Тема «Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами»
Тема «Аксиоматическое построение системы натуральных чисел»
Методические рекомендации
В данной теме представлены два типа заданий. В первом задании две части, к первой относятся те, в которых выполнены тождественные преобразования выражений и требуется дать им обоснование. Их решение сводится к анализу каждого шага выполненных преобразований с указанием теоретической основы. Ко второй части относятся задания из начального курса математики, для решения которых необходимо знать свойства действий над числами и уметь обосновывать проводимые преобразования, используя язык вузовского и начального курсов математики.
Во втором задании требуется решить задачу различными арифметическими способами. Выбор действий обосновать. Установить, какое свойство (правило) является обобщением приведенных способов решения данной задачи. Провести анализ, всегда ли задача имеет такое количество арифметических способов решения, если нет, то сформулировать задачи с измененными данными и обосновать решения.
Для решения задач данной темы необходимо
| знать: - законы сложения и умножения натуральных чисел, их назначение в преобразованиях числовых выражений; - дистрибутивные законы умножения относительно сложения и вычитания; - правила вычитания числа из суммы и суммы из числа; - правила деления суммы, разности, произведения на число. | уметь: - рационально выполнять вычисления с натуральными числами; - обосновывать проводимые преобразования, используя язык вузовского и начального курсов математики; - использовать свойства действий над натуральными числами при решении задач различными арифметическими способами. |
Образец выполнения заданий
|
|
|
Задание 1. а) Образец 1. Вычислите значениевыражения 12 х 25 х 50 х 4 рациональным способом и укажите все случаи использования законов сложения и умножения.
Решение. Удобно умножить 12 на 50, а 25 на 4. Для этого необходимо переставить множители 25 и 50, что возможно на основании коммутативного закона умножения, получим 12 х 50 х 25 х 4. На основании ассоциативного закона умножения выделим в полученном произведении группы по два множителя:
(12 х 50) х (25 х 4) = 600 х 100 = 60000
Образец 2. Укажите все случаи использования законов сложения целых неотрицательных чисел при вычислении значения выражения:
243 + 359 + 758 = 243 + 758 + 359 = 243 + (757 + 1) + 359 = (243 + 757) + (1 + 359) = 1000 + 360 = 1360.
Решение. Переход от выражения 243 + 359 + 758 к выражению 243 + 758 + 359 осуществлен на основании коммутативного закона сложения. Следующее тождественное преобразование - представление числа 758 в виде суммы 757 + 1 - возможно в силу единственности суммы двух данных чисел. Замена выражения 243 + (757 + 1) + 359 выражением (243 + 757) + (1 + 359) осуществлена на основе ассоциативного закона сложения. Затем действия выполнены по порядку.
|
|
|
б) Дайте обоснование приведенных преобразований, используя язык вузовского и начального курсов математики: 35+21=(30+5)+(20+1)=(30+20)+(5+|)=56.
Решение. Дадим обоснование приведенным преобразованиям на языке вузовского курса математики:
1, Переход от выражения 35 + 21 к тождественно равному выражению (30 + 5) + (20 + 1) осуществлен на основе способа записи чисел в десятичной системе счисления.
2. Замена выражения (30 + 5) + (20 + 1) выражением (30 + 20) + (5 + 1) осуществлена на основе коммутативного и ассоциативного законов сложения. Действительно‚ (30+5)+(20+ 1)=30+5+20+1=30+20+5+1=(30+20)+(5+1)=50+6=56.
Дадим обоснование приведенным преобразованиям на языке начального курса математики:
1. Переход от выражения 35 + 21 к тождественно равному выражению (30 + 5) + (20 + 1) осуществлен на основе представления чисел 35 и 21 в виде суммы разрядных слагаемых.
2. Замена выражения (30 + 5) + (20 + 1) выражением (30 + 20) + (5 + 1) осуществлена на основе правила прибавления суммы к сумме.
Задание 2. Решите задачу различными арифметическими способами. Выбор действий обоснуйте. Установите, какое свойство (правило) является обобщением приведенных способов решения данной задачи.
|
|
|
Задача. На товарную станцию прибыло 12 вагонов фруктов, по 60 т в каждом. Их поровну распределили между тремя супермаркетами. Сколько тонн фруктов получил каждый супермаркет?
Решение. Задача может быть решена тремя арифметическими способами.
1-ый способ. Так как известно, что в каждом из 12 вагонов 60 т фруктов, то можно найти массу всего груза: 60·12=720 (т).
Эти фрукты распределили поровну между тремя супермаркетами, следовательно, каждый супермаркет получил 720:3=240 (т).
2-ой способ. Так как фрукты находятся в 12 вагонах, то их можно поровну распределить между тремя супермаркетами, получим 12:3=4 (вагона).
В каждом из четырёх вагонов по 60 т фруктов, значит каждый супермаркет получил 60·4=240 (т).
3-ий способ. Так как в каждом вагоне 60 т фруктов, то, распределив его поровну между тремя супермаркетами, получим 60:3=20 (т).
Вагонов 12, всего фруктов каждый супермаркет получит 20·12=240 (т).
