Тема «Делимость натуральных чисел»

Методические рекомендации

Культура вычислений, необходимая учителю начальных классов, предполагает знание некоторых вопросов теории делимости целых неотрицательных чисел и умение их применять на практике.

В данной теме представлены задачи различных типов. К первому типу относятся задания включающие две части, где в первой части, не производя указанных действий над числами, нужно установить, делится ли на данное число значение выражения, во второй части, требуется найти все числа определенного вида, кратные заданному числу. При их решении используются признаки делимости, а также теоремы о делимости суммы, разности и произведения, запись числа в виде суммы разрядных слагаемых.

Ко второму типу относится задание, в котором требуется найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел, используя различные способы их нахождения.

Умение определить, простое число или составное, является необходимым при решении некоторых математических задач. В третий тип заданий по данной теме, включены задачи на использование алгоритма распознавания простых чисел, `который позволяет ускорить процесс выявления простых чисел из некоторого множества.

Утверждения о делимости натуральных чисел можно доказывать различными методами. К четвертому типу заданий относятся задания на доказательство утверждений о делимости натуральных чисел методами математической и полной индукции.

Доказательство методом математической индукции утверждения А(n) о натуральных числах состоит из двух частей:

1) доказывают, что утверждение А(n) истинно для n=1, т.е. истинно высказывание А(1);

2) предполагают, что утверждение A(n) истинно для n = k; исходя из этого предположения, доказывают, что утверждение А(п) истинно для n = k+1, т.е. что истинно высказывание А( k) => А( k+1), где k — произвольное натуральное число.

Если А(1) и (A(k)=>A(k + 1)) - истинное высказывание, то делают вывод о том, что утверждение A(n) истинно для любого натурального числа n.

Метод рассуждений, ведущий от частных случаев к общему выводу, называется индукцией. Полная индукция - это способ доказательства, при котором истинность утверждения общего характера следует из истинности его во всех частных случаях. Метод полной индукции используется для доказательства утверждений о делимости натуральных чисел. Так как множество натуральных чисел бесконечно, то доказательство проводят следующим образом: множество N разбивают на конечное число подмножеств и доказывают, что при любом х из каждого подмножества разбиения данное утверждение истинно. И на этом основании заключают‚ что оно истинно для любого натурального числа.

Для решения заданий данной темы необходимо:

знать: - определение и свойства отношения делимости, признаки делимости нa 2, 3, 4, 5, 9, 25, составные числа; - определение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел; - способ нахождения наибольшего общего делителя, который основан нa делении с остатком (алгоритм Евклида),взаимосвязь наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел; способ нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, использующий разложение чисел на простые множители; - определение простого, составного числа, алгоритм распознавания простых чисел; - процесс доказательства методами математической, полной индукции в общем виде.

уметь: - применять признаки делимости на практике, устанавливать, делится ли значение числового выражения на данное число, не производя указанных действий над числами; - находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел разными способами; - устанавливать` является число простым или составным; - использовать методы математической, полной индукции для доказательства утверждений о делимости натуральных чисел.

Образец выполнения заданий

Задание 1. 1 часть. Не производя указанных действий над числами, установите, делится ли на 36 значение выражения:

a) 2844 — 540; 6) 648 + 136 + 342; в) 32 ›‹ 15 х 21.

Решение. Воспользуемся признаком делимости на составное число. Для этого представим число 36 в виде произведения двух взаимно простых чисел 4 и 9. Тогда число будет делиться на 36, если оно делится нa 4 и 9.

a) B данной разности число 2844 делится нa 4 (число, образованное последними двумя цифрами, - 44 кратно 4) и делится на 9 (сумма цифр числа 2844 равна 18, 18 делится нa 9). Следовательно, число 2844 делится на 36. Число 540 также кратно 4 и 9 (используем те же признаки делимости). Следовательно, число 540 делится на 36. Таким образом, в разности 2844 - 540 и уменьшаемое, и вычитаемое кратно 36, а значит, данная разность делится на 36 (по теореме о делимости разности).

