Запись числа в десятичной системе счисления

Тема лекции: Системы счисления. Десятичная система счисления. Системы счисления, отличные от десятичной.

 

I. Организационный этап

Приветствие, проверка присутствующих

II. Формулировка темы, ее мотивация

План:

1. Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления.

2. Запись числа в десятичной системе счисления.

 

III. Изложение основных вопросов лекции

При изучении материала данного параграфа мы выяснили, что десятичная запись натурального числа - это его представление в виде

 х= a_n ·10ⁿ +a _n-1 ·10^n-1 +... +а_1·10+а₀= a_n a _n-1….а₁ а_0, где a_na_n-1…. а₁ а₀принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и а_п ±0.

В таком виде можно записать любое натуральное число и эта запись единственная.

Десятичная запись натуральных чисел позволяет их сравнивать и выполнять, поопределенным правилам (алгоритмам), над ними действия. Мы рассмотрели теоретические основыэтих алгоритмов и сформулировали их в общем виде.

Натуральные числа можно записывать не только в деся­тичной системе счисления, но и вообще в позиционных систе­мах с основанием р ≥2.

При этом записью числа хсчитается его представление в виде

х= a_n ·pⁿ +a _n-1 ·p^n-1 +... +а_1·p+а₀= a_n a _n-1….а₁ а_0, где a_na_n-1…. а₁ а₀принимают значения 0,1,2,…, p-1 и a_n±0.

Действия над числами в позиционных системах счисления, отличных от десятичной, выполняются по правилам, анало­гичным принятым в десятичной системе счисления.

Позиционные и непозиционные системы счисления

Понятие числа возникло в глубокой древности. Тогда же возник­ала и необходимость в названии и записи чисел.

Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления.

Называть числа и вести счет люди научились еще до появления Письменности. В этом им помогали, прежде всего, пальцы рук и ног. Издревле употреблялся еще такой вид инструментального счета, как деревянные палочки с зарубками, шнуры и веревки с узлами. Веревочные Счеты с узелками употреблялись в России и во многих странах Европы.

Способ «записи» чисел при помощи зарубок или узлов был не слишком удобным, так как для записи больших чисел приходилось делать много зарубок или узлов, что затрудняло не только запись, «о и сравнение чисел друг с другом, трудно было выполнять и действия над ними. Поэтому возникли иные, более экономичные записи чисел: счет стали вести группами, состоящими из одинакового числа цементов. Наряду с группами по 10 элементов встречались группы  5, 12, 20 элементов. Так, счет двадцатками использовали люди племени майя. «Следы» такого счета сохранились в датском и некоторых других европейских языках. Иногда применялся счет пятками, а также группами по 12 элементов. В Древнем Вавилоне считали груп­пами по 60 единиц. Например, число 185 представлялось как 3 раза по 60 и еще 5. Записывалось такое число с помощью всего двух знаков, один из которых обозначал, сколько раз взято по 60, а другой сколько взято единиц. Древневавилонская система используется до сих пор при измерении времени и углов в минутах и секундах.

Наибольшее распространение получила десятичная система записи чисел. Эта система, принятая сейчас почти всюду, основана на группи­ровании десятками и берет свое начало от счета на пальцах. Десятичная система счисления возникла в Индии в VI в. Однако вид индийских цифр значительно отличается от современной их записи. В течение мно­гих столетий, переходя от народа к народу, старинные индийские циф­ры много раз изменялись, пока приняли современную форму.

Первыми заимствовали у индийцев цифры и десятичную систему счисления арабы. Распространению же этого способа записи чисел и правил выполнения арифметических действий над числами способ­ствовала книга среднеазиатского ученого аль-Хорезми «Об индий­ском счете», созданная им в начале IX в.

