Производные тригонометрических функций

Министерство образования и науки Республики Казахстан

ВОСТОЧНО КАЗАХСТАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМЕНИ С.АМАНЖОЛОВА

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ

Дисциплина: «Основы высшей математики»

Специальность: «Информационные системы» ИС 1-Б

Подготовила Курманова А.Б.

Лекция 03.04.20 г.

Тема: Правила дифференцирования и производные элементарных функции

1. Постоянный множитель c можно выносить за знак производной:

Правило 1 непосредственно вытекает из определения производной функции и свойства пределов функций, согласно которому постоянный множитель можно выносить за знак предела.

 

1. Если существуют производные и , то производная от суммы (разности) функций и равна сумме (разности) производных:

Правило дифференцирования суммы или разности функций также следует из определения производной функции и свойства пределов функций, согласно которому предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) соответствующих пределов.

 

1. Если существуют производные и , то выполняются следующие правила дифференцирования произведения функций и частного от их деления:

Правила дифференцирования функций

Правило 3. Если существуют производные и , то выполняется следующее правило дифференцирования произведения функций: Доказательство. По определению производной Преобразуем выражение в числителе, вычитая и прибавляя произведение ; затем сгруппируем слагаемые: Выполняя предельный переход и учитывая, что получим требуемое утверждение.

 

***

Правило 4. Если существуют производные и , то выполняется следующее правило дифференцирования частного от деления функций: Доказательство этого правила по своей сути не отличается от предыдущего: Учитывая свойства пределов функций, получим требуемый результат:

 

Дифференцирование параметрический заданных функций (пример)

Пусть функция задана параметрическими уравнениями

где t – параметр.
Тогда производная этой функции по переменной x равна отношению производных и по параметру t:

Пример 1. Найти производную функции , заданной уравнениями в параметрической форме:

 Решение. Очевидно, что

Следовательно,

Производная степенной, логарифмической и показательной функций

Пусть n – произвольное вещественное число. Тогда

Используя соотношение эквивалентности

получим, что

Пусть и . Тогда

Используя соотношение эквивалентности

получим правило дифференцирования показательной функции:

Эта формула принимает особенно простой вид, если основанием является число e:

Функция является уникальной, ибо это единственная функция, производная от которой совпадает с самой функцией.

Покажем, что для любого x > 0 выполняется следующее правило дифференцирования логарифмической функции:

Действительно, приращение этой функции можно представить в виде

Если ∆x → 0, то бесконечно малая в правой части этого равенства удовлетворяет соотношению эквивалентности

и, следовательно,

 

 

Примеры:   

Производные тригонометрических функций

1. По определению производной функции

Учитывая тригонометрическое тождество

и первый замечательный предел, получим

 

1. Вывод правила дифференцирования функции основывается на тригонометрическом тождестве

и первом замечательном пределе:

1. Для вывода правила дифференцирования функции представим эту функцию в виде отношения синуса к косинусу и воспользуемся правилом дифференцирования частного от деления двух функций:

1. Аналогично обосновывается правило дифференцирования функции :

---

Дата добавления: 2021-04-23; просмотров: 90; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!