б) В данной сумме 648 делится на 36, так как делится на 4 и 9 (см. пункт а)). Число 136 не делится на 36, так как не делится на 9 (сумма цифр числа 136 равна 10, 10 не делится нa 9). Число 342 не делится на 36, так как не делится на 4 (число, образованное последними двумя цифрами 42 нe делится на 4). Таким образом, в сумме 648 + 136 + 342 одно слагаемое делится на 36, a два других не делятся. Поэтому, не производя вычислений, нельзя ничего сказать о делимости всей суммы.

в) В данном произведении множитель 32 делится на 4, a значит, по теореме о делимости произведения, и значение выражения 32 х 15 x 21 кратно 4. Так как число 15 делится на 3 и число 21 делится на 3, то произведение 15 х 21 делится на произведение 3 х 3, т.е. нa 9 (по теореме: если в произведении a х b множитель a делится нa натуральное число m, a множитель b делится нa натуральное число n, то произведение а x b делится на произведение m x n). Получили, что значение выражения 15 х 21 кратно 9, следовательно, и произведение 32 х 15 x 21 делится на 9 (по теореме о делимости произведения). Таким образом, значение выражения 32 х 15›‹ 21 делится на 4 и на 9, a значит, делится на 36.

2 часть. Найдите все числа вида 71х1у, делящиеся на 45.

Решение. Число 45 можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел 5 и 9. Поэтому для того чтобы число 71х1у делилось на 45, необходимо, чтобы оно делилось на 5 и 9.

Согласно признаку делимости на 5 последняя цифра в записи числа должна быть 0 или 5, т. е. у=0 или у=5. А чтобы число делилось на 9, необходимо, чтобы сумма цифр в его записи была кратна 9, т. е. на 9 должна делиться сумма 7+1+х+1+у.

Если у=0, то эта сумма делится на 9 при х=0 (7+1+0+1+0=9) или х=9 (7+1+9+1+0=18). Других значений х нет, поскольку х должен быть числом однозначным.

Если у=5, то данная сумма делится на 9 только при х=4 (7+1+4+1+5=18).

Таким образом, условию задачи удовлетворяют числа: 71010; 71910; 71415.

Задание 2. Найти наибольший общий делитель чисел а, b и их наименьшее общее кратное различными способами.

1 способ. Найти наибольший общий делитель чисел а = 1643 и b = 1457 (с помощью алгоритма Евклида) и их наименьшее общее кратное.

Решение. Наибольший общий делитель чисел a и b обозначается D (a, b). Найдем D (1643, 1457), применяя алгоритм Евклида. Процесс последовательного деления будем записывать так:

1643=1457· 1+186

1457= 186· 7 +155

186 = 155 ·1 + 31

155 = 31 · 5 + 0

Таким образом, D (1643, 1457) = 31, так как последний отличный от нуля остаток в равенствах алгоритма Евклида равен 31.

Наименьшее общее кратное чисел а и b o6oзначается К(а, b ) и вычисляется по формуле K( a,b) =

Вычислим К (1643, 1457)

K(1643, 1457 ) = =1643 · 47 = 77221.

Ответ: D(1643, 1457) = 31, К (1643, 1457) = 77221.

2 способ. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а = 1848, b = 1980, используя их разложения на простые множители.

Решение. Представим числа 1848 и 1980 в каноническом виде (т.е. в виде произведения простых чисел, где произведение повторяющихся множителей записывают с помощью обозначения степени).

1848 2

924 2

462 2

231 3

77 7

11 11

l848=2·2·2·3·7· 11 =2³·3·7·11

1980 2

990 2

495 3

165 3

55 5

11 11

1980=2·2·3·3·5·11=2²·3²·5·11

Найдем наибольший общий делитель данных чисел. В его разложение должны войти все общие простые множители, которые содержатся в разложениях чисел 1848 и 1980, причем каждый из них нужно взять c наименьшим показателем степени, c каким он входит в оба разложения. Следовательно, D (1848, 1980) = 2²·3·11 = 132.

Найдем наименьшее общее кратное данных чисел. В его разложение должны войти все простые множители, которые содержатся хотя бы в одном из разложений чисел 1848 и 1980, причем каждый из них нужно взять с наибольшим показателем степени, c каким он входит в оба разложения.

Следовательно, К (1848, 1980) = 2³·3²·5·7·11 = 27720.