Европейцы познакомились с достижениями индо-арабской мате­матики в XI в. Расширение торговли повлекло за собой значительное усложнение счета, появилась потребность в совершенствовании мето­дов счета. Поэтому европейские математики обратились к трудам греческих и арабских ученых, перевели их на латинский язык. С деся­тичной системой счисления европейцы познакомились через перевод книги аль-Хорезми. В 1202 г. выходит «Книга абака» Л. Фибоначчи, где также вводятся индийские цифры и нуль. С XIII в. начинается внедрение десятичной системы, и к XVI в. она стала повсеместно ис­пользоваться в странах Западной Европы.

Распространению десятичной системы в России способствовала книга первого русского выдающегося педагога-математика Л.Ф.Маг­ ницкого «Арифметика, сиречь наука числительная», вышедшая в 1703 г . на славянском языке. Она являлась энциклопедией матема­ тических знаний того времени. Все вычисления в ней проводятся при помощи цифр индийской нумерации. В «Арифметике» выделено особое действие «нумерация, или счисление»: «Нумерация есть счис­ ление (называние) словами всех чисел, которые изображаемы быть могут десятью такими знаками: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Из них девять значащих; последняя же 0 (которая цифрой или ничем именуется), если стоит одна, то сама по себе значения не имеет. Когда же она присоединяется к какой-нибудь значащей, то увеличивает в десять раз, как будет показано в дальнейшем». Однозначные числа в книге Л.Ф.Магницкого называются «перстами»; числа, составленные из еди­ниц и нулей, - «суставами»; все остальные числа - «сочинениями». Таблица с названиями круглых чисел доведена Магницким до числа с 24 нулями. В «Арифметике» в стихотворной форме подчеркнуто: «Число есть бесконечно...»

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В по­ зиционных системах один и тот же знак может обозначать различ­ ные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим зна ком в записи числа. Так, шестидесятеричная вавилонская и десятич­ная системы счисления являются позиционными.

Непозиционные системы характеризуются тем, что каждый знак (из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чи­сел) всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Примером такой системы может служить римская система, возникшая в средние века. В )той системе счисления имеются знаки для узловых чисел: единица обо­значается - I, пять - V, пятьдесят - L, сто - С, пятьсот - D , тысяча - М. Все остальные числа получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания. Вычитание производится тогда, ког­да знак, соответствующий меньшему узловому числу, стоит перед зна­ком большего узлового числа. Например, IV - четыре, ХС – девяносто. Запишем несколько чисел в римской нумерации.

193 - это сто (С) плюс девяносто, т.е. сто без десяти (ХС), плюс три (III); следовательно, число 193 записывается как СХСIII.

564 - это пятьсот (D) плюс пятьдесят (L) плюс десять (X) плюс че­тыре, т.е. пять без одного (IV). Следовательно, 564 записывается как 1)DLХ1У.

2708 - это две тысячи (ММ) плюс пятьсот (D) плюс сто (С) плюс сто (С) плюс пять (V) плюс три (III). Следовательно, число 2708 за­писывается так: ММDССVIII.

Если число содержит несколько (немного) тысяч, то для его записи в римской нумерации пользуются повторением знака М. Вообще же чис­ла четырех-, пяти- и шестизначные записывались с помощью буквы m(от лат. слова mille - тысяча), слева от которой записывали тысячи, а справа - сотни, десятки, единицы. Так, запись СХХХШmDСССХLII является записью числа 133842.

В России до XVII в. в основном употреблялась славянская нуме­рация, более стройная и удобная, чем римская, но тоже непозиционная. В ней числа изображались буквами славянского алфавита, над которыми для отличия ставили особый знак - титло.

Естественно, что такие системы записи чисел, как римская или славянская, были удобнее, чем зарубки на бирках, поскольку позво-1или записывать большие числа. Однако выполнение действий над ними в таких системах было весьма сложным делом. Поэтому на смену им пришла десятичная система счисления.

Упражнения

1. Запишите в десятичной системе счисления: XXVII, XXI, ХLIV, LXII, LХХVШ, ХСV, СDХХШ, МСDVII, МСDХIХ, МDСССLХХI.