Обобщением рассматриваемых способов решения данной задачи является правило деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение а·в на число с, достаточно на это число разделить один из множителей и полученное частное умножить на другой множитель. Другими словами:
|
|
|
если а делится на с, то (а·в):с=(а:с) ·в ;
если в делится на с, то (а·в):с=а·(в:с).
Тема «Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами»
Методические рекомендации
Умение правильно выбирать арифметическое действие при решении задачи - одно из наиболее важных для учащихся начальных классов. Теоретико-множественный подход к целому неотрицательному числу способствует формированию умения выбирать и обосновывать выбор действия при решении задач.
В данной теме выделены два типа задач. К первому относятся те, в которых действия над целыми неотрицательными числами связаны с действиями над множествами:
- сложение чисел - с объединением конечных непересекающихся множеств;
- вычитание чисел - с выделением подмножества данного множества и образованием нового множества - дополнения выделенного подмножества;
- умножение чисел - с объединением попарно непересекающихся равночисленных множеств;
- деление чисел - с разбиением множества на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества.
Ко второму типу относятся задачи, в которых обоснование выбора действия требует знания теоретико-множественного смысла отношений «столько же», «больше (меньше) на», «больше (меньше) в». В этом случае, прежде чем обосновать выбор действия, надо выяснить, о каких множествах идет речь в задаче и какие отношения между их численностями рассматриваются.
Для решения задач данной темы необходимо
| знать: - теоретико-множественный смысл сложения, вычитания, умножения и деления целых неотрицательных чисел; - теоретико-множественный смысл отношений «больше (меньше) нa», «больше (меньше) в». | уметь: - обосновывать выбор действий при решении задач, пользуясь теоретико-множественной терминологией; - излагать данное обоснование нa языке школьной математики. |
Образец выполнения заданий
Задание. Решите задачу и обоснуйте выбор действия, используя терминологию: а) теоретико-множественную; б) принятую в начальном курсе математики.
Задача 1. Ребята сделали 10 красных фонариков и 6 желтых. Из них собрали гирлянды, по 8 фонариков в каждой. Сколько получилось гирлянд?
Решение. Задача в два действия. Сначала узнаем, сколько всего фонариков (10 + 6 = 16), a затем выясним сколько получилось гирлянд (16 : 8 = 2). Обоснуем выбор этих действий.
Теоретико-множественное обоснование:
В задаче рассматривается множество красных фонариков (А) и множество желтых фонариков (В). Эти непересекающиеся множества объединяют для того, чтобы узнать, сколько всего было фонариков. Число элементов в объединении находят сложением: 10+ 6 = 16.
Далее полученное множество фонариков разбивается на равночисленные подмножества по 8 элементов в каждом. Число таких подмножеств находят делением (по содержанию): 16 : 8 = 2.
Обоснование с использованием школьной терминологии:
Имеется 10 красных фонариков и 6 желтых. Чтобы узнать, сколько всего фонариков, нужно к красным фонарикам прибавить желтые: 10 + 6 = 16 (фонариков).
Из этих 16 фонариков собрали гирлянды, по 8 фонариков в каждой. Число получившихся гирлянд можно найти, разделив 16 нa 8: 16 : 8 = 2 (гирлянды).
Задача 2. В первый раз в лыжном походе участвовало 42 ученика, во второй - на 9 человек больше, a в третий — в 2 раза больше, чем во второй. Сколько человек участвовало в походе в третий раз?
Решение. Задача в два действия. Вначале узнаем, сколько человек участвовало в лыжном походе во второй раз (42 +9 = 51), a затем - сколько в третий (51 ›‹ 2 = 102). Обоснуем выбор этих действий.
Теоретико-множественное обоснование:
1) В задаче идет речь о трех множествах учащихся, участвовавших в лыжных походах, известно, что в первом множестве (А) 42 элемента; число элементов второго множества (В) неизвестно‚ но сказано, что в нем на 9 элементов больше, чем в первом, т.е. столько же, сколько в первом, и еще 9. Таким образом, множество В является объединением двух непересекающихся множеств, содержащих соответственно 42 и 9 элементов. Поэтому число элементов множества В находят сложением: 42 + 9 = 51.
2) Число элементов третьего множества (С) также неизвестно, но сказано, что в нем в 2 раза больше элементов, чем во втором, т.е. оно является объединением двух непересекающихся множеств, каждое из которых содержит столько же элементов, сколько их в множестве В. Поэтому число элементов в множестве С находят при помощи умножения: 51 ›‹ 2 = 102.
Обоснование с использованием школьной терминологии:
Было три похода. В первом принимало участие 42 учащихся, во втором - на 9 человек больше, т.е. столько же, сколько в первый раз, и еще 9 человек. Значит, число участников второго похода находят сложением: 42 + 9 = 51 (человек).
В третий раз участников было в 2 раза больше, чем во втором походе, т.е. 2 раза по 51. Это число находят умножением: 51 х 2 = 102 (человека).
Дата добавления: 2021-04-24; просмотров: 224; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!