Ответ: D (1848, 1980) = 132, K (1848, 1980) = 27720.

Задание 3. Установите, являются ли простыми числа 127 и 213.

Решение. Установим, простое или составное число 127. Воспользуемся алгоритмом распознавания простых чисел. Для этого извлечем квадратный корень из 127: 11< <12. Выпишем все простые числа, не превосходящие числа 12: 2, 3, 5, 7, 11. (1)

Проверим, делится ли число 127 на какое-либо из чисел ряда (1). Ha основании признаков делимости на 2, 3 и 5 устанавливаем, что число 127 не делится на 2, 3 и 5. Действительно, 127 не делится на 2 (последняя цифра 7, 7 не делится на 2). Число 127 не делится на 3 (сумма цифр числа 127 равна 10, 10 не делится нa 3). Число 127 не делится на 5 (последняя цифра числа 127 не 0 и не 5).

Делимость числа 127 нa остальные числа ряда (1) определяем путем деления уголком.

Получим, что число 127 не делится ни нa одно из чисел ряда (1). Таким образом, нет ни одного простого числа, не превышающего корня из числа 127‚ на которое бы число 127 разделилось. Следовательно, число 127- простое.

Чтобы установить, простое или составное число 213, воспользуемся тем же алгоритмом. Извлечем квадратный корень из 213:

14 < √213 < 15. Выпишем все простые числа, не превосходящие числа 15: 2, 3, 5, 7,11,13.(II)

Проверим, делится ли число 213 нa какое-либо из чисел ряда (II). Число 213 не делится на 2 (последняя цифра числа 3, 3 не делится на 2). Число 213 делится на 3, так как сумма цифр числа 213 равна 6, 6 делится на 3. Следовательно, число 213 — составное.

Задание 4. Доказать утверждение о делимости натуральных чисел:

а) Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа n истинно утверждение: (5^{п -}- 1) 4.

Решение.

1.Докажем, что данное утверждение истинно для n = l. Имеем 5¹- l = 4, но 4 делится на 4. Следовательно, для n = 1 данное утверждение истинно.

2. Предположим, что данное утверждение истинно для n = k, т.е. (5^к — 1) 4. Из этого, докажем, что оно истинно и для n = k + 1, т.е. (5 ^к+1 — 1) 4. Доказательство можно провести тремя способами. ’

1—й способ. Преобразуем выражение 5 ^к+1 -- 1 к виду 5^к· 5 - 1. Если заменим число 5 суммой удобных слагаемых 4 и 1‚ то получим:

5^к· 5 — 1= 5^к·(4+1)-1=(5^к·4+5^к)-1=5^к·4+(5^к-1). B полученном выражении первое слагаемое 5^к·4 кратно 4, так как один из множителей (4) делится нa 4. Второе слагаемое (5^к-1) кратно 4 по предположению. Следовательно, вся сумма кратна 4.

2-й способ. Рассмотрим разность (5 ^к+1 — 1) – (5^к — 1).

После преобразований получаем: 5 ^к+1 -- 1 – 5^к + 1= 5 ^к+1 – 5^к= 5^к··(5–1) = 5^к·4. Имеем: (5 ^к+1 — 1) – (5^к — 1)= 5^к·4. Произведение 5^к·4 делится на 4, так как один из множителей делится нa 4. Вычитаемое (5^к-1)делится на 4 по предположению. Отсюда на основании теоремы о делимости суммы вытекает делимость на 4 уменьшаемого (5 ^к+1 -- 1), что и требовалось доказать на этом этапе рассуждений.

3-й способ. Преобразуем выражение (5 ^к+1 — 1) к виду 5^к· 5 — 1. Вычтем и прибавим 4, получим: 5^к· 5 - 1--4+4= 5^к· 5-- 5+4=5(5^к — 1)+4.

В данном выражении первое слагаемое 5(5^к — 1) кратно 4, так как (5^к — 1) кратно 4 по предположению. Число 4 также делится на 4. Следовательно, вся сумма кратна 4.

Таким образом, данное утверждение истинно для n = l и из истинности его для n = k следует истинность для n = k + 1. Тем самым доказано, что утверждение (5^{п -}-- 1) 4 истинно для любого натурального числа n.