2. Запишите в римской системе счисления: 24, 117, 468, 1941, 1997, 2000.

 

х= a_n ·10ⁿ +a _n-1 ·10^n-1 +... +а_1·10+а₀= a_n a _n-1….а₁ а_0, где a_na_n-1…. а₁ а₀принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и а_п ±0.

 

Запись числа в десятичной системе счисления

Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел ис­пользуется 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа З ×10³ + 7 ×10² + 4×10 + 5.

Определение. Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде: х= a_n ·10 ⁿ + a_{n -1} ·10 ^{n -1} + ... +а_1·10 + а_0, где коэффициенты a_{n ,} a_{n -1, ….} , а_1, а_0, принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а_п ±0.

Сумму a_n ·10 ⁿ + a_{n -1} ·10 ^{n -1} + ... +а_1·10 + а₀ в краткой форме принято записывать так:

а_па _{n -1} ...а₁а₀.

Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существо­вание и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.

Теорема. Любое натуральное число х можно представить в виде:

х= a_n ·10 ⁿ + a_{n -1} ·10 ^{n -1} + ... +а_1·10 + а_{0 ,} где коэффициенты a_{n ,} a_{n -1, ….} , а_1, а_{0 ,} принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а_п ±0, и такая запись единственна.

Доказательство существования записи числа х в виде (1). Среди последовательных чисел 1, 10, 10², 10³,..., 10",... найдем наибольшую степень, содержащуюся в х, т.е. такую, что 10ⁿ<х <10ⁿ⁺¹, что всегда можно сделать.

Разделим (с остатком) число х на 10ⁿ . Если частное этих чисел обо­значить через a_{n ,}а остаток через х_п, то х = a_n ·10 ⁿ + х_п , где а_п<10 и х_п< 10 ⁿ . Далее, разделив х_пна 10^n-1, получим: х_п= a_{n -1} ·10 ^{n -1} + х _{n -1} откуда х= a_n ·10 ⁿ + a_{n -1} ·10 ^{n -1} + х _{n -1}

где a_{n -1} < 10 и х _{n -1} < 10 ^{n -1} . Про­должая деление, дойдем до равенства х₂= а_1·10 + х_1. Положив х₁ = а₀, будем иметьх = a_n ·10 ⁿ + a_{n -1} ·10 ^{n -1} + ... +а_1·10 + а_0, т.е. число х бу­дет представлено в виде суммы степеней числа 10 с коэффициентами, меньшими 10, что и означает возможность записи числа х в десятич­ной системе счисления.

Доказательство единственности представления числа х в виде (1). Число п в равенстве (1) однозначно определя­ется условием 10ⁿ<х <10ⁿ⁺¹. После того как п определено, коэффици­ент а_пнаходят из условия: a_n ·10 ⁿ <х < (а_п+ 1) ·10 ⁿ . Далее, аналогичным образом определяются коэффициенты a_{n -1, ….} , а_1, а₀.

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.

Теорема. Пусть х и у - натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

х= a_n ·10 ⁿ + a_{n -1} ·10 ^{n -1} + ... +а₁ ·10 + а_{0 ,}

у = b_n ·10 ⁿ + b_{n -1} ·10 ^{n -1} + ... + b ₁ ·10 + b _{0 ,}

Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:

а) п < т;

б)п = т, но а_п< b _п

в)п = т, а_п = b _п ... ,а_к = b _к , но а _{к -1} ., < b _{к -1/}

Доказательство не приводится.

Например, если х = 345, а у = 4678, то х < у, так как первое число тр ехзначное, а второе - четырехзначное. Если х = 345, а у = 467, то х <у, так как в первом из двух трехзначных чисел меньше сотен. Если х = 3456, а у = 3467 , то х < у, так как, несмотря на то что в каждом из четырехзначных чисел число тысяч и сотен одинаковое, десятков в чис­ле х меньше, чем в числе у.

