Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответств ующие разряды находились друг под другом.
2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десят и, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему раз ряду (десятков).
3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде ао + Ьо~ 1 • 10 + с0, где с0 - однозначное число; записывают с() в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого сла гаемого, после чего переходят к разряду десятков.
4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры стар ших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1.
Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».
Упражнения
1. На примере сложения чисел 237 и 526 покажите, какие теоретические факты лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел.
2. При изучении алгоритма сложения трехзначных чисел в начальной школе последовательно рассматриваются такие случаи сложения:
231 + 342; 425 + 135; 237 + 526; 529 + 299. Каковы особенности каждого из этих случаев?
3. Вычислите устно значение выражение; использованный прием обоснуйте:
а) 2746 + 7254 + 9876; б) 7238 + 8978 + 2768;
в) (4729 + 8473) + 5271; г) 4232 + 7419 + 5768 + 2591;
д) (357 + 768 + 589) + (332 + 211+ 643).
4. Какие рассуждения школьников вы будете считать правильными при выполнении задания.
|
|
а) Можно ли утверждать, что значения сумм в каждом столбике одинаковы:
2459+ 121 53075 + 2306
2458+ 122 53076 + 2305
2457+123 53006 + 2375
2456+ 124 53306 + 2075
б) Можно ли записать значения этих сумм в порядке возрастания:
4583 + 321 4593 + 311 4573 + 331
Алгоритм вычитания
Вычитание однозначного числа bиз однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b+ с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.
Если же числа а и bмногозначные и b < а, то смысл действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.
Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485-231 = (4∙102 + 8∙10 + 5)-(2∙102 + 3∙10 + 1). Чтобы вычесть из числа 4∙102 + 8∙10 + 5 сумму 2∙102 + 3∙10 + 1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:
|
|
(4∙102 + 8∙10 + 5) – (2∙102 + 3∙10 + 1) =
(4∙102 + 8∙10 + 5) – 2∙102 - 3∙10 - 1.
Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2∙102 вычтем из слагаемого
4∙ 102, число 3∙10 - из слагаемого 8∙10, а число 1 - из слагаемого 5, тогда:
(4∙102 + 8∙10 + 5) – 2∙102 - 3∙10 – 1 =
(4∙102– 2∙102) + (8∙10 - 3∙10) + (5 – 1)
Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4 - 2) ∙102 + (8 - 3) ∙ 10 + (5 - 1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2,8-Зи5-1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2∙102 + 5∙10 + 4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485 - 231 = 254. Выражение (4 - 2) ∙102 + (8 - 3) ∙ 10 + (5 - 1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:
_485
|
|
231
254
Вычитание многозначного числа из многозначного осн овывается на:
- способе записи числа в десятичной системе счисления;
- правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;
- свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;
- таблице сложения однозначных чисел.
Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 - 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде:
760 - 326 = (7∙102 + 6∙10 + 0) – (3∙102 + 2∙10 + 6)
Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц - десятичная система счисления позволяет это сделать - тогда будем иметь выражение: (7∙102 + 6∙10 + 0) – (3∙102 + 2∙10 + 6).
Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7 - 3) ∙102 + (5 - 2) ∙10 + (10 - 6) или 4∙102+ 3∙10+4. Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит, 760 - 326 = 434.
|
|
Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде.
Пусть даны два числа
х= an ·10 n + an -1 ·10 n -1 + ... +а1·10 + а0,
у = bn ·10 n + bn -1 ·10 n -1 + ... + b 1· 10 + b 0,
х - у =( an + bn )·10n + ( a n-1 - b n-1 ) ·10n-1 + ... + ( а1+ b 1 ) · 10 + ( а0+ b 0)
Известно также, что у < х. Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что
х - у =( an - bn )·10n + ( a n-1 - b n-1 ) ·10n-1 + ... + ( а1 - b 1 ) · 10 + ( а0- b 0) (1)
Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что для всех к выполняется условие ак> b к . Если же это условие не выполняется, то берем наименьшее к, для которого
ак< b к . Пусть т - наименьший индекс, такой, что т > к и ат ≠ 0, а ат -1= ... = ак+1 = 0. Имеет место равенство ат ·10 т= (ат - 1) ·10 т + 9·10 т-1 + ... + 9·10 к+1 +10·10 (например, если т = 4, к = 1, ат = 6, то 6∙10⁴ = 5∙10⁴ + 9∙10³+9∙10²+10·10). Поэтому в равенстве (1) выражение ( am- bm)·10 т +…+ (a к-b к) ·10
можно заменить на ( am- bm - 1)· 10 т + (9 - bm -1) ·10 + … + (9 - b к+1) ·10 + (a к+10 - b к) ·10 .
Из того, что ак< b к <10, вытекает неравенство 0 < 10 + ак - b к <10, а из того, что 0 <b к <9, вытекает неравенство 0 ≤ 9 - b к <10, где к + 1 <s<т - 1. Поэтому в записи
х - у =( an- bn )·10 n +…+ ( am- bm- 1)·10 т + (9 - bm -1) ·10 + ... +(9 - b к+1) ·10 +
(a к+10 - b к) ·10 +…+.( а1 - b 1 ) · 10 + ( а0- b 0) все коэффициенты с индексом, меньшим т, неотрицательны и не превосходят 9. Применяя далее те же преобразования к коэффициентам an- bn, ...,am- bm- 1, через п шагов придем к записи разности х - у в виде
х - у = с n ·10 n + с n -1 ·10 n -1 + ... +с1·10 + с0,
где для всех к выполняется неравенство 0 <ск<10. Если при этом окажется, что сп= 0, то надо отбросить первые слагаемые, вплоть до первого коэффициента, отличного от нуля.
Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.
1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соот ветствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшае мого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.
3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b 0 > а0, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а0число b 0 и записываем разность в разряде единиц ис комого числа, далее переходим к следующему разряду.
4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц умень шаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, вес цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b 0 из 10 + а0, записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 1334; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!