б) Используя метод полной индукции, докажите, что при любом натуральном n число n⁵-- n делится на 10.

Решение. Разность n⁵-- n представим в виде произведения:

n⁵ — n = n(n⁴ - 1)= n (n² — 1) (n² + 1) = n (n — 1) (n + 1) (n² +1). Значит, надо доказать, что n (n — 1) (n + 1) (n² +1) 10. Ho 10 = 2·5, и согласно признаку делимости на составное число 10 из того, что n⁵-- n делиться на 2 и на 5 будет следовать его делимость на 10.

Произведение n(n -- 1) (n + 1) (n² + 1) 2, содержит два последовательных натуральных множителя, например n и n + 1, из которых одно число обязательно четное.

Докажем теперь, что число вида n(n — 1) (n + 1) (n² +1) делится на 5 при любом натуральном n. Разобьем множество всех натуральных чисел на пять подмножеств чисел вида:

1) 5q, т.e. чисел, кратных 5;

2) 5q + l, т.е. чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1;

3) 5q + 2, т.е. чисел, которые при делении нa 5 дают в остатке 2;

4) 5q + 3, т.е. чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 3;

5) 5q + 4, т.е. чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 4 (во всех случаях q — натуральное число).

В первом случае произведение n(n — 1)(n + 1)(n² + 1) делится на 5, так как оно содержит множитель n = 5q.

Во втором случае на 5 делится множитель n -- 1= 5q+1— 1 = 5q. Поэтому, и все произведение делится на 5.

В третьем случае на 5 делится множитель n² + 1, так как

n² + 1=(5q + 2)²+1=25q² +20q+5=5(5q² +4q+1).

B четвертом случае на пять делится множитель n² +1‚так как

n² +1=(5q+ 3)²+1= 25q² + 30q + 10 = 5(5q²+6q + 2), и, следовательно, все произведение делится на 5.

B пятом случае на пять делится множитель n + 1, так как п+1=5q + 4+1=5q + 5= 5(q + 1). Следовательно, все произведение делится нa 5.

Таким образом, доказано, что число n⁵ -- n делится нa 2 и на 5, следовательно, оно делится и на 10.

Варианты контрольной работы

Вариант 1

1. а) Указать все случаи использования законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел при вычислении рациональным способом значения выражения 4*747*25*6

Записать используемые законы и объяснить, какие преобразования выражений возможны на их основе.

б) Задание взято из учебников математики для начальных классов. Дайте обоснование приведенным преобразованиям, используя язык вузовского и начального курсов математики.

32+46=(30+2)+(40+6)=(30+40)+(2+6)=70+8=78

2. Решите задачу различными арифметическими способами. Выбор действий обоснуйте. Установите, какое свойство (правило) является обобщением приведенных способов решения данной задачи.

В куске было 32 метра ткани. От него отрезали сначала 6 метров, а затем еще 8 метров ткани. Сколько метров ткани осталось в куске?

Проанализируйте: всегда ли задача имеет такое количество арифметических способов решения, если нет, то сформулируйте задачи с измененными данными и дайте полное обоснование решения.

3. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

а) теоретико-множественную; б) принятую в начальном курсе математики.

В пруду зоопарка плавали 6 лебедей, 12 гусей, а уток на 3 меньше, чем лебедей и гусей вместе. Сколько уток плавало в пруду?

4. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

а) раскрывающую смысл действий над натуральными числами – результатами измерения величин; б) принятую в начальном курсе математики.

Папа купил 3 рулона обоев по 10м каждый, 25м обоев израсходовали. Сколько метров обоев осталось?

5. На примере сложения чисел 4389 и 734 покажите, какие теоретические положения лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел.

6. Выполнить действия и записать ответ в заданной системе счисления 324₈*22₈-10102₈= х_5.

Сделайте проверку вычислений в десятичной системе счисления.

7. а)Не производя указанных действий над числами, установите, делятся ли на 12 значения выражений: 1) 144+324+256; 2) 152831.

б) Найти все пятизначные числа вида 517mn (где n, m-цифры), которые делятся на 18.

8. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а = 486 и в = 324, используя алгоритм Евклида и каноническое разложение чисел.

9. Из множества {259, 611, 131} выделите подмножество составных чисел.

10. Докажите утверждение, используя метод:

а) математической индукции: ("nÎN ) (2^4п- 1) 15

б) полной индукции: при любом натуральном а число а³ + 5а делится на 6.

Вариант 2

1. а) Указать все случаи использования законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел при вычислении рациональным способом значения выражения 527*24 + 41*527+527*35.

Записать используемые законы и объяснить, какие преобразования выражений возможны на их основе.

23+56=(20+3)+(50+6)=(20+50)+(3+6)=70+9=79

На товарную станцию прибыло 2 состава с мукой. В одном из них было 37 вагонов, а в другом - 41. Разгрузили 34 вагона. Сколько вагонов с мукой осталось разгружать?

3. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

а) теоретико-множественную; б) принятую в начальном курсе математики.

Для похода туристы закупили 96 банок консервов. В день они расходовали по 8 банок. Сколько банок консервов у них останется после 10 дней?

4. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

Из 30кг муки, расфасованных поровну в 15 пакетов, продали 9 пакетов. Сколько кг муки осталось?

5. На примере вычитания числа 389 из числа 1734 покажите, какие теоретические положения лежат в основе алгоритма вычитания многозначных чисел.

6. Выполнить действия и записать ответ в заданной системе счисления

30314₅ : 42₅+124₅ = х₃

Сделайте проверку вычислений в десятичной системе счисления.

7. а)Не производя указанных действий над числами, установите, делятся ли на 36 значения выражений: 1) 23544 - 17028; 2) 39*51*16.

б) Найти все пятизначные числа вида 374nm (где n, m - цифры), которые делятся на 45.

8. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а = 1002 и в = 522, используя алгоритм Евклида и каноническое разложение чисел.

9. Являются ли простыми числа 211, 371, 853.

10. Докажите утверждение, используя метод:

а) математической индукции: ("nÎN ) (15^п + 6) 7

б) полной индукции: произведение четырех последовательных натуральных чисел делится на 24.

Вариант 3

1. а) Указать все случаи использования законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел при вычислении рациональным способом значения выражения (57+68+89)+(32+11+43)

Записать используемые законы и объяснить, какие преобразования выражений возможны на их основе.

б) Задание взято из учебников математики для начальных классов. Дайте обоснование приведенным преобразованием, используя язык вузовского и начального курсов математики.

26+7=26+(4+3)=(26+4)+3=30+3=33

На складе было 706 мешков муки. Сначала на хлебозавод отправили 138 мешков, а затем еще 354. Сколько мешков муки осталось на складе?

3. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

а) теоретико-множественную; б) принятую в начальном курсе математики.

В новогоднем подарке было 9 конфет «Ромашка» и 6 конфет «Василек». Три девочки разделили их между собой поровну. Сколько конфет получила каждая?

4. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

От куска ситца отрезали 4м на платье, а на передник – на 3м меньше. Сколько метров ситца отрезали от куска?

5. На примере деления числа 16037 на число 79 покажите, какие теоретические положения лежат в основе алгоритма деления многозначного числа на многозначное.

6. Выполнить действия и записать ответ в заданной системе счисления

35320₆: 52₆ +430₆= х₄

Сделайте проверку вычислений в десятичной системе счисления.

7. а)Не производя указанных действий над числами, установите, делятся ли на 15 значения выражений: 1) 225+540+115; 2) 331725.

б) К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15. Укажите все возможные варианты.

8. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а = 684 и в = 270, используя алгоритм Евклида и каноническое разложение чисел.

9. Установите, какие числа 139, 323, 557 являются простыми.

10. Докажите утверждение, используя метод:

а) математической индукции: ("nÎN ) (7^п+ 5) 6

б) полной индукции: при любом натуральном n число n⁵ – n делится на 15.

Вариант 4

1. а) Указать все случаи использования законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел при вычислении рациональным способом значения выражения 37*42 + 37*36 – 78*27

Записать используемые законы и объяснить, какие преобразования выражений возможны на их основе.