Если натуральное число х представлено в виде х= a_n ·10 ⁿ + a_{n -1} ·10 ^{n -1} + ... +а_1·10 + а_{0 ,} то числа 1, 10, 10², ..., 10 ⁿ называют разряд ными единицами соответственно первого, второго, ..., п + 1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следую­ щего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 - основанию системы счисления.

Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют вто­ рой класс - класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Затем следует третий класс - класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллио­нов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Вы­деление классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.

В десятичной системе всем числам можно дать название (имя). Это постигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия после­дующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются в виде 1∙10+ а₀ образуются из соединения первых десяти названий и не­сколько измененного слова десять («дцать»): одиннадцать - один на десять, двенадцать - два на десять и т.д.

Может быть, естественнее было бы говорить «два и десять», но наши предки предпочли говорить «два на десять», что и сохранилось в речи.

Слово «двадцать» обозначает два десятка.

Числа третьего десятка (это числа вида 2∙10 + а₀ ) получают путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка: два­дцать один, двадцать два и т.д.

Продолжая далее счет, получим название чисел четвертого, пято­го, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков. На­звания этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего де­сятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (для обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти десятков) и сто (для обозначения десяти десятков). Названия чисел второй сотни составляются из слова «сто» и названий чисел первого и последующих десятков. Таким путем образуются наименования: сто один, сто два, ..., сто двадцать и т.д. Отсчитав новую сотню, будем иметь две сотни, которые для краткости называют «двести». Для получения чисел, больших двухсот, снова воспользуемся назва­ниями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их к слову «двести». Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот и т.д. до тех пор пока не отсчитаем десять сотен, которые носят название тысяча.

Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по едини­це (тысяча один, тысяча два и т.д.), получим две тысячи, три тысячи и т.д. Когда же отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое наименование - миллион. Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое число - тысяча миллионов - носит особое название миллиард, или биллион. В вычис­лениях миллион принято записывать в виде миллион 10⁶, миллиард - 10⁹. По аналогии можно получить записи еще больших чисел: триллион - 10¹², квадриллион - 10¹⁵ и т.д.

Таким образом, для того чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, де­вяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.

Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в началь­ном курсе математики в разделе «Нумерация». При этом десятичной записью натурального числа считают его представление в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 3000 + 700 + 40 + 5 есть сумма разрядных слагаемых числа 3745. Представление числа в виде таких сумм удобно для его наименования: три тысячи семьсот сорок пять.

IV. Подведение итогов лекции

Упражнения

1.       Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых:

а) 4725;          6)3370;           в) 10255.

2.       Какие числа представлены следующими суммами:

а) 6∙10³+ 5∙10 + 8;         б) 7∙10³ + 1 ∙ 10;

в)8∙10⁴+10³+3∙10+ 1;    г) 10⁵ + 10²?

3.Напишите наибольшее трехзначное и десятизначное числа, в которых все цифры различны.

4.Решите арифметическим методом задачи из начального курса математики:

а) Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем цифра десятков вдвое больше цифры единиц. Найдите это число.

б) Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу. Цифра десятков обозначает число в 4 раза меньшее, чем цифра единиц. Какое это двузначное число?

Какие некорректности допущены в формулировках данных задач? Следует ли их исправлять?

V. Каждая цифра пятизначного числа на единицу больше преды­дущей, а сумма его цифр равна 30. Какое это число?

VI. Младшим школьникам предложена задача: «Запиши 5 четырех­значных чисел, используя цифры 2, 5, 0, 6 (одна и та же цифра не должна повторяться в записи числа)». А сколько вообще всевозможных четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 5, 0 и 6гак, чтобы одна и та же цифра не повторялась в записи числа?

V. Задание на дом. Л.П. Стойлова «Математика» стр.249-254

---

Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 150; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!