовательности.

Если предел последовательности равен нулю, то последовательность называют бесконечно малой.

Изобразим на числовой прямой вычисленные выше члены рассматриваемой в примере последовательности и симметричную относительно нуля (величины предела) ε-окрестность:

Рис. 4

На представленной числовой оси указаны вычисленные значения 1, -1/2, 1/3, -1/4, 1/5. Эти значения, как видим, не вошли в ε-окрестность. Все следующие значения -1/6, 1/7, указанные на числовой оси без подписи величин, и т.д., находятся уже в ε-окрестности, постепенно приближаясь с отрицательной и положительной сторон к значению ноль на числовой оси.

То есть все последующие n-ые значения последовательности стягиваются к пределу (красной точке) – нулю – с обеих сторон.

Число является пределом рассматриваемой последовательности, если ДЛЯ ЛЮБОЙ заранее выбранной ε-окрестности (сколь угодно малой) ВНУТРИ этой окрестности окажется бесконечно много членов последовательности, а ВНЕ неё – лишь конечное число членов (либо вообще ни одного).

Именно такая ситуация и проиллюстрирована на схеме рассматриваемого примера.

Некоторые замечания, определения и характеристики последовательности

Замечание. Если для последовательности a ₁, a₂, … a_n, … найдется такое число a, что a_n→a при , то эта последовательность ограничена.

Определение. Считаем, что последовательность a ₁ , a₂, … a_n, … стремится к бесконечности, если для любого положительного числа C найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |a_n|>C.