5*14=5*(10+4)=5*10+5*4=50+20=70

Мешок сахарного песка имеет массу 80 кг. До обеденного перерыва в магазине продали 3 мешка сахарного песка, а после перерыва – 5 таких мешков. Сколько килограммов сахарного песка продали за весь день?

3. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

а) теоретико-множественную; б) принятую в начальном курсе математики.

На елке было 8 красных шаров, золотых шаров на 3 меньше, чем красных, а зеленых столько, сколько красных и золотых шаров вместе. Сколько было зеленых шаров?

4. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

Масса кабачка 2кг, а тыквы в 6 раз больше. Чему равна масса кабачка и тыквы вместе?

5. На примере умножения числа 1204 на число 8, а затем на число 28 покажите, какие теоретические положения лежат в основе алгоритма умножения многозначного числа на однозначное и многозначное.

6. Выполнить действия и записать ответ в заданной системе счисления (31024₆ – 3421₆) *53₆ = х₈

Сделайте проверку вычислений в десятичной системе счисления.

7. а)Не производя указанных действий над числами, установите, делятся ли на 18 значения выражений: 1) 1836+2754; 2) 14*19*27.

б) Найти все пятизначные числа вида 56m3n (где n, m-цифры), которые делятся на 36.

8. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а = 435 и в = 360, используя алгоритм Евклида и каноническое разложение чисел.

9. Докажите, что числа 119, 889 являются составными, 421 - простое.

10. Докажите утверждение, используя метод:

а) математической индукции: ("nÎN ) (6^п+ 4) 5

б) полной индукции: сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

Вариант 5

1. а) Указать все случаи использования законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел при вычислении рациональным способом значения выражения 3057 + 1561 + 1513 + 829 + 2564

Записать используемые законы и объяснить, какие преобразования выражений возможны на их основе.

36-2=(30+6)-2=30+(6-2)=30+4=34

В баке машины 96л бензина. За каждый час работы расходуется 12л. Сколько часов работала машина, если в баке осталось 36л бензина?

3. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

а) теоретико-множественную; б) принятую в начальном курсе математики.

Один рабочий изготавливал за день 23 детали, а другой – 21 деталь. Сколько деталей изготовят оба рабочих за 2 дня?

4. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

В пустой бочонок сначала налили 13кг меда, а потом ещё 5кг. Масса бочонка с медом стала равна 20кг. Найдите массу пустого бочонка.

5. На примере сложения чисел 1957 и 9734 покажите, какие теоретические положения лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел.

6. Выполнить действия и записать ответ в заданной системе счисления

32541₆ * 342₆ -451₆= х₃

Сделайте проверку вычислений в десятичной системе счисления.

7. а)Не производя указанных действий над числами, установите, делятся ли на 45 значения выражений: 1) 1215 – 305 + 135; 2) 41*13*225.

б) Найти все пятизначные числа вида 135mn (где n, m-цифры), которые делятся на 45.

8. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а = 516 и в = 124, используя алгоритм Евклида и каноническое разложение чисел.

9. Верно ли высказывание: «Все числа из множества {253, 1261, 397} являются составными»?

10. Докажите утверждение, используя метод:

а) математической индукции: ("nÎN ) (3 ^2п+1+ 1) 4

б) полной индукции: разность между кубом нечетного натурального числа и самим числом делится на 24.

Вариант 6

1. а) Указать все случаи использования законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел при вычислении рациональным способом значения выражения 286*123+452*286+286*227

Записать используемые законы и объяснить, какие преобразования выражений возможны на их основе.

352*3=(300+50+2) *3=300*3+50*3+2*3=900+150+6=1056

В одном куске было 24 метра ткани, а в другом – на 8м меньше. Из всей этой ткани сшили несколько одинаковых платьев, расходуя на каждое по 4м. Сколько сшили платьев?

3. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

а) теоретико-множественную; б) принятую в начальном курсе математики.

В руках у игроков команды «Марс» - 14 клюшек, а запасных клюшек на 6 меньше. Сколько всего клюшек у команды «Марс»?

4. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

В корзине было 5кг свеклы, а в двух одинаковых ящиках 24кг. На сколько килограммов больше свеклы в ящике, чем в корзине?

