Свойства преобразований Лапласа
Основы операционного исчисления
Лекция 1
Преобразование Лапласа и его свойства
Операционное исчисление применяется при нахождении как частных, так и общих решений линейных дифференциальных уравнений любого порядка с постоянными коэффициентами, при этом правая часть уравнения на различных интервалах может быть задана различными аналитическими выражениями, а также может иметь точки разрыва. Операционный метод используется для решения однородных и неоднородных систем дифференциальных уравнений, причем правые части неоднородных систем также могут быть заданы на различных интервалах различными аналитическими выражениями и иметь точки разрыва первого рода.
Операционное исчисление широко применяется для решения задач электротехники и теории автоматического управления и регулирования, в частности позволяет найти установившийся ток в колебательном контуре при периодическом и непериодическом внешнем напряжении. Операционные методы позволяют рассчитывать процессы в сложных электрических цепях при произвольном внешнем напряжении. Операционные методы позволяют также находить решения уравнений в частных производных, которые появляются в задачах математической физики, например при решении задачи о колебательном движении струн и стержней, о распространении тепла в стержне, плоских пластинах и пространственных телах, о распространении электрических колебаний вдоль длинных цепей.
|
|
|
Операционное исчисление строится на основе преобразования Лапласа.
Преобразованием Лапласа или изображением по Лапласу функции 
вещественной переменной 
называется функция 
комплексной переменной 
, определяемая несобственным интегралом
. (1)
Интегралом Лапласа называется интеграл в правой части (1).
Оригиналом называется функция вещественной переменной , которая удовлетворяет условиям:
1) 
при 
,
2) кусочно-непрерывна при 
; это означает, что функция может иметь на каждом отрезке при лишь конечное число точек разрыва первого рода;
3) имеет ограниченную степень роста: 
при любом , где 
некоторые постоянные числа. Число 
называется показателем роста функции или абсциссой сходимости интеграла Лапласа.
Иногда преобразованием Лапласа называется операция перехода от оригинала к изображению . Соответствие между функциями и записывается в виде 
.
Если функция является оригиналом, то интеграл Лапласа сходится абсолютно и равномерно на комплексной полуплоскости 
.
Доказательство. Пусть , и 
. Тогда 
. Отсюда следует, что интеграл Лапласа сходится абсолютно при 
, так как он мажорируется абсолютно сходящимся интегралом. Если же 
, то 
, где в правой части неравенства получено число. Следовательно, интеграл Лапласа сходится равномерно при .
|
|
|
Преобразование Лапласа устанавливает связь между оригиналами и их изображениями. Определенным действиям, производимым над оригиналами, соответствуют некоторые действия, производимые над их изображениями, причем действия над изображениями оказываются более простыми, чем над оригиналами. В частности, дифференциальному уравнению относительно оригинала соответствует алгебраическое уравнение относительно изображения. Если решить это алгебраическое уравнение и затем найти оригинал полученного решения, то тем самым будет получено решение исходного дифференциального уравнения.
Единичной функцией Хевисайда называется функция 
. График функции Хевисайда имеет вид
Для функции Хевисайда используются также следующие обозначения: 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Пример 1. Найти изображение единичной функции Хевисайда.
, 
(3)
Условимся в дальнейшем под функцией понимать функцию, которая равна нулю при 
, т.е. 
.
Пример 2. Найти изображение показательной функции 
.
|
|
|
для 
.
(4)
Пример 3. Найти изображение степенной функции 
, 
и 
, 
.
(5)
Свойства преобразований Лапласа
1. Свойство линейности: если 
и 
, то
. (6)
Используя это свойство и соотношение (4), найдем изображение тригонометрических и гиперболических функций
(7)
(8)
(9)
Аналогично
(10)
2. Теорема подобия. Для любого 
. (11)
Доказательство 
3. Теорема смещения: умножение оригинала на множитель 
приводит к смещению аргумента изображения на 
.
, 
.(12)
Пример 4.
(13)
(14)
(15)
4. Теорема запаздывания: включению оригинала с запаздыванием на 
соответствует умножение изображения на 
.
(16)
Доказательство. Рассмотрим функцию 
, тогда
Функцию 
можно представить в виде 
и тогда 
.
Пример 5. Найти изображение функции 
, которая представляет собой единичный импульс, действующий в течение промежутка времени 
.
На рисунке представлен график функции .
|
|
|
Учитывая соотношение (3), в соответствии с теоремой запаздывания получим
.
Пример 6. Найти изображение функции 
Представим эту функцию с помощью функции Хевисайда в виде 
Здесь были использованы формулы приведения 
и нечетность функции синуса. В соответствии с формулой (8) 
тогда по теореме запаздывания 
. Отсюда для исходной функции получим изображение 
.
Пример 7. Найти изображение функции 
.
Запишем функцию с помощью функции Хевисайда в виде 
. Преобразуем эту функцию к функции аргумента 
. Очевидно, что 
. Тогда 
Учитывая, что в соответствии с (5) , получим 
. Отсюда по теореме смещения
. Применяя теперь теорему запаздывания, получим
Пример 8. Найти оригинал для функции 
.
Учитывая, что в соответствии с формулами (7), (8), и (5) 
, получим по теореме запаздывания 
. 
, Тогда
. Следовательно, функцию можно записать в виде
5. Теорема о дифференцировании оригинала:
Если и функции 
являются оригиналами, то
, (17)
(18)
………………………………………………..
(19)
В частности, если 
, то
. (20)
Доказательство. 
Здесь было использовано интегрирование по частям при обозначениях 
. Поскольку 
, то 
при 
, если . Поэтому неинтегральный член дает вклад в результат 
.
Применим соотношение (17) к (17) повторно, тогда получим
(21)
Применяя соотношение (17) к (21), получим
Продолжая этот процесс. получим
Замечание. Если функция является оригиналом, то она является кусочно-непрерывной, т.е. может иметь на каждом отрезке при лишь конечное число точек разрыва первого рода. Если оригиналом является 
, то сама функция при всех 
должна быть непрерывной. Если оригиналом является 
, то при всех должна быть непрерывной и т.д.
6. Теорема об интегрировании оригинала: интегрирование оригинала в пределах от 0 до приводит к делению изображения на 
.Если и 
, то 
, т.е.
(22)
Доказательство. Обозначим 
. Учитывая, что 
и 
, получим в соответствии с теоремой дифференцирования оригинала
. Поскольку , то 
. Отсюда 
.
Из свойств (5) и (6) следует, что более сложным действиям над оригиналами (дифференцированию и интегрированию) соответствуют более простые действия над изображениями (умножение и деление на р).
7. Теорема о дифференцировании изображения: дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на 
.
. 
, 
, 
, ,
. (23)
Доказательство. Учитывая, что 
, найдем 
.
Следовательно, 
. Применяя эту теорему несколько раз, последовательно найдем оригиналы для высших производных изображения.
8. Теорема об интегрировании изображения: если интеграл 
сходится, то интегрирование изображения в пределах от до 
соответствует делению оригинала на .
, (24)
т.е. интегрирование изображения в пределах от до соответствует делению оригинала на .
Пример 9. Найти изображение функции 
.
Учитывая, что 
, получим по теореме об интегрировании изображения 
. Применяя теорему об интегрировании оригинала к полученному соотношению, найдем 
. Отметим, что интеграл 
определяет неэлементарную функцию, которая называется интегральный синус.
Пример 10. Найти изображение для функции 
.
Учитывая, что 
, с помощью теоремы об интегрировании изображения получим 
.
Следовательно,
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 110; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!