5. На примере вычитания числа 589 из числа 1704 покажите, какие теоретические положения лежат в основе алгоритма вычитания многозначных чисел.

6. Выполнить действия и записать ответ в заданной системе счисления (40045₆ – 5555₆) *52₆ = х₇

Сделайте проверку вычислений в десятичной системе счисления.

7. а)Не производя указанных действий над числами, установите, делятся ли на 12 значения выражений: 1) 2064 - 516+156; 2) 13*27*64.

б) Найти все пятизначные числа вида 517mn (где n, m-цифры), которые делятся на 6 и 9.

8. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а = 121 и в = 253, используя алгоритм Евклида и каноническое разложение чисел.

9. Докажите или опровергните высказывание: «Среди чисел 251, 829, 661 по крайней мере одно составное».

10. Докажите утверждение, используя метод:

а) математической индукции: ("nÎN ) (15^п- 1) 7

б) полной индукции: произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 60.

Вариант 7

1. а) Указать все случаи использования законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел при вычислении рациональным способом значения выражения (7356 + 11932) – 9932

Записать используемые законы и объяснить, какие преобразования выражений возможны на их основе.

(2+7)+3=2+(7+3)=2+10=12

Учащиеся одного класса посадили 4 ряда яблонь по 3 в каждом, а учащиеся другого – 4 ряда по 5 в каждом. Сколько всего яблонь посадили учащиеся двух классов?

3. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

а) теоретико-множественную; б) принятую в начальном курсе математики.

В одной теплице вырастили 48 саженцев сосен, а в другой – 56. Для продажи все эти саженцы разложили в ящики, по 8 саженцев в каждый. Сколько таких ящиков потребовалось?

4. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

Для ремонта квартиры купили 10 банок краски по 3кг в каждой. Израсходовали 7 банок. Сколько килограммов краски осталось?

5. На примере деления числа 4117 на число 179 покажите, какие теоретические положения лежат в основе алгоритма деления многозначного числа на многозначное.

6. Выполнить действия и записать ответ в заданной системе счисления (30042₅ + 4444₅) *23₅ = х₇

Сделайте проверку вычислений в десятичной системе счисления.

7. а)Не производя указанных действий над числами, установите, делятся ли на 36 значения выражений: 1) 3168+324+7220; 2) 24*35*81.

б) Найти все пятизначные числа вида 517mn (где n, m-цифры), которые делятся на 36.

8. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а = 948 и в = 1620, используя алгоритм Евклида и каноническое разложение чисел.

9. Верно ли высказывание: «Среди чисел 481, 1001, 167 найдется хотя бы одно простое»?

10. Докажите утверждение, используя метод:

а) математической индукции: ("nÎN ) (6^п- 1) 5

б) полной индукции: произведение квадрата натурального числа на натуральное число, предшествующее этому квадрату, делится на 12.

Вариант 8

1. а) Указать все случаи использования законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел при вычислении рациональным способом значения выражения 211*8*9*125

Записать используемые законы и объяснить, какие преобразования выражений возможны на их основе.

27+18=27+(3+15)=(27+3)+15=30+15=45

В магазин привезли 12 ящиков с яблоками по 8кг в каждом. До обеденного перерыва было продано 9 ящиков. Сколько килограммов яблок осталось продать после обеденного перерыва?

3. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

а) теоретико-множественную; б) принятую в начальном курсе математики.

В конструкторе 54 детали. Из 12 деталей Юра сделал электровоз, а из остальных – вагоны. Сколько получилось вагонов, если на каждый пошло по 7 деталей?

4. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

В баке машины было 25л бензина. Для поездки на дачу израсходовали 14л бензина, а для поездки на станцию – 3л. Сколько литров бензина осталось после этого в баке?

5. На примере умножения числа 2054 на число 6, а затем на число 16 покажите, какие теоретические положения лежат в основе алгоритма умножения многозначного числа на однозначное и многозначное.

6. Выполнить действия и записать ответ в заданной системе счисления

30314₅ * 42₅+124₅ = х₃

Сделайте проверку вычислений в десятичной системе счисления.

7. а)Не производя указанных действий над числами, установите, делятся ли на 45 значения выражений: 1) 540+315+1125; 2) 57*21*35.

б) Найти все пятизначные числа вида 517mn (где n, m-цифры), которые делятся на 15.

8. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а = 386 и в = 714, используя алгоритм Евклида и каноническое разложение чисел.

9. Множество чисел {149, 973, 127, 671} разбейте на классы при помощи свойств «быть простым числом» и «быть составным числом».

10. Докажите утверждение, используя метод:

а) математической индукции: ("nÎN ) (3^3п- 1) 13

б) полной индукции: при любом натуральном а число а³ + 35а делится на 6.

Вариант 9

1. а) Указать все случаи использования законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел при вычислении рациональным способом значения выражения 213*125*7*8

Записать используемые законы и объяснить, какие преобразования выражений возможны на их основе.

68+11=68+(2+9)=(68+2)+9=70+9=79

В бензобаке машины было 24 л бензина. При заправке добавили еще 22 л. За день израсходовали 18 л бензина. Сколько литров бензина осталось в баке?

3. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

а) теоретико-множественную; б) принятую в начальном курсе математики.

У пристани стояло 18 маленьких и 7 больших рыбачьих лодок. Утром в море ушло 20 лодок. Сколько лодок осталось у пристани?

4. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

Для столовой получили 24кг муки в 8 одинаковых пакетах. За день израсходовали 5 таких пакетов. Сколько килограммов муки осталось в столовой?

5. На примере вычитания числа 589 из числа 1034 покажите, какие теоретические положения лежат в основе алгоритма вычитания многозначных чисел.

6. Выполнить действия и записать ответ в заданной системе счисления

324₆* 22₆-10102₆= х₃

Сделайте проверку вычислений в десятичной системе счисления.

7. а)Не производя указанных действий над числами, установите, делятся ли на 18 значения выражений: 1) 702+324 - 132; 2) 15*26*33.

б) Найти все пятизначные числа вида 135mn (где n, m-цифры), которые делятся на 36.

8. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а = 288 и в = 366, используя алгоритм Евклида и каноническое разложение чисел.

9. Из множества {241, 1529, 157} выделите подмножество простых чисел.

10. Докажите утверждение, используя метод:

а) математической индукции: ("nÎN ) (13^п+ 5) 6

б) полной индукции: при любом натуральном а число а⁷ – а делится на 7.

Вариант 10

1. а) Указать все случаи использования законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел при вычислении рациональным способом значения выражения 319+56+81+44+67

Записать используемые законы и объяснить, какие преобразования выражений возможны на их основе.

124+365=(100+20+4)+(300+60+5)=(100+300)+(20+60)+(4+5)=400+80+9=489.

В ящики, каждый из которых вмещает по 6кг фруктов, разложили 36кг яблок и 24кг груш. Сколько всего потребовалось ящиков?

3. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

а) теоретико-множественную; б) принятую в начальном курсе математики.

Один рабочий изготавливал за день 37 деталей, а другой - 45 деталей. Сколько деталей изготовят оба рабочих за 2 дня?

4. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию:

В ящики, каждый из которых вмещает по 6кг фруктов, разложили 36кг яблок и 24кг груш. Сколько всего ящиков потребовалось?

5. На примере сложения чисел 9389 и 835 покажите, какие теоретические положения лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел.

6. Выполнить действия и записать ответ в заданной системе счисления (31024₇ – 3421₇)*53₇ = х₃

Сделайте проверку вычислений в десятичной системе счисления.

7. а)Не производя указанных действий над числами, установите, делятся ли на 45 значения выражений: 1) 4365+324+115; 2) 51*43*25*39.

б) Найти все пятизначные числа вида 56m3n (где n, m-цифры), которые делятся на 18.

8. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а = 192 и в = 240, используя алгоритм Евклида и каноническое разложение чисел.

9. Докажите или опровергните высказывание: «Все числа из множества {461, 757, 563} являются простыми».

10. Докажите утверждение, используя метод:

а) математической индукции: ("nÎN ) (7 ^2п- 5) 4;

б) полной индукции: при любом натуральном а число а³ + 17а делится на 6.

Дата добавления: 2021-04-24; просмотров: 241; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!